Test de saut de Lee–Mykland : détecter les sauts de prix intrajournaliers

La variance réalisée additionne les carrés des rendements intrajournaliers sur une séance. Sous certaines hypothèses de saut et d’échantillonnage, la variation bipuissance peut estimer la composante continue. Ces deux mesures résument une période et n’indiquent donc pas, à elles seules, quand un mouvement inhabituel s’est produit. La méthode de Lee et Mykland évalue les rendements intervalle par intervalle et compare chaque mouvement à une volatilité estimée à partir des rendements qui le précèdent immédiatement.

Cette distinction est utile pour les études d’événements, les modèles de volatilité et la datation des sauts. Un rendement de 1 % peut être exceptionnel sur un marché calme et courant lors d’une séance agitée. La normalisation par la volatilité locale récente tient compte de cette échelle variable. La méthode a été conçue pour détecter l’arrivée de sauts intrajournaliers et estimer leur taille réalisée ; elle n’établit ni la cause d’un mouvement ni son caractère négociable (Lee et Mykland, 2008).

L’hypothèse nulle concerne le processus de prix sur un intervalle donné : aucun saut ne s’y est produit et la composante est continue, sous des conditions de régularité. Elle ne dit pas que le rendement est nul. Une trajectoire continue peut aussi produire des rendements importants, surtout lorsque la volatilité est élevée ; un seuil fondé uniquement sur la taille du rendement ne suffit donc pas.

Soit \(P_i\) le prix observé sur une grille régulière à l’instant \(t_i\). Le rendement logarithmique de l’intervalle (i) est

\[ r_i=\log(P_i/P_{i-1}). \]

Le champ de prix et la grille doivent être cohérents. On peut utiliser les prix de transaction, les milieux de cotation ou un autre indicateur documenté, mais le choix peut modifier à la fois le rendement et l’étiquette de saut. Il faut préciser le traitement des ouvertures et clôtures, des enchères, des interruptions de cotation et des cotations manquantes. Ne mélangez pas implicitement un rendement entre clôture et ouverture avec des intervalles intrajournaliers ordinaires.

Un échantillonnage régulier est important, car l’échelle locale et le seuil de valeurs extrêmes sont dérivés pour un schéma d’observation précis. Si les observations sont irrégulières, choisissez une règle défendable de synchronisation ou d’échantillonnage et expliquez l’information qu’elle écarte. La formule ne corrige ni les cotations périmées ou croisées, ni les horodatages erronés, ni les erreurs isolées de saisie. Ne traitez pas non plus les prix de plateformes ou d’actifs différents comme synchrones sans vérifier leur alignement.

Le test porte sur des rendements observés, pas sur des prix latents. La théorie d’origine s’appuie sur des modèles de semimartingales haute fréquence et des conditions qui ne s’appliquent pas automatiquement à chaque flux de cotations ou plateforme d’actifs numériques. Documentez la source, le fuseau horaire, la grille, la séance et les filtres pour permettre la reproduction de la série.

À l’instant candidat \(t_i\), la variance locale est estimée à partir des rendements précédant \(r_i\) :

\[ \widehat{\sigma}_i^2=\frac{1}{K-2}\sum_{j=i-K+2}^{i-1}|r_j|\,|r_{j-1}|,\qquad \widehat{\sigma}_i=\sqrt{\widehat{\sigma}_i^2}. \]

\(K\) détermine la longueur de la fenêtre glissante. La somme comprend des produits de valeurs absolues de rendements adjacents et exclut le rendement candidat \(r_i\). Cette forme de variation bipuissance aide à éviter qu’un saut isolé antérieur domine l’échelle utilisée pour évaluer un intervalle ultérieur. La littérature sur la volatilité réalisée explique comment les sommes et les produits de rendements haute fréquence estiment différentes propriétés de la variation quadratique (Barndorff-Nielsen et Shephard, 2002).

