Loi normale ou loi de Student-t en finance
Comparez les lois normale et de Student-t selon la décroissance des queues, les degrés de liberté, l'échelle et la variance, la vraisemblance, la dépendance multivariée et leurs limites comme modèles de rendements financiers
Réponse directe
Une loi normale possède des queues à décroissance exponentielle déterminées par sa moyenne et sa variance. Une loi de Student-t ajoute des degrés de liberté ν et possède des queues à décroissance polynomiale, attribuant davantage de probabilité aux observations extrêmes. Elle peut mieux s'ajuster aux rendements financiers, mais une seule loi statique symétrique ne peut expliquer tous les régimes, l'asymétrie ou les grappes de volatilité
Les deux modèles sont des familles symétriques de position-échelle
Une variable normale peut s'écrire X=μ+σZ, où Z est normale standard et σ est égal à son écart-type
Une variable de Student-t de position-échelle peut s'écrire X=μ+sT_ν, où s est un paramètre d'échelle et ν contrôle l'épaisseur de la queue
Les deux sont symétriques autour de μ ; aucune ne produit d'asymétrie des rendements sans extension ou transformation du modèle
La loi de Student-t vient de l'incertitude sur la variance
La statistique classique T=Z/√(V/ν), avec Z∼N(0,1) et V∼χ²_ν indépendants, suit une loi de Student-t standard
Le dénominateur aléatoire rend les valeurs standardisées élevées plus probables que sous une loi normale à variance fixe
Lorsque ν tend vers l'infini, l'incertitude du dénominateur disparaît et la loi de Student-t se rapproche de la loi normale
Les degrés de liberté déterminent les moments
Les queues de Student-t décroissent comme une loi de puissance contrôlée par ν, tandis que les queues normales décroissent exponentiellement selon le carré de la distance
Sa moyenne existe pour ν>1, sa variance pour ν>2 et son moment d'ordre quatre pour ν>4 ; un ν inférieur supprime le moment de population correspondant
Pour ν>4, l'excès de kurtosis vaut 6/(ν−4), ce qui rend explicite la transition vers les queues normales
L'échelle n'est pas toujours l'écart-type
Pour une loi t de position-échelle avec ν>2, Var(X)=s²ν/(ν−2) ; s est donc inférieur à l'écart-type
Comparer σ d'une loi normale à l'échelle s d'une loi t comme s'il s'agissait dans les deux cas de la volatilité peut créer une comparaison fausse de queue ou de vraisemblance
Les logiciels utilisent des noms de paramètres différents et parfois des versions standardisées de variance unitaire ; notez la convention exacte de densité
La vraisemblance équilibre le centre et les queues
Le maximum de vraisemblance normal fait dominer les résidus au carré et peut laisser quelques observations extrêmes gonfler l'estimation de variance
La vraisemblance de Student-t sous-pondère les grands résidus standardisés par l'intermédiaire de ν, offrant un ajustement d'apparence robuste sans les déclarer impossibles
Estimer ν près d'une frontière de moment peut rendre la variance, la kurtosis et les mesures de risque instables même lorsque l'optimiseur converge
Les modèles multivariés changent les extrêmes conjoints
Une loi normale multivariée implique une copule gaussienne, qui possède une dépendance de queue asymptotique nulle en dessous de la corrélation parfaite
Une loi t multivariée partage une échelle aléatoire et produit une dépendance de queue positive et symétrique pour ν fini
Cette symétrie peut tout de même être fausse pour les actions si les krachs conjoints diffèrent des hausses conjointes ou si la dépendance change selon les régimes
Le choix du modèle exige des contrôles de queue hors échantillon
Comparez les graphiques de probabilité et de quantiles, les dépassements de seuil, la vraisemblance prédictive, la couverture des intervalles et les backtests de VaR ou d'ES
Réajustez sur des fenêtres glissantes et testez les alternatives t asymétrique, mélanges, volatilité stochastique et résidus filtrés lorsque la structure persiste
Un meilleur ajustement t signifie qu'il s'agit d'une approximation plus utile pour la tâche choisie, et non que les rendements suivent littéralement une loi t immuable
Questions fréquentes
Pourquoi Student-t a-t-elle des queues plus épaisses que la loi normale ?
Son mélange à échelle aléatoire produit une décroissance polynomiale des queues, tandis que les probabilités normales décroissent exponentiellement avec le carré de la distance
Que signifient les degrés de liberté ?
Le paramètre ν contrôle l'épaisseur des queues et l'existence des moments ; des valeurs positives plus petites créent des queues plus épaisses
L'échelle de Student-t est-elle égale à la volatilité ?
Pas en général. Pour ν>2, son écart-type est s√[ν/(ν−2)] selon la convention courante de position-échelle
Student-t est-elle toujours meilleure pour les rendements financiers ?
Non. Elle capture des queues épaisses symétriques, mais peut manquer l'asymétrie, la dynamique de volatilité, les sauts et la dépendance dépendante des régimes