Taux par, spot et forward : ce que montre la courbe des taux

Une courbe obligataire est construite à partir des prix ou rendements de titres dont les échéances et calendriers de paiement diffèrent. La cotation d’une obligation à coupon résume plusieurs flux futurs en un rendement à l’échéance. Un taux spot zéro-coupon valorise un seul paiement à une date. Un taux forward décrit un taux sur un intervalle qui commence plus tard. Ces mesures sont liées par les mêmes relations d’actualisation, mais répondent à des questions différentes sur les flux de trésorerie.

Sur un écran, un « taux à deux ans » peut désigner le rendement d’une Treasury Note précise à deux ans, un point d’échéance constante lu sur une courbe par ajustée, un spot zéro-coupon ou un forward commençant à une date ultérieure. La seule échéance ne suffit pas. Vérifiez la source de la courbe, l’instrument, la convention de composition et s’il s’agit du rendement d’un titre actuel, d’un taux par, d’un zéro ou d’un taux de période future.

Trois questions pratiques permettent de séparer les notions : quel taux actualise un paiement à une date donnée ? Quel coupon mettrait une obligation au pair ? Quel taux sur un intervalle ultérieur égaliserait deux placements ayant les mêmes dates de début et de fin ? Ce sont respectivement les questions spot, par et forward.

Un taux spot, aussi appelé taux zéro-coupon pour l’échéance correspondante, actualise un paiement unique à cette date. Si une créance zéro-coupon hypothétique à deux ans verse 100 USD à la fin de la deuxième année et que son taux spot effectif annuel est de 4 %, sa valeur aujourd’hui selon cette convention simplifiée est de 100 USD ÷ (1,04)², soit environ 92,46 USD. Aucun coupon intermédiaire n’est à actualiser.

Le facteur d’actualisation exprime la même relation sans annualiser un rendement. Soit DF(T) la valeur actuelle de 1 USD reçu à la date T. Avec une composition annuelle, DF(T) = 1 ÷ (1 + z(T))^T, où z(T) est le taux spot de l’échéance T en années. Un flux C versé en T vaut C × DF(T), avant les ajustements liés à d’autres risques ou conventions. Le facteur est souvent plus direct dans un calcul de prix puisqu’il s’applique séparément à chaque paiement daté.

Une obligation à coupon verse des montants à plusieurs dates et nécessite généralement un facteur d’actualisation pour chacune. Actualiser tous les coupons au moyen d’un seul rendement à l’échéance est un raccourci utile uniquement selon des conventions YTM précisées ; ce n’est pas la même chose qu’actualiser chaque flux sur une courbe spot. La distinction compte si la courbe est pentue, si les dates sont irrégulières ou si deux obligations ont des coupons différents mais une échéance finale proche.

Le rendement par est le coupon qui rend égale à sa valeur nominale une obligation théorique à coupon, compte tenu des facteurs d’actualisation et des dates de paiement supposées. Pour une obligation de nominal 100 USD versant un coupon annuel des années 1 à T, le coupon par c vérifie : $100 = c × DF(1) + c × DF(2) + … + ($100 + c) × DF(T). Avec des paiements semestriels ou irréguliers, la fraction écoulée de chaque période de coupon et les dates d’actualisation correspondantes interviennent également.

Cette définition distingue le rendement par du coupon et du rendement à l’échéance d’une obligation existante. Le coupon d’un titre émis figure dans ses conditions ; son rendement de marché varie avec son prix. Le rendement par est le coupon dérivé d’une courbe pour une nouvelle obligation théorique valorisée au nominal. Le Trésor américain décrit sa courbe publiée comme une courbe de rendement par ajustée à partir de cotations acheteur indicatives, et non comme une liste de prix de transaction d’obligations théoriques au pair. La méthode transforme les prix de marché en rendements, construit les forwards par bootstrap aux échéances d’entrée puis interpole une courbe qui reproduit ces données avec une faible erreur de prix. La méthodologie de la courbe du Trésor détaille ce procédé.

Le rendement par sert à comparer des obligations théoriques à coupon pour une échéance donnée et une courbe cohérente. Il ne signifie pas qu’une obligation existante de même échéance paie ce coupon et n’intègre pas sa liquidité, sa fiscalité, ses options incorporées ou ses modalités de règlement. Pour un titre précis, utilisez son prix réel, ses dates de coupon, ses clauses de remboursement et la convention de calcul de rendement du marché.

Un taux forward est le taux implicite aujourd’hui pour emprunter ou investir pendant un intervalle futur. On peut chercher le taux de période qui égalise le montant final de deux placements ayant les mêmes dates de départ et d’arrivée. Dans une hypothèse simplifiée de composition annuelle et d’absence d’arbitrage, le forward d’un an qui commence dans un an est :

Taux forward de l’année 1 à l’année 2 = [(1 + taux spot à deux ans)² ÷ (1 + taux spot à un an)] − 1.

