Tests de biais de signe et de taille d’Engle–Ng pour les modèles de volatilité

Un modèle peut saisir le regroupement des amplitudes des rendements tout en manquant des différences entre les effets des chocs sur la variance future. Un GARCH symétrique attribue le même effet à des innovations positives et négatives de même taille. Si les résidus standardisés gardent des motifs différents après chaque signe, cette contrainte peut être trop forte pour l’échantillon.

Engle et Ng en font un diagnostic après estimation : le signe ou la taille de l’innovation précédente explique-t-il le résidu normalisé au carré d’aujourd’hui ? Leur article définit la courbe d’impact des nouvelles et compare des modèles sur des rendements quotidiens d’actions japonaises. Le classement obtenu concerne cet échantillon, pas tous les marchés (Engle et Ng, 1993).

Ici, « biais » désigne un motif résiduel de signe ou de taille non expliqué par le modèle de variance, et non un biais statistique des paramètres estimés. Définissez d’abord un modèle GARCH, puis évaluez la pertinence de sa réponse aux chocs pour l’objectif et l’échantillon.

Écrivez le rendement ainsi :

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

Ici, \(\mu_t\) est la moyenne conditionnelle et \(\epsilon_t\) l’innovation après estimation du modèle de moyenne. \(h_t\) est la variance conditionnelle estimée ; le résidu standardisé rapporte l’innovation à l’échelle de variance prévue.

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

Avec un modèle de variance adapté, \(\hat z_t^2\) ne devrait pas être systématiquement plus grand ou plus petit après certains chocs passés, au-delà de ce que le modèle maintenu explique. La standardisation retire l’échelle prévue ; les résidus bruts au carré peuvent garder le regroupement habituel de volatilité. Définissez l’équation de moyenne, les résidus, la variance, l’échantillon et les unités avant d’interpréter une valeur p.

Définissez l’indicatrice d’une innovation précédente négative et son complément :

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

Le régresseur du test de signe est \(S^-\), celui de taille négative \(S^-\hat\epsilon\), et celui de taille positive \(S^+\hat\epsilon\). Ils répondent à des questions distinctes : le signe seul compte-t-il, et la taille ajoute-t-elle de l’information au sein de chaque branche ? Précisez le classement d’une innovation nulle et les unités, car les coefficients de taille en dépendent.

La courbe d’impact des nouvelles résume comment un nouveau choc modifie la prochaine variance conditionnelle, à états égaux. Celle d’un GARCH symétrique est symétrique autour de zéro ; les spécifications asymétriques relâchent cette contrainte. C’est une propriété du modèle, non une réaction causale directement mesurée sur le marché.

\(\mathbf z_{ot}^*\) est le vecteur des dérivées normalisées de la variance conditionnelle maintenue par rapport aux paramètres de nuisance, évaluées sous l’hypothèse nulle. Ce sont des termes de score/dérivée, pas nécessairement les régresseurs bruts de variance. Chaque régression auxiliaire ajoute le terme de signe ou de taille tout en conservant ces contrôles.

Le test demande si le signe de l’innovation précédente prédit le résidu standardisé au carré actuel. Une régression auxiliaire simple est :

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

L’hypothèse nulle individuelle est \(b_s=0\). Dans la mise en œuvre complète, les termes du modèle prévus par la procédure sont conservés et l’on teste l’apport supplémentaire de l’indicatrice. Un coefficient significatif indique des profils de variance résiduelle différents après les chocs négatifs et non négatifs, conditionnellement au modèle estimé.

Cela ne signifie pas que les rendements négatifs augmentent toujours la volatilité. Le test n’identifie ni mécanisme causal ni toute réponse non linéaire possible. Un rejet invite à examiner le modèle et les données.

Ce test se concentre sur la branche négative et demande si l’amplitude de l’innovation explique un motif résiduel :

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

L’hypothèse nulle est \(b_-=0\). L’innovation étant négative lorsque l’indicatrice vaut un, le signe du coefficient dépend de la convention et des unités. Le test cherche une information sur la taille non captée par le modèle ; il ne prouve ni causalité des mauvaises nouvelles ni amélioration des prévisions.

