ADF ou Phillips–Perron : quelles différences entre les tests de racine unitaire ?

Dans une équation autorégressive en niveau, une racine unitaire signifie qu’un choc peut ne pas s’éteindre dans le niveau. En régressant la première différence sur le niveau retardé, l’hypothèse devient explicite : si le coefficient du niveau retardé est nul, le processus en niveau possède une racine égale à un selon le modèle choisi. Un coefficient négatif indique une alternative stationnaire, sous réserve des termes déterministes et des autres hypothèses.

Dans les implémentations habituelles, l’hypothèse nulle de l’ADF et du PP n’est donc pas « la série est stationnaire ». Elle pose une racine unitaire ; l’alternative est la stationnarité autour du composant déterministe retenu. Ne pas rejeter la nulle parce que la statistique n’est pas assez négative ne prouve pas la présence d’une racine unitaire. L’échantillon peut simplement manquer d’information pour la distinguer d’un processus stationnaire très persistant dont le coefficient autorégressif est proche de un.

Cela diffère d’un test dont la nulle est la stationnarité, comme KPSS, et d’un test direct de cointégration. Le guide sur stationnarité et racine unitaire présente le cadre général ; le guide d’Engle–Granger étudie le cas particulier où une combinaison linéaire de séries non stationnaires est stationnaire.

Une régression de racine unitaire peut n’inclure aucun terme déterministe, inclure une constante, ou inclure une constante et une tendance temporelle linéaire. Ce ne sont pas de simples options de présentation. Une constante autorise une dérive sous la nulle de racine unitaire et une moyenne non nulle sous l’alternative stationnaire. Une tendance permet à cette alternative de fluctuer autour d’une tendance déterministe. Le modèle et la distribution sous la nulle changent avec ces termes.

Inclure une tendance inutile peut réduire la puissance en ajoutant des paramètres à estimer. Omettre une dérive ou une tendance réellement présente peut fausser la taille et l’interprétation du test. Choisis la spécification selon la question sur le processus générateur et le graphique de la série, indique-la explicitement et utilise les valeurs critiques correspondantes. Ne retiens pas après coup celle qui produit le rejet souhaité.

La même logique vaut pour un prix logarithmique, un spread, un taux d’intérêt ou un rendement. Une tendance haussière plausible pour un niveau de prix ne l’est pas nécessairement pour un rendement. Le test ne choisit pas à ta place la variable économique pertinente. Les composantes déterministes font partie de l’hypothèse, et non d’un prétraitement à dissimuler.

La régression Dickey–Fuller augmentée peut s’écrire ainsi :

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Le terme dₜ contient les composantes déterministes choisies et la nulle est H₀ : γ = 0. Les différences retardées supplémentaires visent à rendre l’erreur restante suffisamment bien comportée pour l’approximation du test. Elles modélisent paramétriquement la dynamique de court terme dans la régression ; elles n’ajoutent pas de restriction de racine unitaire.

L’ordre de retard p compte. Trop peu de retards peuvent laisser une corrélation sérielle dans εₜ et fragiliser l’approximation recherchée. Trop de retards consomment des degrés de liberté et peuvent réduire la puissance, surtout dans un échantillon court. Pars d’un maximum annoncé, confronte un critère d’information défendable aux diagnostics des résidus et indique si des ordres voisins changent le résultat. Un petit retard retenu ne prouve pas que la dépendance résiduelle est négligeable. Harris (1992)90022-Q) étudie des choix pratiques concernant la structure des retards, la taille et la puissance de l’ADF.

Le choix des retards peut être difficile pour certains processus. Ng et Perron montrent qu’une racine de moyenne mobile proche de −1 peut conduire l’AIC ou le BIC classiques à choisir trop peu de retards d’augmentation dans les procédures de racine unitaire qu’ils étudient. Leurs critères d’information modifiés visent les procédures avec detrending GLS et des tests associés. C’est une mise en garde pour certaines dynamiques, pas une règle selon laquelle un critère ou un retard plus long serait toujours supérieur.