Si un placement de deux ans au taux spot à deux ans produisait un montant différent d’un placement d’un an au taux spot d’un an, suivi d’un réinvestissement au forward de la deuxième année, un investisseur pourrait en théorie choisir le parcours le plus avantageux. Dans les marchés réels, les différences entre taux emprunteur et prêteur, frais de transaction, sûretés, fiscalité, qualité de crédit et conventions des instruments empêchent cette réplication théorique d’être exacte pour tous. La formule explique une relation interne de la courbe ; elle ne garantit pas un taux négociable quelle que soit la taille.

Par exemple, si le taux spot effectif annuel à un an est de 3 % et celui à deux ans de 4 %, le placement de deux ans a un facteur de (1,04)² = 1,0816. Le premier facteur du parcours alternatif est 1,03. Le facteur de croissance implicite pour la deuxième année est donc 1,0816 ÷ 1,03 = 1,050097, soit un forward d’un an pour l’année 2 d’environ 5,01 %. Le spot à deux ans est de 4 % tandis que le forward de la dernière année avoisine 5,01 % : deux mesures différentes d’une même courbe.

Reprenons une courbe zéro purement hypothétique, en taux effectifs annuels : 3 % spot à un an et 4 % à deux ans. Les facteurs sont DF(1) = 1 ÷ 1,03 = 0,970874 et DF(2) = 1 ÷ (1,04)² = 0,924556. Un paiement zéro-coupon de 100 USD dans un an vaut aujourd’hui environ 97,09 USD ; le même paiement dans deux ans vaut environ 92,46 USD. Chaque spot actualise un paiement unique à sa propre échéance.

Quel coupon annuel rendrait exactement égale à 100 USD une obligation de nominal 100 USD sur deux ans, avec un coupon à la fin de chaque année ? L’équation est $100 = c × 0,970874 + ($100 + c) × 0,924556. On obtient c ≈ 3,9803 USD, soit un coupon par d’environ 3,98 %. Il est légèrement inférieur au taux spot zéro à deux ans de 4 %, car l’obligation par verse une partie de son flux dès la première année, actualisée au spot à un an inférieur.

Le forward implicite de l’année 1 à l’année 2 est d’environ 5,01 %, comme calculé plus haut. Les trois taux répondent donc à trois questions : 4 % actualise un paiement unique en fin de deuxième année ; 3,98 % est le coupon d’une obligation théorique de deux ans cotée au pair ; 5,01 % est le taux implicite de la courbe pour la deuxième année sous composition annuelle. Les chiffres affichés sont arrondis, mais le calcul utilise les facteurs non arrondis. Ce sont des données inventées, et non une observation de marché ou une cotation actuelle du Trésor.

Un taux forward est déduit mathématiquement des prix actuels des instruments selon des hypothèses de courbe et de composition choisies. Il n’est pas identique au taux court qui prévaudra réellement pendant l’intervalle futur. On peut le lire comme un taux d’équilibre implicite du marché ou, avec des hypothèses supplémentaires, comme un indicateur approximatif des taux courts attendus. Il peut aussi inclure une rémunération pour les risques de taux, d’inflation et autres.

Les analyses de la Réserve fédérale présentent un taux forward comme un indicateur du taux court futur attendu augmenté d’une prime de terme. Ces éléments ne sont pas directement observables dans une seule courbe ; leur décomposition dépend d’un modèle ou d’autres éléments, comme des enquêtes ou des estimations de primes de terme. La note de la Fed sur les spreads forward montre qu’un forward peut refléter à la fois des anticipations de politique monétaire et une prime de risque. Différents horizons et méthodes d’estimation peuvent donc raconter des histoires distinctes.

Même utile comme signal de marché, un forward peut s’écarter du taux effectivement constaté. Les décisions futures de banques centrales, l’inflation, la croissance, l’appétit pour le risque et l’offre ou la demande de duration peuvent changer. Un forward implicite élevé ne garantit pas que les coûts d’emprunt à court terme atteindront ce niveau et ne constitue pas, à lui seul, une instruction de transaction. Le Trésor précise que ses séries par et à échéance constante décrivent les conditions observées, pas une prévision des taux futurs.

