Value at Risk contre Expected Shortfall expliqué
Comparez les définitions, calculs, propriétés de diversification, erreurs d’estimation et backtests de la VaR et de l’Expected Shortfall avant d’utiliser l’une ou l’autre mesure du risque de queue
Réponse directe
La Value at Risk est un quantile de perte : au niveau de confiance α, elle marque un seuil dépassé avec une probabilité d’environ 1−α. L’Expected Shortfall fait la moyenne des pertes dans cette queue extrême. L’ES décrit la gravité au-delà de la VaR, mais exige davantage de données de queue et aucune des deux mesures ne prévoit la perte réalisée suivante
La VaR identifie une frontière
Pour une perte L de fonction de répartition F_L, définissez VaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}
Une VaR à 99 % sur un jour de 10 signifie que le modèle place environ 1 % des pertes sur un jour au-dessus de 10 selon ses conventions
Cela ne signifie pas que la perte maximale est de 10, que les pertes resteront sous 10 pendant 99 jours consécutifs sur 100 ou que les dépassements seront faibles
L’Expected Shortfall fait la moyenne de la queue sélectionnée
Une définition robuste est ES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)du pour une perte intégrable
Pour une distribution continue, cela équivaut souvent à E[L|L≥VaR_α], sous réserve de la convention de queue choisie
Avec des masses ponctuelles au quantile, une simple moyenne conditionnelle peut sélectionner trop de masse ; la définition intégrale traite correctement la masse fractionnaire du quantile
Les mesures voient des portefeuilles différents
Deux portefeuilles peuvent avoir la même VaR alors que l’un d’eux attribue des pertes beaucoup plus importantes au-delà du seuil
La VaR n’est pas sous-additive pour toutes les distributions et peut parfois pénaliser la diversification ou récompenser des effets concentrés autour d’un seuil
L’ES est cohérent selon les définitions et les conditions d’intégrabilité usuelles, mais la cohérence ne rend pas fiable un modèle mal spécifié ou un jeu de données obsolète
L’estimation échange l’étendue contre le détail de la queue
La VaR historique est une statistique d’ordre ; l’ES historique ne fait la moyenne que des observations au-delà du rang sélectionné
À un niveau de confiance élevé, l’ES utilise donc très peu d’observations effectives et peut avoir une incertitude d’échantillonnage bien plus importante
Les estimations paramétriques, filtrées, de valeurs extrêmes et de Monte Carlo ajoutent des hypothèses de modèle qui doivent correspondre à l’horizon, à la dépendance, à la liquidité et au régime
Le backtesting pose des questions différentes
Les tests de VaR peuvent compter les dépassements et évaluer si leur calendrier se regroupe davantage que le modèle ne l’autorise
L’ES ne s’évalue pas utilement par la seule fréquence des dépassements ; on peut l’évaluer conjointement avec la VaR au moyen de scores appropriés ou de diagnostics de pertes de queue
Un backtest positif signifie seulement que les erreurs de prévision passées ont satisfait ce test et cette fenêtre, et non que le régime suivant ou une position non modélisée est couvert
L’optimisation met en évidence une formule utile de l’ES
Rockafellar–Uryasev utilisent min_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}; son minimum est égal à l’ES selon la convention indiquée
Un t optimal est un quantile de VaR dans des conditions standard, ce qui transforme de nombreux problèmes d’ES fondés sur des scénarios en programmes convexes
Le résultat dépend toujours de la qualité des scénarios, des non-linéarités de la position, des contraintes de transaction et du caractère convexe ou non de la fonction de perte
La gouvernance doit figer les conventions
Indiquez le signe de la perte, l’horizon, le niveau de confiance, l’heure de valorisation, la fenêtre de données, la pondération, la devise et le traitement des prix manquants ou obsolètes
Présentez la VaR et l’ES avec des intervalles d’incertitude, l’historique des dépassements, les contributeurs de la queue, des scénarios de stress et des limites en dehors du modèle statistique
Recalculez avec d’autres fenêtres et hypothèses de dépendance, et examinez les changements au lieu de traiter un seul nombre comme un certificat de risque
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la VaR et l’Expected Shortfall ?
La VaR marque un quantile de perte ; l’Expected Shortfall fait la moyenne des pertes depuis ce quantile jusqu’à l’extrémité la plus défavorable de la distribution
Une VaR à 99 % signifie-t-elle que les pertes ne peuvent pas dépasser la VaR ?
Non. Des dépassements sont attendus selon le modèle, et la VaR ne dit rien de leur gravité potentielle
L’Expected Shortfall est-elle toujours meilleure que la VaR ?
Elle contient des informations sur la gravité de la queue et possède de meilleures propriétés de diversification, mais elle est plus difficile à estimer et reste dépendante du modèle
L’Expected Shortfall peut-elle être backtestée ?
Oui, mais pas avec de simples comptes de dépassements ; les approches utiles l’évaluent conjointement avec la VaR ou comparent les pertes de queue réalisées aux prévisions