Modèle HAR-RV : prévisions de volatilité quotidiennes, hebdomadaires et mensuelles

Le modèle autorégressif hétérogène de volatilité réalisée est généralement appelé HAR-RV. Il prévoit une mesure future à partir de mesures récentes de volatilité réalisée résumées sur différentes durées. Une spécification quotidienne courante utilise la dernière séance complète, une moyenne sur cinq séances et une moyenne sur 22 séances. Ces valeurs sont les entrées de la régression ; si la cible est le jour suivant, HAR-RV reste une prévision à un jour.

Le modèle fournit une référence transparente pour étudier la persistance de la volatilité réalisée. Sa structure additive s’estime par régression linéaire et se compare facilement à un modèle fondé sur les rendements, comme GARCH. C’est une spécification de prévision, pas une règle de prise de position, de dimensionnement du risque ou d’évaluation d’un actif.

Corsi décrit le modèle d’origine comme une cascade additive de composantes de volatilité observées sur différentes périodes. L’idée d’horizons différents parmi les participants du marché l’a motivé, mais la régression n’identifie pas des traders particuliers et ne prouve pas que des groupes précis causent la persistance observée. Les composantes quotidiennes, hebdomadaires et mensuelles résument statistiquement la volatilité passée.

Pour une séance \(t\) achevée, une mesure courante de la variance réalisée additionne les carrés des rendements intrajournaliers :

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

Ici, \(r_{t,i}\) est le rendement du \(i\)-ième intervalle intrajournalier et \(M\) le nombre d’intervalles retenus. Cette somme s’exprime en unités de rendement au carré. Ce guide utilise volontairement la variance réalisée sur cette échelle dans chaque composante HAR et chaque exemple de prévision. Le HAR-RV original de Corsi (2009) utilise plutôt des mesures de volatilité réalisée sur l’échelle de la racine carrée. Ces conventions sont liées, mais ne doivent pas être mélangées dans une même régression. Gardez les entrées quotidiennes, hebdomadaires et mensuelles ainsi que la cible de prévision sur une seule échelle. Le guide de calcul de la volatilité réalisée présente ces choix de mesure.

L’intervalle d’échantillonnage, la source des prix, la séance de marché et le traitement des rendements de nuit déterminent ce que mesure \(RV_t\). Une somme fondée uniquement sur les rendements intrajournaliers de la séance régulière ne comprend pas automatiquement le mouvement entre la clôture et l’ouverture suivante. L’échantillonnage à haute fréquence peut aussi être affecté par le bruit des cotations et d’autres caractéristiques de microstructure. Hansen et Lunde (2006) étudient l’effet de ce bruit sur la mesure de variance réalisée. Andersen, Bollerslev, Diebold et Labys relient les observations à haute fréquence à la volatilité réalisée et aux variations des rendements à fréquence plus basse ; leur cadre ne rend pas toutes les règles d’échantillonnage interchangeables.

Gardez une définition cohérente pour l’historique, les variables explicatives et la cible de prévision. Passer des rendements sur cinq minutes à ceux sur une minute, ou d’une séance régulière à une mesure de clôture à clôture, peut modifier la série, les coefficients estimés et la prévision évaluée.

Posons \(RV_t^{(d)}=RV_t\) pour la mesure quotidienne. Une construction fréquente définit la composante hebdomadaire comme la moyenne des cinq dernières valeurs quotidiennes complètes, et la composante mensuelle comme celle des 22 dernières :

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

La division par 5 et 22 donne la variance réalisée quotidienne moyenne sur chaque fenêtre. Une somme représenterait plutôt la variance réalisée cumulée sur toute la fenêtre. Les deux conventions peuvent être utilisées dans un modèle défini séparément, à condition que formule, cible et unités concordent.

Les fenêtres se chevauchent. La mesure quotidienne la plus récente figure aussi dans les moyennes hebdomadaire et mensuelle, et les observations hebdomadaires font partie de la fenêtre mensuelle. Les variables résument donc en partie la même histoire à différentes durées ; elles ne sont pas indépendantes et leurs coefficients ne sont pas des effets causaux séparés de trois horizons.

