Analyse en composantes principales (PCA) : explication
Découvrez le centrage, la mise à l'échelle, la covariance, les scores et coefficients de chargement, la variance expliquée, la sélection des composantes et les limites de la PCA en finance
Réponse directe
L'analyse en composantes principales (PCA) transforme des variables corrélées en un ensemble plus petit d'axes orthogonaux qui préservent autant que possible la variance de l'échantillon. La première composante capture la plus grande variance, puis chaque composante suivante capture la plus grande variance restante tout en restant orthogonale aux axes précédents. La PCA peut résumer le risque et créer des prédicteurs, mais elle ne découvre pas automatiquement des facteurs économiques. Les résultats dépendent des unités, des dates de l'échantillon, de l'estimation de la covariance et de la sélection des composantes ; scores, coefficients de chargement, variance expliquée et stabilité hors échantillon appartiennent donc à la même analyse
Placez les données sur une base de départ réfléchie
La PCA s'applique à des données centrées après soustraction de la moyenne d'échantillon de chaque variable. Sinon, les niveaux moyens peuvent dominer ce qui devrait être une direction de variation
Choisissez des transformations pertinentes avant le calcul. Une tendance commune dans des niveaux de prix non stationnaires peut se faire passer pour un signal de risque partagé utile
Les valeurs manquantes, les valeurs aberrantes, la fréquence et la fenêtre d'échantillonnage modifient toutes la covariance. La conception des données avant la PCA compte davantage que le nom qui lui est attribué ensuite
La covariance et la corrélation répondent à des questions différentes
La PCA fondée sur la matrice de covariance conserve les unités d'origine ; une variable plus volatile peut donc exercer davantage d'influence sur les directions principales
La PCA fondée sur la matrice de corrélation commence par mettre chaque variable à variance unitaire. Elle limite l'effet des unités, mais peut écarter des différences d'amplitude économiquement significatives
L'objectif détermine le choix. Des variations de taux dans des unités similaires et un ensemble mixte d'indicateurs n'appellent pas nécessairement la même matrice
Les composantes maximisent la variance en séquence
La première composante principale est la direction unitaire dont les observations projetées ont la plus grande variance d'échantillon possible
Chaque composante suivante maximise la variance projetée restante sous la contrainte d'être orthogonale à toutes les composantes sélectionnées auparavant
L'orthogonalité rend les scores des composantes non corrélés dans l'échantillon ajusté. Elle ne prouve pas que les chocs économiques sous-jacents sont indépendants
Les coefficients de chargement et les scores ont des rôles différents
Les coefficients de chargement sont les poids qui combinent les variables d'origine dans une composante. Ils montrent quelles variables pointent dans le sens d'un axe donné ou à l'opposé
Les scores sont les coordonnées obtenues en projetant chaque observation sur cet axe. Les coefficients de chargement définissent une direction ; les scores se déplacent dans le temps le long de cette direction
Un vecteur propre peut être multiplié par −1 sans modifier son axe. Un simple changement de signe ne prouve pas qu'une relation économique s'est inversée
La variance expliquée est un objectif incomplet
La valeur propre d'une composante est égale à sa variance d'échantillon. La diviser par la somme de toutes les valeurs propres produit son ratio de variance expliquée
Un graphique des valeurs propres et la variance expliquée cumulée sont des points de départ pour choisir la dimension. Un seuil fixe comme 80 % n'est pas optimal universellement
Une direction de faible variance peut tout de même contenir une information prédictive ou une relation de couverture contraignante. La variance expliquée n'est pas synonyme de prévisibilité des rendements
Sélectionnez la dimension hors de l'échantillon ajusté
Trop peu de composantes omettent une structure, tandis qu'un nombre trop grand conserve le bruit de l'échantillon avec le mouvement commun persistant
Comparez l'erreur de reconstruction, la validation croisée propre à la tâche, les écarts de valeurs propres et la stabilité par bootstrap selon l'utilisation prévue
Réestimez les coefficients de chargement et la variance expliquée sur des échantillons glissants. Utiliser des axes calculés sur tout l'échantillon dans une prévision historique introduit de l'information future
La finance utilise la PCA pour résumer les mouvements communs
Les variations de courbe des taux peuvent être comprimées en axes qui ressemblent au niveau, à la pente et à la courbure, tandis que les rendements actions peuvent révéler des directions larges et propres à certains groupes
Pour les portefeuilles, les axes principaux montrent si le risque est concentré malgré un grand nombre nominal de positions
Appeler un axe statistique « croissance » ou « liquidité » exige des variables externes, un raisonnement économique et une validation dans un autre échantillon
Rapportez les choix qui rendent le résultat reproductible
Déclarez les variables, les transformations, les devises, les unités, le centrage, la mise à l'échelle, le traitement des valeurs manquantes, les valeurs aberrantes et la fenêtre d'estimation
Indiquez la matrice, les valeurs propres, la variance expliquée, les coefficients de chargement, la règle de calcul des scores et le critère de dimension afin qu'un autre analyste puisse reconstruire le résultat
Montrez la performance hors échantillon et la stabilité glissante. La PCA est un système de coordonnées estimé pour des données choisies, et non une carte fixe de la réalité
Questions fréquentes
La PCA et l'analyse factorielle sont-elles identiques ?
Non. La PCA reformule la variance totale, tandis qu'un modèle à facteurs communs sépare la covariance commune de la variance propre à chaque variable
Faut-il toujours standardiser chaque variable ?
Non. La standardisation contrôle les différences d'unités, mais supprime aussi des différences potentiellement significatives dans l'amplitude de la volatilité
Un changement de signe d'un coefficient de chargement signifie-t-il que la structure a changé ?
Pas nécessairement. Un vecteur propre et son opposé définissent le même axe ; les signes doivent donc être alignés avant de comparer les fenêtres
Une composante à variance expliquée élevée est-elle un bon signal de trading ?
Non. La variance expliquée mesure le mouvement contemporain ; la puissance prédictive exige un test hors échantillon distinct