Realized GARCH : modéliser ensemble les rendements et la volatilité réalisée

Les modèles ARCH et GARCH déduisent les variations de variance d'une série de rendements. Un rendement ne donne qu'un signal bruité de l'amplitude du mouvement pendant sa période : un rendement clôture à clôture inhabituellement faible ne signifie pas que toute la séance était calme, et un rendement élevé ne révèle pas le chemin qui l'a produit. Les prix intrajournaliers peuvent fournir une mesure réalisée distincte, comme la variance réalisée, qui renseigne davantage sur les mouvements au cours de la séance.

Realized GARCH intègre cette mesure à la dynamique de la variance. Dans sa spécification de base, la variance conditionnelle précédente et la mesure réalisée précédente contribuent toutes deux à la mise à jour de la variance conditionnelle actuelle. Le modèle comporte aussi une équation pour la mesure réalisée elle-même. Cette équation supplémentaire est essentielle : elle décrit le lien entre la mesure, la variance latente et le choc de rendement, au lieu de laisser la mesure comme une entrée externe inexpliquée.

L'article d'origine rapporte un meilleur ajustement empirique que celui d'un GARCH fondé uniquement sur les rendements quotidiens, dans son échantillon d'actions du Dow Jones Industrial Average et d'un fonds négocié en bourse. Ce résultat concerne cet échantillon ; il ne garantit pas que Realized GARCH prévoie mieux pour tout actif ou toute période. Pour le modèle fondé uniquement sur les rendements, consultez le guide GARCH.

Notons (rₜ) le rendement de la période (t), après retrait d'une moyenne conditionnelle si le modèle en comprend une. (hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)) désigne la variance conditionnelle connue au début de cette période, et (xₜ) une mesure réalisée positive observée pendant ou à la fin de (t). Par exemple, (xₜ) peut être la somme des rendements intrajournaliers au carré, exprimée dans les mêmes unités de rendement au carré que (hₜ).

L'ordre chronologique compte. La prévision de (hₜ) n'utilise que les informations disponibles avant le début de la période (t). Après observation de (rₜ) et de (xₜ), le modèle met à jour la prévision de variance suivante, (hₜ₊₁). N'utilisez pas (xₜ) pour prétendre que (hₜ) avait été prévu avant la fin de la période (t).

Realized GARCH est un modèle dynamique des rendements et d'une mesure observée de la volatilité. Ce n'est pas la même chose qu'une régression MIDAS, qui relie des données de fréquences différentes au moyen d'une fonction structurée de pondération des retards. Les deux approches peuvent utiliser des informations intrajournalières, mais il faut identifier les équations, la cible de prévision et la chronologie avant de les comparer.

Une spécification courante de Realized GARCH(1,1) comprend une équation de rendement, une équation de variance et une équation de mesure :

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

Ici, (zₜ) est l'innovation standardisée du rendement, (uₜ) l'erreur de mesure, et (τ(zₜ)) permet à la mesure observée de dépendre du choc de rendement. La première équation multiplie un choc de variance unitaire par l'écart-type conditionnel. La deuxième actualise le logarithme de la variance à partir des logarithmes précédents de la variance et de la mesure réalisée. La troisième relie le logarithme observé de la mesure au logarithme actuel de la variance latente, au choc de rendement et à une innovation de mesure.

La forme logarithmique est pratique : elle représente (hₜ) et (xₜ), qui sont positifs, sur une échelle logarithmique sans contraintes ; l'exponentielle de la prévision de variance donne ensuite une valeur positive. Ainsi, (ω) est la constante de l'équation de log-variance, et non la variance de long terme elle-même. Dans le modèle de base, les paramètres sont estimés conjointement plutôt qu'interprétés isolément.

En remplaçant la mesure réalisée dans l'équation de variance par l'équation de mesure à t−1, on voit comment elle agit en retour sur le log de la variance :

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

Pour cette spécification (1,1), la persistance du log de la variance se résume par β + γφ, et non par β seul. La relation de mesure crée une rétroaction : une variance antérieure plus élevée est associée à une mesure réalisée plus élevée, qui entre ensuite dans la mise à jour suivante. Cette déduction algébrique aide à interpréter les coefficients estimés ; elle ne prouve pas la stationnarité de toutes les extensions de Realized GARCH. L'inférence doit respecter les contraintes de la spécification réellement estimée.

