QLIKE ou erreur quadratique pour prévoir la volatilité : proxies bruités

Un modèle de volatilité prévoit à quel point un rendement futur pourrait varier, et non s’il sera positif ou négatif. Pour l’évaluer, définissez d’abord la cible, par exemple la variance conditionnelle du rendement de demain, mesurée en points de base au carré. Une prévision de l’écart-type, une prévision de la variance et une estimation de la variance réalisée intrajournalière sont liées, mais ne sont pas interchangeables sans transformation et horizon explicités.

Cette question est indépendante de la façon dont le modèle produit sa prévision. Le guide GARCH explique une manière d’actualiser la variance conditionnelle à partir des rendements passés. Ce guide commence après que deux modèles ou plus ont produit des prévisions et examine comment les évaluer face à une mesure imparfaite de la variance réalisée ensuite.

« Meilleure prévision » n’a pas de sens unique tant que la cible, l’échantillon d’évaluation et la fonction de perte ne sont pas fixés. Un modèle peut être premier avec une perte et second avec une autre, car chaque fonction attribue un coût différent aux erreurs de prévision

Notons vₜ la variance conditionnelle non observée du rendement cible, hₜ une prévision établie avec les informations disponibles avant ce rendement et xₜ un proxy observé utilisé pour l’évaluation. Le rendement au carré est un proxy courant, mais il n’est conditionnellement non biaisé pour la variance que si l’espérance conditionnelle du rendement est nulle. Si cette espérance ne l’est pas, le rendement brut au carré estime le second moment conditionnel, et non la variance conditionnelle. On peut plutôt construire le proxy à partir de rendements dont on a retiré l’espérance conditionnelle. La variance réalisée, calculée à partir des rendements intrajournaliers, peut apporter davantage d’informations sur les variations au cours d’une séance, mais elle mesure toujours un intervalle précis et dépend des règles d’échantillonnage et des données de prix.

Retirer la moyenne ne supprime pas automatiquement le biais du proxy lorsque la moyenne conditionnelle est estimée. Si mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁) et que la moyenne estimée m̂ₜ est fixée à partir des informations disponibles à l’origine de la prévision, alors E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Toute erreur prévisible d’estimation de la moyenne ajoute donc au proxy un terme non négatif. Précisez comment la moyenne est estimée et si le proxy vise la variance ou le second moment avant d’invoquer un résultat de non-biais conditionnel.

xₜ et hₜ doivent correspondre au même actif, à la même définition du rendement, à la même fenêtre temporelle, au même horizon et aux mêmes unités. Si xₜ est mesuré en bp², hₜ doit aussi l’être ; la perte d’erreur quadratique est alors en bp⁴. N’évaluez pas une prévision quotidienne de variance de clôture à clôture avec une mesure réalisée qui omet la période de nuit, sauf si c’est bien la cible visée.

Conservez les valeurs du proxy et les prévisions de tous les modèles pour les mêmes origines d’évaluation. Si un modèle n’a pas de prévision pour une date, définissez à l’avance un échantillon commun ou une règle justifiée pour les données manquantes. Comparer des moyennes calculées sur des dates différentes peut confondre la performance des modèles et les conditions de marché auxquelles chacun a été exposé

La perte d’erreur quadratique pour un proxy de variance non négatif xₜ et une prévision de variance positive hₜ est :

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

La perte QLIKE est :

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Plus le score est bas, mieux c’est. Lorsque xₜ est strictement positif, QLIKE s’écrit aussi sous la forme du ratio xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. Les deux formules diffèrent d’un terme qui dépend du proxy observé, mais pas de la prévision ; elles donnent donc le même classement sur un échantillon commun. La forme log(hₜ) reste définie lorsque xₜ est nul, à condition que hₜ soit positif. Patton définit ces pertes de variance et étudie leur comportement avec des proxies imparfaits (Patton, 2011).