L’estimation est locale, et non une prévision de volatilité pour toute la séance. Une fenêtre courte s’adapte vite mais peut être instable ; une fenêtre longue est plus lisse mais peut réagir avec retard à un changement de volatilité. Dans l’argument asymptotique d’origine, \(K\) augmente à mesure que l’intervalle d’échantillonnage diminue, tout en restant petit par rapport à l’horizon total. Pour un échantillon fini, documentez le choix et analysez sa sensibilité : aucun \(K\) universel ne convient à tous les actifs, grilles et régimes de marché.

Il faut également définir une règle pour les estimations nulles ou proches de zéro. Une division par une échelle infime peut produire une statistique extrême à partir d’un petit pas de cotation. Ne remplacez pas ces valeurs discrètement par un plancher arbitraire : indiquez la règle, vérifiez les cotations et montrez si des options raisonnables modifient les intervalles signalés.

La statistique locale de saut est

\[ L_i=\frac{r_i}{\widehat{\sigma}_i}. \]

Son signe conserve le sens du rendement observé ; sa valeur absolue mesure le mouvement par rapport à l’échelle locale précédente. Le dénominateur utilise les produits de rendements absolus adjacents sans la constante de normalisation usuelle de la variation bipuissance. Sous l’asymptotique sans saut de l’article, \(L_i\) est approximativement égal à \(Z_i/c\), où \(Z_i\) suit une loi normale standard et \(c=E|Z_i|=\sqrt{2/\pi}\). Ce point compte pour le calibrage : traiter \(L_i\) comme une statistique normale standard donne une loi de référence erronée.

Une valeur élevée de \(|L_i|\) désigne un intervalle candidat, pas une conclusion automatique. Le test évalue le mouvement en fonction du schéma d’échantillonnage, de la fenêtre et du nombre d’intervalles examinés. Une statistique positive indique un rendement observé à la hausse ; une valeur négative, à la baisse. Aucun signe ne détermine la cause économique ni ne distingue à lui seul un saut, un mouvement continu ou une erreur de données.

La figure compare un rendement candidat à une échelle locale estimée à partir des intervalles précédents. Elle est conceptuelle : ce n’est ni un graphique de prix ni un événement détecté.

<!-- learn:illustration --> <!-- Concept sans texte : une impulsion de rendement marquée dépasse une séquence calme tandis qu’une fenêtre passée forme une enveloppe douce de volatilité locale ; aucun prix, horaire, seuil ou événement détecté. -->

Lorsqu’on examine \(n\) intervalles, appliquer \(n\) fois un seuil ponctuel peut produire de fausses alertes simplement parce que de nombreux intervalles ont été inspectés. Lee–Mykland calibre la statistique absolue maximale sur l’horizon. Avec \(c=\sqrt{2/\pi}\), définissez

\[ C_n=\frac{\sqrt{2\log n}}{c}-\frac{\log(\pi)+\log(\log n)}{2c\sqrt{2\log n}},\qquad S_n=\frac{1}{c\sqrt{2\log n}}. \]

Sous les conditions asymptotiques sans saut de l’article,

\[ \frac{\max_{1\le i\le n}|L_i|-C_n}{S_n} \]

a une loi limite de Gumbel standard, de fonction de répartition \(F(x)=\exp(-e^{-x})\). Pour un niveau de signification de séance α, la valeur critique correspondante est

\[ \beta_\alpha=-\log[-\log(1-\alpha)]. \]

Un intervalle est signalé si \((|L_i|-C_n)/S_n>\beta_\alpha\). Le calibrage par le maximum tient compte de la recherche parmi les intervalles de l’horizon indiqué. Il ne corrige pas automatiquement les analyses répétées sur de nombreux actifs, jours, grilles d’échantillonnage ou variantes de modèle ; ces comparaisons supplémentaires demandent un plan et une présentation spécifiques.

Supposons que les trois rendements juste avant l’intervalle candidat soient \(-0.40\%\), \(+0.30\%\) et \(-0.20\%\), et prenons \(K=4\) uniquement pour simplifier le calcul. On obtient

\[ \widehat{\sigma}_i^2=\frac{|0.30||-0.40|+|-0.20||0.30|}{2}=0.09\;(\%)^2,\qquad \widehat{\sigma}_i=0.30\%. \]

Si le rendement suivant est de \(+1.20\%\), la statistique locale vaut \(L_i=1.20/0.30=4\). Le rendement observé est quatre fois cette échelle locale illustrative, mais cela ne suffit pas encore à conclure au rejet.