Le test de Phillips–Perron part d’une régression de type Dickey–Fuller, sans la somme de différences retardées de l’ADF :

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Il corrige ensuite la statistique à l’aide d’estimations de la variance de court terme et de la covariance de long terme. Une forme courante de cette dernière est :

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

Les γ̂ⱼ sont les autocovariances résiduelles, K un poids de noyau et ℓ un choix de bande passante ou de troncature. La formule exacte dépend de la statistique PP et des conventions du logiciel. La distinction conceptuelle reste la même : l’ADF ajoute des différences retardées à la régression ; le PP applique une correction non paramétrique de la dépendance à la statistique d’une régression plus courte.

Le PP n’est pas simplement « l’ADF avec des erreurs-types robustes ». Sa correction modifie la statistique de racine unitaire et son traitement asymptotique ; une sortie de régression avec erreurs robustes génériques ne rend pas valables les valeurs critiques t ordinaires. Le noyau et la bande passante déterminent la dépendance captée. Une bande trop courte peut manquer une corrélation pertinente ; une bande excessive peut rendre bruyante l’estimation de la variance de long terme.

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Sous la nulle de racine unitaire, le niveau retardé provient d’une tendance stochastique, et non d’un régresseur stationnaire. Les statistiques de la famille DF ont donc des distributions limites non standard. Même avec un grand échantillon, la table t conventionnelle n’est pas la référence adéquate. Les valeurs critiques dépendent de la présence d’une constante, d’une tendance et du choix de statistique et d’implémentation.

Les statistiques PP sont transformées pour tenir compte de la dépendance, mais la nulle de racine unitaire est toujours évaluée à l’aide de la loi de référence non standard appropriée. Utilise des valeurs critiques ou des p-valeurs d’une implémentation reconnue qui correspond aux termes déterministes et à la statistique. Ne compare pas un ADF d’une spécification aux valeurs critiques PP d’une autre et ne lis pas un rapport t de coefficient affiché comme une statistique t de Student ordinaire.

Une calibration asymptotique ne garantit pas un bon comportement dans chaque échantillon fini. L’étude Monte-Carlo de Schwert signale la sensibilité des tests de racine unitaire aux erreurs de spécification et des différences de comportement en échantillon fini. Lis la p-valeur en tenant compte de la taille de l’échantillon, de la dépendance des données, du retard ou de la bande passante et de la spécification de la régression.

La taille est la probabilité de rejeter une vraie nulle de racine unitaire ; la puissance est la probabilité de rejet sous une alternative stationnaire donnée. Un test peut sembler concluant dans un échantillon tout en étant mal calibré pour sa structure de dépendance réelle. Les retards de l’ADF et la correction de covariance de long terme du PP traitent des problèmes liés avec des approximations différentes ; le résultat de l’un ne garantit pas la robustesse de l’autre.

Pour l’ADF, vérifie s’il reste de l’autocorrélation résiduelle après ajout des retards et si un retard supplémentaire modifie sensiblement l’inférence. Pour le PP, indique le noyau et la règle de bande passante, puis examine des variantes raisonnables. Ce sont des analyses de sensibilité, pas une autorisation de tester de nombreuses spécifications et de ne garder que la p-valeur la plus favorable. Les résultats de Ng–Perron montrent aussi que le choix des retards interagit avec le processus d’erreur et le detrending déterministe ; un critère automatique ne règle pas tous les cas.

Les deux tests peuvent avoir peu de puissance contre des alternatives stationnaires très persistantes. Ne pas rejeter n’est pas un élément positif en faveur d’une différenciation nécessaire. Si l’échantillon est court, si la racine est proche de un ou si la conclusion est centrale pour le modèle, considère des éléments complémentaires et des procédures aux hypothèses explicites plutôt que de compter ADF et PP comme des votes indépendants.