QLIKE correspond à un score de quasi-vraisemblance gaussienne pour les prévisions de variance (Hansen et Lunde, 2005). Ce lien ne prouve pas que les rendements sont gaussiens, pas plus qu’un score bas ne valide les hypothèses de distribution du modèle. L’erreur quadratique mesure le carré de l’écart absolu entre le proxy et la prévision. Il faut choisir le score qui correspond à l’objectif de comparaison et aux hypothèses sur le proxy

La perte d’erreur quadratique s’exprime en unités de variance au carré et augmente rapidement lorsque le proxy et la prévision sont éloignés. Quelques valeurs très élevées du proxy peuvent donc dominer la moyenne. Cela peut convenir si les grandes erreurs absolues en unités de variance doivent coûter beaucoup plus cher, mais rend le résultat sensible aux observations extrêmes.

Multiplier xₜ et hₜ par la même constante positive de conversion c ajoute log(c) à log(hₜ) + xₜ/hₜ. Cet ajout est commun à toutes les prévisions évaluées sur le même échantillon de proxies, donc le classement ne change pas ; en revanche, la valeur absolue du terme logarithmique dépend de l’unité choisie. QLIKE dépend du rapport entre la prévision et le proxy via xₜ/hₜ, ainsi que du niveau de hₜ via log(hₜ). Si la prévision est beaucoup trop basse par rapport à un proxy élevé, le terme de rapport augmente fortement. Une surestimation coûte aussi davantage à mesure que log(hₜ) augmente, mais plus lentement pour des erreurs proportionnelles comparables. QLIKE n’est pas une perte résistante aux valeurs aberrantes : un proxy extrême contribue toujours au score via xₜ/hₜ.

Aucune des deux pertes ne domine pour toutes les décisions. L’erreur quadratique accorde davantage de poids aux écarts absolus importants en unités de variance, tandis que QLIKE traite différemment les erreurs relatives. Le résultat de Patton sur la robustesse au bruit du proxy ne signifie ni que les deux pertes classent les modèles de la même façon, ni que l’une ou l’autre résiste aux valeurs aberrantes

Supposons que les proxies de variance observés soient x = [1, 4] bp². Le modèle A prévoit hᴬ = [1, 1] bp² et le modèle B, hᴮ = [4, 2] bp². Les nombres sont hypothétiques et montrent comment la perte peut modifier le classement.

MSE favorise le modèle A : son score moyen est de 4,5 bp⁴, contre 6,5 bp⁴ pour B. QLIKE favorise le modèle B : son score moyen est d’environ 2,165, contre 2,5 pour A. Ces deux périodes illustrent uniquement le calcul. Elles sont insuffisantes pour estimer l’incertitude, prouver qu’une prévision est meilleure ou tirer une conclusion sur une stratégie de trading <!-- learn:illustration -->

Un proxy de volatilité peut être bruité tout en restant conditionnellement non biaisé. Supposons que E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, où Fₜ₋₁ désigne les informations disponibles au moment de la prévision. La perte quadratique attendue d’une prévision hₜ établie à partir de ces informations est :

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Le terme de variance ne dépend pas de la prévision évaluée. Il augmente donc le MSE attendu des deux prévisions du même montant et s’annule dans la comparaison de leurs pertes attendues. Pour QLIKE, l’absence de biais conditionnel donne :

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

C’est le score obtenu en utilisant la variance latente à la place du proxy. Dans ces conditions, chaque perte préserve le classement attendu des prévisions de variance concurrentes par rapport à la cible latente. Patton (2011) parle de classement robuste au proxy ; cela concerne le bruit des classements attendus, et non la résistance aux valeurs aberrantes.

Ce résultat suppose le même ensemble d’informations conditionnelles, un proxy conditionnellement non biaisé, des prévisions positives pour QLIKE et des pertes attendues finies. Il ne dit pas que MSE et QLIKE classeront les modèles de la même façon. Dans l’exemple sur deux périodes, les deux pertes utilisent les mêmes observations bruitées, mais n’accordent pas la même importance aux erreurs de prévision

La préservation du classement attendu ne garantit pas que chaque échantillon observé reproduise le classement fondé sur la variance latente. Le bruit du proxy ajoute de la variabilité aux pertes observées et peut réduire la puissance d’une comparaison de prévisions. Sur une courte période d’évaluation, le classement des modèles peut changer simplement parce que quelques valeurs du proxy sont exceptionnellement hautes ou basses, même si l’absence de biais conditionnel se vérifie en moyenne.