Hansen, Huang et Shek présentent les formes linéaire et log-linéaire de ce modèle conjoint et sa structure à trois équations (2012). La spécification estimée doit préciser l'ordre des retards, la mesure réalisée, le traitement de la moyenne conditionnelle et les hypothèses sur les innovations.

L'équation de mesure aide à comprendre pourquoi la mesure réalisée peut évoluer à la fois avec la variance latente et avec le choc de rendement. Une fonction de levier courante est :

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

Les termes linéaire et quadratique centré peuvent représenter une relation asymétrique entre les chocs de rendement et la mesure réalisée. Les coefficients en déterminent la forme ; la formule seule ne démontre pas que les rendements négatifs causent la volatilité future.

Dans la formulation de base de l'article, (zₜ) et (uₜ) sont modélisés comme des innovations distinctes ; (zₜ) est standardisé et leur indépendance mutuelle est supposée. Il s'agit d'une spécification statistique maniable, non d'une preuve que les rendements de marché ou les erreurs de mesure suivent une distribution donnée dans chaque échantillon. On peut utiliser une quasi-vraisemblance gaussienne pour l'estimation sans affirmer que les rendements sont normaux.

Cette équation distingue aussi Realized GARCH de GARCH-X. GARCH-X peut inclure une mesure observée dans la mise à jour de variance sans spécifier sa propre dynamique. Realized GARCH modélise aussi cette mesure, ce qui permet des prévisions au-delà d'un pas lorsque les mesures futures ne sont pas encore observées. Le modèle décrit une relation statistique conjointe ; il ne transforme pas la mesure réalisée en cause externe.

Supposons qu'un modèle log-linéaire estimé ait (ω=-0.7824), (β=0.75) et (γ=0.15). À la fin de la période (t), supposons que la variance conditionnelle actuelle soit (hₜ=0.0004) et que la mesure réalisée observée soit (xₜ=0.0009). Ces valeurs sont hypothétiques, positives et exprimées dans la même unité de variance quotidienne de rendement décimal.

Utilisez l'équation de variance pour mettre à jour la prévision de (t+1) :

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

L'écart-type conditionnel correspondant est (√0.0004517 ≈ 0.02125), soit environ 2,13 % pour la période de rendement indiquée. La mesure réalisée influe sur la prévision de variance suivante par son coefficient estimé. Ce calcul ne ré-estime aucun coefficient et n'utilise pas l'équation de mesure pour affirmer que (xₜ=hₜ).

Cet exemple illustre uniquement le calcul. Il ne tient compte ni de l'incertitude des paramètres, ni de l'erreur d'estimation, ni d'observations hors échantillon ; il ne permet donc de conclure ni à une significativité statistique ni à une supériorité sur une référence <!-- learn:illustration -->

L'estimation s'appuie sur des observations alignées de rendements et de mesures réalisées. Une vraisemblance ou quasi-vraisemblance combine l'équation de rendement et celle de mesure ; modifier les hypothèses sur la distribution ou la dépendance des innovations peut donc modifier les paramètres estimés. Indiquez la méthode d'estimation, les hypothèses sur les innovations, le traitement de la moyenne conditionnelle, la mesure réalisée et les règles de nettoyage des données, plutôt que de présenter uniquement la récurrence de mise à jour.

À la fin de chaque période, le modèle peut utiliser le nouveau rendement et la nouvelle mesure réalisée pour actualiser son état et produire la prévision de variance suivante. Dans une prévision à plusieurs pas, les valeurs futures de (x) sont inconnues. Une spécification complète de Realized GARCH décrit la dynamique de la mesure réalisée ; la prévision doit donc intégrer sa distribution ou son espérance future, plutôt que des valeurs à venir tirées de l'échantillon de test.

La cible de l'évaluation doit correspondre à la prévision : par exemple, la variance conditionnelle du rendement de la période suivante ou une mesure réalisée sur le même intervalle. Alignez la cible, la variable proxy, les unités, l'horizon et les dates d'évaluation. La vraisemblance calculée dans l'échantillon compare l'ajustement des modèles, mais ne remplace pas une évaluation chronologique des prévisions.