Les fenêtres de cinq et 22 observations renvoient généralement à des séances de marché, pas forcément à des semaines et mois calendaires. Les jours fériés, séances manquantes et calendriers différents des contrats à terme nécessitent une règle explicite. Documentez le calendrier des observations et le traitement des fenêtres incomplètes avant de comparer des estimations entre actifs.

Une régression quotidienne HAR-RV de base à un pas s’écrit ainsi :

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

Le membre de gauche est la variance réalisée de la prochaine séance achevée. Tous les prédicteurs sont connus à la clôture de la séance \(t\). L’ordonnée à l’origine \(\beta_0\) et les coefficients \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\) sont estimés sur des observations passées ; \(\varepsilon_{t+1}\) est l’erreur de régression restante.

Les moindres carrés ordinaires choisissent les coefficients qui minimisent la somme des erreurs de prévision au carré dans l’échantillon pour la cible définie. Ils donnent ainsi une référence linéaire compacte sans estimer un coefficient distinct pour chaque retard quotidien. Corsi (2009) développe HAR-RV et rapporte des résultats de prévision pour les données et spécifications de son étude. Cela ne garantit ni les mêmes coefficients ni la même précision pour un autre actif, une autre période ou une autre mesure de volatilité.

La notation varie selon les articles. Certaines variantes HAR utilisent les logarithmes, d’autres estimateurs de volatilité réalisée, des retards supplémentaires ou des fenêtres différentes. Ne supposez pas que toutes les équations appelées HAR sont identiques.

Après l’estimation, remplacez les variables par les dernières mesures quotidiennes, hebdomadaires et mensuelles disponibles pour obtenir la prévision ponctuelle de la prochaine séance. L’erreur de régression future est inconnue à l’origine de prévision et n’entre donc pas dans cette valeur :

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

Pour un calcul hypothétique, supposons une constante estimée de \(0{,}10\ \mathrm{bp}^2\) et des coefficients \(0{,}50\), \(0{,}30\) et \(0{,}15\). Si la dernière mesure quotidienne vaut \(4\ \mathrm{bp}^2\), la moyenne sur cinq jours \(3\ \mathrm{bp}^2\) et celle sur 22 jours \(2\ \mathrm{bp}^2\), alors :

\[ 0{,}10 + 0{,}50(4) + 0{,}30(3) + 0{,}15(2) = 3{,}30\ \mathrm{bp}^2 \]

Ces valeurs inventées illustrent l’arithmétique ; elles ne sont ni des données de marché ni un résultat estimé ou une affirmation de performance. Il s’agit d’une prévision pour la prochaine séance selon la cible et les unités précisées. Sa racine carrée donne la volatilité en points de base pour cette même séance ; l’annualisation exige une convention distincte et explicitée.

Ne transformez pas une prévision à un jour en prévision hebdomadaire en changeant simplement son étiquette. Vous pouvez estimer un modèle direct dont la cible est la variance réalisée cumulée ou moyenne de la semaine future. Vous pouvez aussi itérer les prévisions à un pas, en précisant comment mettre à jour les futurs prédicteurs quotidiens, hebdomadaires et mensuels. Fixez l’horizon avant d’évaluer les prévisions. <!-- learn:illustration -->

La volatilité présente souvent une persistance sur de nombreux retards. Une longue autorégression peut représenter cette dépendance, mais exige beaucoup de paramètres. HAR-RV résume l’historique avec quelques moyennes qui se chevauchent et peut reproduire, avec peu de coefficients, des motifs empiriques semblables à ceux de la mémoire longue.

Le mot « approximation » compte. Corsi indique explicitement que le modèle HAR-RV ne possède pas de véritables propriétés de mémoire longue, tout en montrant que des simulations peuvent reproduire certaines caractéristiques empiriques de rendements financiers à mémoire longue. HAR-RV est donc une approximation maniable de motifs particuliers, pas un processus à intégration fractionnaire simplement parce que la dépendance des données décroît lentement.

