Semi-variance réalisée : mesurer séparément la volatilité à la hausse et à la baisse

Soit \(r_i\) un rendement logarithmique intrajournalier observé sur un intervalle fixe. La variance réalisée est la somme des rendements au carré, \(RV=\sum_i r_i^2\). La mise au carré rend gains et pertes positifs et donne davantage de poids aux grands mouvements. Cette statistique mesure la variation accumulée pendant l’intervalle, mais ne précise pas si elle vient de mouvements à la hausse ou à la baisse.

La semi-variance réalisée conserve le signe avant la mise au carré. La composante positive additionne les carrés des rendements supérieurs à zéro et la composante négative ceux des rendements inférieurs à zéro. Leur somme égale la variance réalisée si l’on utilise les mêmes observations et conventions. Un rendement nul ne contribue à aucune composante. C’est une identité comptable, pas la preuve que chaque côté constitue une source causale de risque distincte.

Cette séparation est utile lorsque la question porte sur la variation directionnelle, par exemple pour savoir si la variation des rendements négatifs passés apporte des informations différentes sur la volatilité future de celle des rendements positifs passés. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock et Shephard ont proposé la semi-variance réalisée comme mesure haute fréquence de la variation à la baisse. Leur document de travail développe son lien avec la variation quadratique et les sauts négatifs.

Pour les rendements \(r_1,\ldots,r_n\), on définit :

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

où \(\mathbf{1}(\cdot)\) vaut un si la condition est remplie et zéro sinon. On a alors :

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Certains articles utilisent d’autres noms ou exposants ; un rapport doit donc préciser quel terme désigne les rendements positifs et lequel désigne les rendements négatifs. La formule ci-dessus utilise des rendements non centrés autour de zéro : elle ne soustrait ni la moyenne de l’échantillon, ni un rendement cible, ni le taux sans risque. Une semi-variance calculée autour d’une cible ou d’une moyenne est une statistique différente.

Les unités sont celles du rendement au carré. Si les rendements sont en points de base, les composantes sont en \(\text{bp}^2\). Avec des rendements logarithmiques décimaux, elles sont en rendement décimal au carré. Passer des rendements en pourcentage aux points de base multiplie la valeur numérique de la mesure au carré par 10 000 : l’unité doit accompagner le nombre.

Supposons qu’une séance hypothétique comporte six rendements exprimés en points de base :

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Les rendements positifs contribuent \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). Les rendements négatifs contribuent \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). Le rendement nul ne contribue pas. La variance réalisée vaut donc

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

Dans ce petit exemple, la part négative est \(21/34\), soit environ 61,8 %, et la part positive environ 38,2 %. Ce sont des parts d’une somme inventée, pas des probabilités de perte future ni une estimation d’une asymétrie stable à long terme. Six rendements sont beaucoup trop peu nombreux pour une inférence ; le calcul sert seulement à vérifier les définitions.

Le guide sur la volatilité réalisée traite de la somme non séparée des rendements au carré. Le guide sur la bipower variation répond à une autre question : estimer la variation continue en présence de sauts rares. On peut étudier ensemble la semi-variance directionnelle et une mesure robuste aux sauts, mais l’une ne remplace pas l’autre.

Si le logarithme du prix latent suit une semimartingale continue et que l’échantillonnage devient toujours plus fin sous les conditions de régularité pertinentes, les semi-variances des rendements positifs et négatifs convergent chacune vers la moitié de la variation quadratique continue. Dans ce cadre, les totaux sur échantillon fini peuvent différer même si la variation continue sous-jacente ne présente pas de séparation directionnelle persistante ; l’aléa d’échantillonnage compte.

En présence de sauts, le carré de leur amplitude est attribué à la composante positive ou négative selon le signe. Cette décomposition conserve une information perdue par la variance réalisée totale, mais elle ne signifie ni que tout rendement négatif est un saut, ni que tout rendement positif est sans danger. Un grand mouvement continu comme un saut peut produire un rendement au carré élevé. Le signe classe l’incrément observé, pas sa cause économique.

L’illustration conceptuelle ci-dessous sépare visuellement les incréments positifs et négatifs en deux groupes. Ce n’est ni un graphique de données, ni un résultat de test, ni l’affirmation d’un biais directionnel persistant du processus sous-jacent.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Les semi-variances réalisées peuvent entrer séparément comme prédicteurs d’un modèle de volatilité future. Dans leur étude du S&P 500 et d’actions individuelles, Patton et Sheppard constatent que, dans leurs échantillons et spécifications, la variation passée des rendements négatifs est davantage liée à la volatilité future que celle des rendements positifs. C’est un résultat empirique propre à leur dispositif, pas une loi universelle des marchés ni une garantie de réussite pour une nouvelle stratégie.