Un saut de niveau, un changement de tendance, de régime politique, de parité de change ou de structure du marché peut donner une impression de forte persistance, alors que des segments stationnaires autour d’une trajectoire déterministe changeante conviendraient mieux. L’analyse de Perron sur de grandes ruptures historiques montre que la conclusion de racine unitaire peut dépendre de l’autorisation d’une rupture. L’ADF et le PP standard ne détectent pas automatiquement chaque rupture.

Trace la série, documente les changements institutionnels connus et demande-toi si un test tenant compte des ruptures ou un modèle segmenté répond à la question. Rechercher une rupture après avoir vu le même échantillon peut affecter l’inférence : utilise une méthode dont les valeurs critiques tiennent compte de la recherche, ou présente l’exercice comme exploratoire. Le guide Bai–Perron traite de l’estimation de ruptures de régression, et non d’une correction directe des tests ADF ou PP standard.

La transformation compte aussi. Le niveau d’un prix, son logarithme, un spread et un rendement sont des variables économiquement distinctes. Différencier un niveau probablement intégré peut donner une série plus stable ; différencier un niveau stationnaire peut perdre de l’information et produire une spécification inutilement bruitée. En recherche sur les paires, l’analyse de cointégration aide à distinguer des tendances stochastiques séparées d’un spread potentiellement stationnaire. Aucun diagnostic ne démontre à lui seul la rentabilité d’une stratégie.

Supposons qu’un niveau hypothétique suive :

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ est une dérive constante et les innovations εₜ peuvent être sériellement dépendantes. En soustrayant yₜ₋₁, on obtient Δyₜ = μ + εₜ ; le coefficient γ du niveau retardé est nul dans la régression en différences correspondante. C’est l’écriture algébrique de la nulle de racine unitaire. Cette identité ne fournit pas de p-valeur : la loi de référence reste non standard et dépend des termes déterministes et du traitement de la dépendance.

Avec ADF, les différences retardées tentent de représenter la dépendance de court terme dans la régression. Avec PP, l’équation de base est plus courte et la statistique reçoit une correction estimée de covariance de long terme. Si les données comportent une rupture de tendance déterministe, les deux implémentations standard peuvent être mal spécifiées même si le logiciel affiche une statistique apparemment précise.

La comparaison comporte donc trois niveaux : la nulle de fond, la spécification de régression et les termes déterministes, puis la correction de la dépendance résiduelle. Si les deux premiers restent fixes, ADF et PP sont des diagnostics alternatifs utiles. Modifier les trois jusqu’à ce qu’un test rejette n’est pas un test de robustesse. Des résultats différents invitent à examiner les hypothèses et réglages, pas à choisir un gagnant qui dicterait le modèle.

Indique la variable et sa transformation, les dates et la fréquence de l’échantillon, les termes déterministes et la règle ADF avec l’ordre retenu, ou bien la statistique PP, le noyau et la bande passante. Précise la nulle et l’alternative, la statistique, la valeur critique ou la p-valeur correspondante, ainsi que les contrôles d’autocorrélation résiduelle et de rupture. Si le résultat dépend de réglages défendables, signale-le ; ne montre pas uniquement la spécification qui confirme une interprétation préférée.

Une démarche utile définit d’abord la cible et le modèle économique, choisit les termes déterministes, exécute un ADF ou PP correctement spécifié, examine la dépendance et les ruptures possibles, puis compare avec d’autres éléments. Le guide du ratio de variance examine une autre implication de la marche aléatoire. Il n’a pas la même hypothèse nulle et ne remplace pas un test de racine unitaire.

Ni ADF ni PP n’ordonne de différencier lorsqu’une p-valeur franchit un seuil. La différenciation est un choix de modélisation lié à la série et à la question : prévoir des variations, estimer une relation de long terme, tester un spread de trading ou préserver l’information en niveau peut mener à des décisions différentes. Le test éclaire ce choix, mais la transformation finale doit également tenir compte du processus générateur, de la stabilité, de l’objectif de prévision et d’une éventuelle cointégration.