Enregistrez chaque prévision au moment où elle aurait été disponible, ré-estimez uniquement avec les informations connues à cette date et comparez-la à une référence choisie à l'avance sur un échantillon commun. Choisissez la fonction de perte avant d'examiner les résultats et présentez la différence de pertes appariée avec une estimation de l'incertitude tenant compte de la dépendance si nécessaire. Le guide sur QLIKE et l'erreur quadratique explique l'effet des propriétés de la variable proxy et du choix de la perte.

L'utilité du modèle dépend de la mesure et de l'intervalle utilisés. Une mesure réalisée calculée à partir de prix intrajournaliers peut omettre les mouvements nocturnes alors que (rₜ) est un rendement clôture à clôture. L'article original permet une fenêtre de mesure plus courte que l'intervalle du rendement ; son équation de mesure n'exige pas que (xₜ) soit un estimateur sans biais de (hₜ). Cette souplesse ne rend pas les écarts d'intervalle sans conséquence : l'interprétation de (φ), la cible de prévision et toute comparaison en dépendent.

L'article donne un exemple précis : une mesure calculée sur environ 6,5 heures de séance peut être associée à la variance conditionnelle d'un rendement clôture à clôture sur 24 heures. Dans ce cas, les auteurs s'attendent à ce que φ < 1, car la mesure intrajournalière ne couvre qu'une partie de l'intervalle complet du rendement. Le φ estimé dépend donc de la mesure, de la séance et de la définition du rendement ; ce n'est pas un facteur de calibration universel à transférer tel quel à un autre actif ou plan d'échantillonnage.

Les données à haute fréquence peuvent aussi contenir des rebonds acheteur-vendeur, des échanges asynchrones, des pas de cotation, des cotations périmées et des erreurs d'enregistrement. Le guide sur la volatilité réalisée à deux échelles présente un estimateur conçu pour traiter une partie du bruit de microstructure à haute fréquence. Hansen et Lunde documentent l'effet important que ce bruit peut avoir sur la mesure de la variance réalisée (2006). Une autre variable proxy peut modifier l'ajustement, les prévisions et les estimations de l'effet de levier.

La spécification log-linéaire utilise (log xₜ) ; la mesure choisie doit donc être strictement positive. Si les données peuvent être nulles ou négatives, cette spécification ne s'applique pas sans transformation ou filtre justifié. Un plancher modifie le modèle et doit être signalé. Vérifiez si la mesure comprend les sauts, quelle séance elle couvre, comment les barres manquantes sont traitées et si ses unités correspondent à la variance des rendements. Un plus grand nombre d'observations intrajournalières ne supprime pas automatiquement l'erreur de mesure.

Le GARCH ordinaire utilise les rendements retardés ou les innovations au carré et la variance précédente. Realized GARCH ajoute une mesure réalisée à la dynamique de variance et la modélise par une équation la reliant à la variance latente et aux chocs de rendement. GARCH-X traite généralement la mesure ajoutée comme une entrée externe. La régression MIDAS applique une courbe de pondération paramétrée à des retards de fréquences différentes ; GARCH-MIDAS est un modèle hybride apparenté dont les équations doivent être examinées séparément. Ces appellations ne sont pas interchangeables.

Le modèle prévoit une variance conditionnelle ou une mesure réalisée définie selon ses hypothèses. Il ne prévoit pas la direction des rendements, ne prouve pas qu'une mesure intrajournalière cause la variance de la période suivante et n'établit pas la rentabilité d'une stratégie. Une vraisemblance élevée dans l'échantillon ne garantit pas de meilleures prévisions futures. Toute conclusion de trading exige un signal défini séparément et une évaluation après prise en compte du spread, des frais, de l'impact de marché, du financement et des limites de risque.

Pour un rapport reproductible, précisez l'actif et l'échantillon, la définition du rendement et le traitement de la moyenne conditionnelle, la construction de la mesure réalisée et la fenêtre de séance, les équations et ordres de retard, les hypothèses sur les innovations, la fenêtre d'estimation, l'origine et l'horizon de prévision, la référence, la perte d'évaluation et la méthode d'estimation de l'incertitude. Présentez la sensibilité à des mesures réalisées alternatives plausibles et signalez les exclusions de données ou ajustements de positivité