Test KPSS de stationnarité : hypothèse nulle, statistique et largeur de bande

Le test de Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin, généralement appelé KPSS, inverse l’hypothèse nulle des tests de Dickey–Fuller connus. Son hypothèse nulle est que la série est stationnaire autour des termes déterministes spécifiés dans le test. Dans la formulation originale, l’alternative admet une composante de marche aléatoire dont la variance d’innovation est positive.

Ce choix change l’interprétation du résultat. Une statistique KPSS suffisamment élevée constitue un indice contre l’hypothèse nulle de stationnarité en niveau ou en tendance retenue. Une statistique faible signifie que, dans la configuration choisie, l’échantillon n’a pas fourni assez d’éléments pour rejeter cette hypothèse. Elle ne prouve pas que le processus est stationnaire, que sa moyenne restera stable indéfiniment ou qu’un cours reviendra à un niveau exploitable.

Le guide sur la stationnarité et les racines unitaires présente les notions liées. La comparaison entre ADF et Phillips–Perron décrit deux tests qui placent plutôt une racine unitaire dans l’hypothèse nulle. Il s’agit de questions complémentaires, et non de variantes interchangeables d’un seul test.

Le test KPSS représente une série observée de la manière suivante :

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Ici, \(d_t\) est la composante déterministe, \(r_t\) une composante de marche aléatoire et \(\epsilon_t\) une erreur stationnaire. Pour le test de stationnarité en niveau, \(d_t\) comprend une constante. Pour celui de stationnarité en tendance, il comprend une constante et une tendance temporelle linéaire.

L’hypothèse nulle fixe à zéro la variance d’innovation de la marche aléatoire : \(\sigma_u^2=0\). Sans cette composante, la série fluctue autour de la constante ou de la tendance déterministe retenue. L’alternative autorise \(\sigma_u^2>0\) : les chocs peuvent alors former une tendance stochastique plutôt que s’éteindre autour du chemin déterministe choisi.

Il s’agit d’un modèle maintenu par le test, et non de l’affirmation selon laquelle toute alternative serait une marche aléatoire classique. Des ruptures structurelles, une persistance fractionnaire, une dynamique non linéaire, une variance changeante ou des termes déterministes mal choisis peuvent aussi rendre le modèle de stationnarité inadapté à l’échantillon. Le test révèle une tension avec ses hypothèses, mais ne désigne pas un modèle de remplacement unique.

Commencez par régresser les observations sur les termes déterministes retenus pour le test et notez les résidus \(\hat e_t\). Leurs sommes partielles cumulées sont :

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

La statistique KPSS s’écrit généralement ainsi :

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

où \(n\) est la taille de l’échantillon et \(\hat{\omega}^{\,2}\) une estimation de la variance de long terme des résidus. Si les résidus gardent le même signe pendant un certain temps, \(S_t\) s’éloigne de zéro. Le carré des sommes partielles donne davantage de poids aux écarts persistants qu’aux changements de signe isolés.

La statistique est non négative. Plus les écarts cumulés sont grands par rapport à la variance de long terme estimée, moins l’hypothèse nulle de stationnarité est tenable. Le dénominateur est essentiel : la dépendance sérielle des résidus change l’ampleur des fluctuations attendues d’une somme partielle, même si le processus sous-jacent est stationnaire.

La version en niveau demande si la série est stationnaire autour d’une constante. La version en tendance retire d’abord une constante et une tendance temporelle linéaire, puis teste la stationnarité de la composante restante. Certaines implémentations courantes nomment ces cas mu et tau, mais les noms et conventions de sortie varient selon les logiciels.

Le choix modifie à la fois les résidus et la loi de référence. Omettre une tendance déterministe dans une série stationnaire autour d’une tendance peut laisser une longue structure dans les résidus et gonfler la statistique. Ajouter une tendance sans raison change le modèle testé et peut réduire la capacité à détecter certaines alternatives. Choisissez en fonction de la définition des données et de la question économique, puis indiquez ce choix au lieu de le modifier jusqu’à obtenir un résultat favorable.