Le taux quotidien Constant Maturity Treasury (CMT) est lu sur un point de la courbe par ajustée du Trésor. Il ne correspond pas nécessairement au rendement d’un titre du Trésor qui arrive à échéance exactement à cette date et ce n’est pas un spot zéro-coupon. Selon le Trésor, sa courbe par quotidienne utilise des cotations acheteur indicatives sur les titres les plus récemment mis aux enchères, recueillies vers 15 h 30, heure de l’Est, et une méthode de courbe monotone-convexe. Le point CMT est une valeur construite à partir de données de marché, pas l’identifiant d’un titre.

Le Trésor indique aussi que ses taux CMT sont des rendements équivalents obligataires pour des titres à coupons semestriels. Ce sont des cotations annualisées simples, pas des taux annuels effectifs ou des APY. Selon sa convention, un rendement équivalent obligataire de 8,00 % correspond à un rendement annuel effectif de 8,16 % après composition semestrielle. Le tableau CMT ne publie pas de courbe zéro-coupon quotidienne. La ressource Treasury Coupon Issues contient des historiques de courbes spot, par et forward à fréquence mensuelle, trimestrielle ou de fin de mois. La FAQ du Trésor sur les taux d’intérêt précise ces différences.

La méthode de construction de la courbe compte également. La courbe par actuelle du Trésor interpole des forwards obtenus par bootstrap ; un autre fournisseur peut employer des entrées, lissages ou interpolations différents et produire une courbe légèrement différente. Un spot ou forward calculé dépend donc d’une construction de courbe et d’une convention de cotation. Il peut être cohérent et utile sans représenter une obligation du Trésor négociée à part.

Pour valoriser des flux promis, actualisez chaque paiement daté avec les facteurs d’une courbe adaptée au titre et à l’objectif d’évaluation. Une courbe spot zéro représente la valeur temporelle de chaque date ; des ajustements supplémentaires peuvent être nécessaires pour le crédit, la liquidité, la fiscalité et les options. N’actualisez pas chaque coupon à un seul taux d’échéance, sauf si vous choisissez délibérément la méthode YTM.

Pour comparer le coupon d’une nouvelle émission hypothétique au pair, utilisez le rendement par correspondant et sa fréquence de coupon. Pour décrire le rendement d’un Treasury de référence, précisez s’il s’agit d’un titre donné ou d’un point CMT. Pour étudier le taux implicite du marché sur une période future, utilisez un forward et indiquez dates de début et de fin, composition et source de la courbe. Un forward seul ne suffit pas à séparer les anticipations de taux courts de la rémunération de terme ; il faut un modèle ou des données d’enquête.

Ces distinctions expliquent aussi pourquoi le graphique de courbe peut différer de la sensibilité du prix d’une obligation. Pour la réaction d’un portefeuille aux mouvements de courbe à certaines échéances, consultez duration par point clé et risque de courbe. Pour le rôle des estimations de prime de terme dans les rendements longs, consultez prime de terme du Trésor et estimations par modèles. Pour le coupon, le rendement courant et le YTM d’un titre, consultez taux de coupon, rendement courant et YTM.

Notez d’abord le type et la source de la courbe. Est-ce le rendement à l’échéance d’un titre, un point par CMT, une estimation spot ou un forward couvrant un intervalle futur ? Vérifiez ensuite si les taux sont nominaux ou réels, effectifs annuels ou équivalents obligataires, et s’ils supposent des paiements annuels, semestriels ou une autre fréquence. Comparer des périodes ou compositions différentes peut inverser le résultat ou induire en erreur.

Faites ensuite correspondre les flux et les dates. Le coupon par dépend des dates supposées ; le facteur spot, du temps restant jusqu’à chaque paiement ; et le forward, des périodes de début et de fin exactes. Dans une courbe pratique, le décompte des jours, les jours fériés, le délai de règlement, les intérêts courus et l’interpolation entre échéances cotées influencent le résultat. Un écart de quelques points de base peut provenir d’une convention ou d’une date d’arrêté différente plutôt que d’un véritable désaccord sur l’avenir.

Enfin, distinguez le calcul de la courbe de votre conclusion. Les taux par, spot et forward sont des façons liées de résumer les prix, pas des prévisions interchangeables. La courbe montre l’actualisation implicite dans les cotations actuelles et les valorisations relatives selon l’échéance. À elle seule, elle ne permet pas d’identifier la future trajectoire monétaire, de prouver qu’une obligation est bon marché ou chère, ni de connaître le coût réellement payé par un emprunteur après spreads de crédit, frais et conditions contractuelles.

Sources : U.S. Treasury, Treasury Yield Curve Methodology ; U.S. Treasury, Interest Rates FAQs ; U.S. Treasury, Treasury Coupon Issues curve datasets ; Federal Reserve Board, The U.S. Treasury Yield Curve: 1961 to the Present ; Federal Reserve Board, “(Don’t Fear) The Yield Curve”.