La garantie échoue aussi si le proxy est conditionnellement biaisé par rapport à la cible définie. La variance réalisée à haute fréquence peut être affectée par les rebonds entre prix acheteur et vendeur, les cotations obsolètes ou asynchrones, la fréquence d’échantillonnage et l’omission des rendements de nuit. Un proxy visant l’intégrated variance intrajournalière peut ne pas être une mesure non biaisée de la variance conditionnelle de clôture à clôture. Le guide de calcul de la volatilité réalisée présente les choix de construction ; le guide sur la variance réalisée à deux échelles présente un estimateur conçu pour prendre en compte une partie du bruit de microstructure dans les données à haute fréquence. Hansen et Lunde (2006) documentent l’effet possible du bruit de microstructure du marché sur la mesure de la variance réalisée.

« Robuste » a ici un sens précis : si le proxy est conditionnellement non biaisé, le classement attendu est préservé. Cela ne signifie pas que le score observé ignore les valeurs aberrantes, que toute mesure de volatilité réalisée est non biaisée ou que la comparaison est protégée contre une discordance de la cible. Précisez ce que mesure le proxy et quelles hypothèses le relient à vₜ

Pour deux prévisions hᴬₜ et hᴮₜ fixées à la même origine, l’écart de MSE attendu est E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². Sous la même condition sur le proxy, l’écart de QLIKE attendu est log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Ces expressions montrent ce que la robustesse du classement au proxy élimine : le bruit supplémentaire dans le score attendu du proxy. Les comparaisons de prévisions restent toutefois différentes, car MSE et QLIKE attribuent des coûts différents aux erreurs.

Après avoir choisi le score, calculez une différence de pertes appariées à chaque origine de prévision commune. Avec dₜ = L_A,ₜ − L_B, une moyenne positive favorise B, dont la perte est plus faible. Un test de Diebold–Mariano vérifie si la différence attendue est nulle à partir de la série temporelle de ces différences appariées ; il ne choisit ni entre QLIKE et MSE ni la cible à retenir. Le guide Diebold–Mariano présente le cadre d’inférence général.

Si les prévisions sur plusieurs périodes se chevauchent, ou si les différences de score sont autocorrélées pour une autre raison, utilisez une erreur-type tenant compte de la dépendance, par exemple une estimation HAC appropriée. Newey et West (1987) proposent un estimateur de covariance HAC semi-défini positif. Indiquez l’horizon, les origines d’évaluation, le signe de la différence de pertes, la méthode de covariance et, le cas échéant, le noyau et la bande passante. Une faible valeur p ne corrige pas un proxy biaisé ou mal adapté à la cible

Utilisez un dispositif chronologique hors échantillon et enregistrez les prévisions que chaque modèle aurait effectivement produites à chaque origine. Fixez la cible, la construction du proxy, l’horizon, l’unité, l’échantillon commun et la perte avant d’examiner le modèle qui obtient le meilleur score. Consignez les fenêtres d’estimation, les règles de réestimation, les observations manquantes et l’utilisation répétée de la période d’évaluation pour ajuster les modèles. Si vous comparez MSE et QLIKE et ne publiez que le gagnant, signalez cette sélection au lieu de la présenter comme un test unique préspécifié.

Indiquez la perte moyenne de chaque modèle, la différence appariée, la taille de l’échantillon, la définition du proxy et la méthode d’inférence. QLIKE exige hₜ > 0 ; si vous imposez un plancher à la prévision, définissez-le avant l’évaluation, car il peut modifier les scores. Vérifiez la sensibilité à des choix défendables de proxy et d’échantillonnage, tout en précisant que multiplier les essais crée aussi un problème de sélection.

Une perte de volatilité plus faible mesure la performance selon le score et le proxy retenus. Elle ne prouve ni qu’un prédicteur cause la volatilité, ni que les rendements sont normaux, ni qu’une stratégie fondée sur la prévision sera rentable après spreads, frais, slippage, financement et contraintes de risque. Évaluez la qualité des prévisions et les résultats de trading comme deux affirmations distinctes