Pour revendiquer un pouvoir prédictif, il faut préciser la cible et l’horizon, choisir un benchmark approprié et évaluer hors échantillon. L’écart entre \(RS^-\) et \(RS^+\) un jour donné est descriptif ; il ne prouve pas un pouvoir prédictif. La régression peut aussi devoir tenir compte de la persistance de la volatilité, des horizons qui se chevauchent, de l’incertitude des paramètres et de la sélection des données. Les erreurs de prévision doivent être évaluées avec une fonction de perte adaptée à la décision.

Dans une extension multivariée, Bollerslev, Li, Patton et Quaedvlieg développent des semi-covariances réalisées qui décomposent la covariance réalisée selon les signes de paires de rendements haute fréquence. Leur article dans Econometrica explique pourquoi les composantes de mêmes signes et de signes mixtes peuvent apporter des informations différentes. La séparation univariée entre positif et négatif est plus simple et ne doit pas être présentée comme une décomposition complète de covariance ou de risque de portefeuille.

L’expression « semi-variance baissière » recouvre plusieurs définitions. La mesure réalisée présentée ici met au carré les rendements haute fréquence inférieurs à zéro. Une statistique baissière fondée sur une cible met au carré les rendements sous un seuil choisi, souvent une cible ou un rendement minimal acceptable. Un calcul d’échantillon peut aussi centrer les observations autour de la moyenne. Ces définitions répondent à des questions différentes et peuvent donner des valeurs différentes pour la même série.

Aucune des deux semi-variances réalisées n’est une Value-at-Risk ou un Expected Shortfall. La VaR décrit un quantile d’une distribution de pertes et d’un horizon définis ; l’Expected Shortfall résume les pertes au-delà d’un quantile selon une convention donnée. Une somme de rendements intrajournaliers négatifs au carré n’a aucune de ces interprétations. Ce n’est pas non plus une mesure complète du drawdown, qui dépend de l’ordre et du parcours des rendements.

Si un graphique ou un modèle appelle \(RS^-\) le « risque baissier », définissez ce terme juste à côté. Précisez si les rendements sont mesurés depuis zéro ou depuis une cible, la fréquence d’échantillonnage, et si la quantité est une statistique d’intervalle, une entrée de prévision ou une mesure de portefeuille. Le guide GARCH sur la volatilité traite de la dynamique de la variance conditionnelle ; la semi-variance réalisée fournit une mesure directionnelle haute fréquence qui peut éventuellement servir d’entrée.

La séparation par signe dépend de la série de rendements observée. Un échantillonnage plus fréquent peut ajouter le rebond bid-ask, la granularité des prix, des cotations périmées et des effets d’horodatage. Un petit changement de prix enregistré peut changer de signe si le proxy ou la grille d’échantillonnage change. Le bruit de microstructure peut donc modifier à la fois l’amplitude au carré et le côté auquel le rendement est affecté. L’identité \(RV=RS^++RS^-\) reste vraie pour la série choisie, sans pour autant valider le dispositif d’échantillonnage.

Pour une comparaison robuste, documentez le champ de prix, l’intervalle, les limites de séance, le traitement des rendements nuls, les règles d’exclusion des valeurs aberrantes et la synchronisation des rendements entre actifs. Vérifiez la sensibilité à des choix défendables d’échantillonnage. Si l’identification des sauts ou la robustesse au bruit est la question centrale, utilisez un estimateur ou un test conçu pour cet objectif plutôt que de traiter la séparation par signe comme une correction. Le guide de la volatilité réalisée à deux échelles présente une autre correction du bruit.

L’inférence statistique exige aussi une distribution d’échantillonnage ou un dispositif de rééchantillonnage adapté. Les composantes positive et négative viennent de la même trajectoire et peuvent dépendre l’une de l’autre. Des fenêtres qui se chevauchent ajoutent encore de la dépendance. Un intervalle de confiance ou une comparaison de prévisions doit en tenir compte ; comparer deux estimations ponctuelles ne teste pas à lui seul une différence de rôle prédictif.

Un rapport clair indique la série de rendements de l’actif ou du portefeuille, la fenêtre d’observation, la définition du rendement, la grille d’échantillonnage et les unités. Il donne les formules de \(RS^+\) et \(RS^-\), vérifie que leur somme reproduit la variance réalisée et explique le traitement des zéros et des observations manquantes. Si la mesure entre dans un modèle de prévision, précisez aussi l’horizon, le benchmark, la période d’évaluation et la fonction de perte.

Ne convertissez pas directement la semi-variance réalisée en volatilité annualisée sans indiquer les hypothèses d’agrégation. Les semi-variances quotidiennes peuvent être additionnées en un total annuel descriptif sous une convention donnée, mais leur racine carrée n’est pas automatiquement un écart-type baissier de distribution connue. L’annualisation ne corrige ni des prix biaisés, ni un échantillonnage clairsemé, ni des effets de sélection.

L’usage principal est la mesure rigoureuse : conserver le sens de chaque rendement observé tout en appliquant la pondération quadratique de la variation réalisée. Le résultat peut révéler un motif à examiner. Il ne permet pas à lui seul d’en identifier la cause, de mesurer une probabilité de queue ou de transformer une asymétrie historique en signal de trading.