Pour une séance hypothétique de \(n=78\) intervalles, les formules asymptotiques donnent \(C_n\approx3.14\) et \(S_n\approx0.424\). Au niveau de signification de séance de 1 %, \(\beta_\alpha\approx4.60\), d’où un seuil proche de \(3.14+0.424(4.60)=5.10\). La statistique 4 reste en dessous : l’intervalle ne serait pas signalé à ce niveau. Les valeurs sont hypothétiques et l’approximation du maximum peut être grossière à cette taille d’échantillon. La petite fenêtre \(K=4\) ne sert qu’à illustrer le calcul ; ce n’est pas une recommandation d’estimation.

Cet exemple montre pourquoi dire « quatre écarts-types » ne décrit pas entièrement une décision Lee–Mykland. L’échelle de référence, la normalisation asymptotique, la fenêtre, le nombre d’intervalles et le niveau de signification influent tous sur le seuil. Indiquez-les avec le décompte de sauts ou la liste d’événements.

Une grille plus fine améliore théoriquement la résolution temporelle, mais révèle aussi davantage de bruit de cotation, de discrétisation des prix et de décalages d’horodatage. Une grille plus grossière lisse une partie des variations fugaces, mais peut fusionner un saut avec des rendements continus voisins ou masquer plusieurs mouvements dans un intervalle. Le choix modifie donc à la fois ce que le test peut détecter et l’adéquation de ses hypothèses.

La fenêtre \(K\) dépend de cette grille. Trop peu de rendements antérieurs rendent l’estimation locale de bipuissance erratique ; trop de rendements peuvent mélanger plusieurs régimes de volatilité et diluer la notion de « local ». Indiquez \(K\) en nombre d’observations et en temps réel, précisez si la fenêtre repart à zéro aux limites de séance et montrez la sensibilité de la liste d’événements à des variantes défendables. Ne reprenez pas sans vérification un choix de fenêtre issu d’un autre marché, d’une autre durée de séance ou d’une autre fréquence.

Le dispositif standard de Lee–Mykland ne résout pas à lui seul le bruit de microstructure. Le pré-moyennage et d’autres méthodes adaptées au bruit modifient l’estimation des rendements ou de la volatilité et demandent une inférence cohérente ; ce ne sont pas des filtres interchangeables (Aït-Sahalia, Jacod et Li, 2012). Le guide du pré-moyennage et le guide de volatilité à deux échelles présentent deux réponses liées aux prix haute fréquence bruités.

Un rendement signalé indique que l’observation s’accorde difficilement avec l’hypothèse de trajectoire continue au seuil donné. Cela ne confirme pas qu’une annonce programmée, une panne de plateforme, une cascade de liquidations ou une autre cause a déclenché le mouvement. Comparez l’heure aux données d’événements vérifiées, inspectez les transactions et les cotations et vérifiez si le mouvement persiste après l’intervalle. Distinguez ces explications ultérieures du test statistique.

Cette méthode est aussi différente d’une comparaison, en fin de journée, de la variance réalisée et de la variation bipuissance. La statistique Lee–Mykland localise les intervalles par rapport à la volatilité récente ; l’écart entre mesures quotidiennes estime la variation agrégée des sauts selon d’autres hypothèses. Le guide de variation bipuissance et le guide de volatilité réalisée présentent ces mesures de période. Le test de variation des puissances d’Aït-Sahalia et Jacod utilise une autre construction pour rechercher des sauts dans une trajectoire observée discrètement. Ses objectifs et hypothèses diffèrent ; un accord ou un désaccord avec une liste Lee–Mykland ne constitue pas une validation directe.

Pour une stratégie, une étiquette de saut est une donnée d’entrée pour des recherches ultérieures, pas un ordre d’achat ou de vente. Le backtest doit tenir compte du moment où le signal devient observable, du spread et du glissement, de la latence, du chevauchement des fenêtres d’événements et de l’évaluation hors échantillon. Un rendement historique signalé ne montre pas qu’un prochain événement est prévisible ou négociable avec profit.