Les composantes quotidiennes, hebdomadaires et mensuelles ne constituent pas non plus un recensement direct d’investisseurs opérant à ces fréquences. L’idée d’horizons hétérogènes motive la cascade, mais la régression n’identifie ni les groupes d’investisseurs, ni leurs intentions, ni un mécanisme causal.

Un grand saut de prix peut apporter des informations sur la volatilité future que masque une mesure unique de variance totale. Corsi, Pirino et Reno (2010) séparent les variations continues et discontinues grâce à des méthodes de bipuissance avec seuil et étudient le rôle des sauts dans les prévisions de volatilité. Les améliorations rapportées, surtout après un saut, concernent leurs estimateurs, leurs données et leur dispositif empirique.

Une spécification HAR tenant compte des sauts peut inclure des mesures distinctes des composantes continues et des sauts, ou leurs agrégats retardés. Cela ajoute des choix : la méthode de détection des sauts, l’estimation de la composante continue et la disponibilité de la mesure de saut à l’origine de prévision. « Continue » et « saut » désignent des composantes d’estimateur définies par le modèle, pas une décomposition sans erreur.

Des prédicteurs supplémentaires peuvent améliorer les prévisions dans un échantillon et accroître le bruit d’estimation dans un autre. Comparez une extension avec sauts au HAR-RV de base en gardant les mêmes dates de prévision, cible, horizon et ensemble d’information. Ne concluez pas que chaque saut annonce une hausse de volatilité ni que l’extension est toujours supérieure.

Les coefficients HAR-RV dépendent de la série de volatilité réalisée utilisée pour l’estimation. L’intervalle d’échantillonnage, les limites de séance, le nettoyage des prix et le traitement des données manquantes peuvent modifier cette série. Les variables hebdomadaire et mensuelle héritent de ces choix puisqu’elles sont des moyennes des mesures quotidiennes.

Distinguez l’origine de prévision de l’intervalle cible. Si la prévision est faite à la clôture d’une séance, la cible de la séance suivante doit utiliser le même actif, la même convention de rendement, la même couverture de séance et les mêmes unités que les cibles historiques. Si la mesure omet les rendements de nuit, ne la décrivez pas sans ajustement comme une variance complète de clôture à clôture. Les fenêtres calendaires, les périodes pluriquotidiennes chevauchantes et les règles de jours fériés exigent chacune une définition.

Le même point vaut pour comparer HAR-RV à d’autres modèles. Une prévision quotidienne de variance conditionnelle issue de GARCH et une prévision de variance réalisée HAR-RV ne sont comparables qu’après harmonisation des intervalles cibles et des unités. La régression MIDAS relie autrement des observations de fréquences différentes ; elle ne supprime pas la nécessité de définir les informations disponibles à chaque origine.

La variance réalisée est non négative, mais une régression linéaire non contrainte n’impose pas des coefficients ni des prévisions non négatifs. Une estimation ordinaire par moindres carrés peut donc produire une prévision négative hors échantillon. Une spécification logarithmique ou une estimation contrainte traite la positivité autrement, mais change le modèle et l’interprétation des coefficients. Un plancher de prévision est également un choix de modélisation : fixez-le avant l’évaluation, et non après avoir vu quel modèle semble gagner.

Évaluez les prévisions hors de l’échantillon d’estimation et conservez celles qui auraient été disponibles à chaque origine. Harmonisez le proxy, la cible, l’horizon, la couverture de séance, les unités et les dates communes. Décrivez les règles de réestimation et de mise à jour, puis comparez à une référence explicite. Si une mesure réalisée est un proxy imparfait, le classement attendu dépend de sa relation avec la cible et de la fonction de perte. Patton (2011) explique pourquoi le bruit du proxy ne rend pas automatiquement toute comparaison fiable. Le guide QLIKE et erreur quadratique traite ces hypothèses d’évaluation.

Une perte plus faible indique un meilleur score selon la cible, le proxy, l’échantillon et la fonction de perte choisis. Elle ne prouve ni que le modèle cause la volatilité, ni qu’une prévision quotidienne est un signal de transaction, ni qu’une stratégie sera rentable après frais d’exécution et contraintes de risque.