Les valeurs critiques de KPSS reposent sur des lois asymptotiques non standard, différentes pour les cas en niveau et en tendance. Ne comparez pas la statistique à un seuil ordinaire de Student ou du khi-deux, et ne supposez pas qu’un seuil mémorisé convient à toutes les spécifications déterministes. Utilisez la table ou la sortie logicielle adaptée et précisez le seuil de signification.

Certains logiciels ne donnent qu’un intervalle de valeur p, car ils comparent la statistique à une table finie de valeurs critiques. Dans ce cas, indiquez l’intervalle justifié par la sortie plutôt que d’inventer des décimales supplémentaires. Précisez le cas de niveau ou de tendance et la source des valeurs critiques afin qu’une autre personne puisse reproduire la décision.

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Un estimateur courant de la variance de long terme utilise des autocovariances résiduelles pondérées :

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Ici, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) désigne l’autocovariance empirique au retard \(j\), avec un dénominateur \(n\) ; les conventions en échantillon fini peuvent varier selon les implémentations.

Avec les poids de Bartlett, \(w_j=1-j/(\ell+1)\). La largeur de bande de troncature \(\ell\) détermine combien d’autocovariances résiduelles entrent dans le calcul et à quelle vitesse leurs poids diminuent. Les implémentations peuvent différer par le noyau, la règle de largeur de bande et les conventions pour les petits échantillons : indiquez ces réglages pour rendre le résultat reproductible.

Cette largeur de bande n’est pas le nombre de différences retardées ajoutées à une régression ADF. Dans KPSS, elle règle l’estimation de la variance de long terme ; dans ADF, les retards d’augmentation entrent directement dans la régression. Un logiciel peut employer le mot « lag » pour les deux réglages : la seule indication « lag 4 » n’est donc pas reproductible.

Une largeur trop courte peut exclure de l’estimation de long terme une dépendance de court terme pertinente. Une largeur bien plus longue peut ajouter des autocovariances empiriques bruitées. L’une ou l’autre peut modifier la statistique, le niveau ou la puissance du test ; le sens de l’effet dépend du profil des résidus. Indiquez le noyau et la règle de choix des retards, et vérifiez si une autre option raisonnable définie à l’avance change l’interprétation.

Cette correction de long terme est liée à l’estimation de covariances cohérente en présence d’hétéroscédasticité et d’autocorrélation. Elle ne rend pas KPSS robuste face à toutes les formes de dépendance, aux ruptures structurelles ou à une mauvaise spécification déterministe. Le guide sur la covariance de Newey–West présente le rôle plus général et les limites des estimations HAC.

Supposons qu’une régression de tendance sur six observations synthétiques donne les résidus \(1,-1,0,0,-1,1\). Leur somme est nulle et leur produit scalaire avec une tendance temporelle linéaire est nul, comme pour des résidus de régression de tendance. Leurs sommes partielles sont \(1,0,0,0,-1,0\), et la somme de leurs carrés vaut \(2\).

Pour illustrer le calcul, utilisons la convention d’autocovariance empirique avec dénominateur \(n\) et un poids de Bartlett de largeur un. Le terme de variance des résidus est \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). L’autocovariance au premier retard est \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), et son poids de Bartlett vaut \(1/2\). Ainsi :

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Ce calcul à six points illustre uniquement la mécanique. L’échantillon est beaucoup trop petit pour justifier la décision asymptotique KPSS habituelle ; ne comparez pas cette statistique à une valeur critique publiée comme s’il s’agissait d’un résultat empirique.