Les régresseurs auxiliaires peuvent être corrélés, ce qui complique l’isolement de la contribution de chaque terme. Interprétez les tests individuels avec la régression complète et le test conjoint.

Des travaux connexes comparent des spécifications de variance asymétriques comme GJR, mais leurs résultats empiriques restent liés aux données et hypothèses de chaque étude (Glosten, Jagannathan et Runkle, 1993).

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Le test correspondant examine la branche des innovations positives :

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

L’hypothèse nulle est \(b_+=0\). Ce test peut être significatif même si celui du signe ne l’est pas : la réponse peut varier avec l’amplitude au sein d’une branche sans différence moyenne entre signes.

Le « biais de taille positive » ne signifie pas que les rendements positifs augmentent ou diminuent nécessairement la volatilité. L’EGARCH de Nelson et le modèle à seuil de Zakoian permettent des dynamiques asymétriques ; ce sont des solutions à évaluer, pas des corrections automatiques ou toujours supérieures.

(Nelson, 1991 ; Zakoian, 199490039-6)).

Les trois régresseurs peuvent être testés ensemble dans une régression auxiliaire :

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

L’hypothèse nulle conjointe est \(b_1=b_2=b_3=0\). Sous la spécification maintenue et les conditions usuelles de grand échantillon, la statistique LM se compare asymptotiquement à une loi du chi-deux à 3 degrés de liberté. Une forme courante est \(LM=M R^2\), où \(M\) compte les lignes utilisées et \(R^2\) provient de la régression spécifiée. Suivez l’équation et les règles d’échantillon fini de la mise en œuvre retenue.

Engle et Ng précisent que retirer \(\mathbf z_{ot}^*\) de la régression conjointe rend le test conservateur : sa taille ne dépasse pas le niveau nominal et sa puissance peut diminuer.

Exemple purement hypothétique : pour \(M=400\) et \(R^2=0.012\), \(LM=4.8\). La valeur critique à 5 % du chi-deux à 3 degrés de liberté est d’environ 7.81 ; on ne rejette donc pas ici. Ce ne sont pas des résultats empiriques et cela ne prouve pas la symétrie.

Une petite valeur p motive l’examen d’un motif résiduel défini, mais ne choisit pas un autre modèle et ne prouve ni mécanisme de levier causal ni valeur prédictive économique. Une grande valeur p indique seulement que le test n’a pas détecté le motif choisi dans cet échantillon.

Les régresseurs auxiliaires peuvent être corrélés, surtout l’indicatrice de signe et le terme de taille négative, ce qui réduit la puissance des tests individuels. La taille de l’échantillon, l’estimation et la spécification maintenue comptent aussi. Tester de nombreux actifs, modèles, retards et fenêtres augmente la probabilité d’obtenir par hasard une petite valeur p.

Valeurs extrêmes, sauts, ruptures, dynamique de moyenne omise ou unités incohérentes peuvent modifier les résultats. Documentez rendement, fenêtre d’estimation, convention de signe et inférence ; signalez les limites asymptotiques et envisagez un rééchantillonnage adapté.

ARCH LM demande si les résidus au carré retardés expliquent le résidu au carré actuel ; voir le guide ARCH-LM. Engle–Ng teste des termes précis de signe et de taille. Ljung–Box porte sur l’autocorrélation des résidus, une autre question.

Après un rejet, estimez éventuellement GJR-GARCH, EGARCH ou un modèle à seuil, réexaminez les résidus et évaluez séparément les prévisions. QLIKE et erreur quadratique notent les prévisions une fois produites ; ils ne remplacent pas le diagnostic de spécification.

Si une prévision de volatilité alimente une règle de trading, évaluez-la hors échantillon avec frais, spread, impact de marché, financement et limites de risque. Le test de signe et de taille n’est pas un signal d’achat ou de vente.