Exécuter KPSS à côté d’un test de type ADF permet de voir dans quelle mesure la conclusion dépend de l’hypothèse nulle. Lisez les deux résultats comme des éléments issus de modèles différents :

Les tests peuvent différer par les corrections de retards, les spécifications déterministes, les échantillons et les approximations en petit échantillon. Alignez ces choix lorsque c’est possible et consignez les écarts inévitables. Ne transformez pas les quatre cas en règle automatique de différenciation. Ne rejeter aucune nullité ne signifie pas qu’elle est vraie.

Un changement ponctuel de moyenne, une tendance qui évolue ou une rupture de variance peut faire paraître non stationnaire sur l’échantillon complet un processus stationnaire à l’intérieur de chaque régime. À l’inverse, avec peu de données, il peut être difficile de distinguer une racine proche de un d’une racine unitaire. Les petits échantillons, les valeurs aberrantes, les queues épaisses, les ajustements non linéaires et l’intégration fractionnaire peuvent aussi rendre l’approximation de référence trompeuse.

Tracez le niveau, l’ajustement déterministe retenu et les résidus avant de publier le résultat. Si une rupture est plausible, utilisez un dispositif qui la traite et précisez sa nullité, la façon dont elle est modélisée et les valeurs critiques. Si vous avez exploré plusieurs dates de rupture ou largeurs de bande, signalez cette sélection : la plus petite valeur p obtenue n’est pas un résultat non sélectionné.

Pour une paire ou un spread proposé, KPSS ne teste pas la cointégration de deux actifs. Le guide Engle–Granger explique une procédure de cointégration fondée sur les résidus et son problème distinct de valeurs critiques. Le guide du rang de cointégration de Johansen présente une approche en système. Un résultat KPSS pour une seule série de prix ne remplace aucune de ces analyses.

Si vous appliquez KPSS aux résidus d’un ratio de couverture estimé, d’un modèle ARMA ou d’une date de rupture choisie, ces résidus proviennent d’une étape d’ajustement antérieure. L’estimation des paramètres et la sélection du modèle peuvent modifier la distribution sous l’hypothèse nulle. Ne supposez pas que les valeurs critiques ordinaires restent valides pour tout le processus : utilisez un test résiduel calibré pour le modèle ajusté ou un bootstrap qui répète les étapes d’estimation.

Indiquez la variable et sa transformation, le nombre d’observations, la nullité de niveau ou de tendance, les termes déterministes, le noyau de variance de long terme, la règle de largeur de bande, la statistique, les valeurs critiques correspondantes ou la valeur p, ainsi que le seuil de signification. Ne présentez une analyse de sensibilité que si les autres réglages sont motivés et exposés clairement ; ne choisissez pas le résultat le plus séduisant après avoir essayé de nombreuses fenêtres et variantes.

Pour les données de marché, précisez les dates de l’échantillon, la fréquence, l’alignement des séances, le traitement des valeurs manquantes et indiquez si la série testée correspond à un prix, un rendement, un résidu ou un spread. Ne pas rejeter la nullité KPSS ne signifie pas qu’un spread convergera bientôt. Une stratégie de retour à la moyenne demande aussi un équilibre défini, une évaluation hors échantillon, des signaux disponibles au moment de l’exécution et des coûts réalistes de spread, de financement, d’emprunt et d’exécution.

Tester le niveau du logarithme d’un prix pose une autre question que tester le rendement, c’est-à-dire la première différence du log-prix. La différenciation peut supprimer une tendance stochastique dans certains modèles, mais elle change la variable étudiée et ne démontre pas de relation de long terme entre deux actifs. Choisissez la transformation selon la grandeur étudiée et le modèle, puis indiquez-la explicitement.

L’article de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt et Shin publié en 199290104-Y) formule le test comme un test LM de l’hypothèse selon laquelle la variance de la composante de marche aléatoire est nulle. L’article de Newey et West publié en 1987 est une référence primaire pour l’estimation de covariances HAC semi-définie positive. Pour comparer avec une hypothèse nulle de racine unitaire, consultez l’article de Dickey et Fuller publié en 1979.