Le test ARCH-LM : détecter le regroupement de volatilité dans les résidus financiers

Le test examine si l’ampleur des chocs passés apporte de l’information sur la dispersion actuelle des résidus. Plus précisément, il teste conjointement le pouvoir explicatif des carrés des résidus retardés jusqu’à l’ordre q retenu. Il s’agit d’un diagnostic ciblé de dépendance possible dans la variance conditionnelle.

Il ne dit pas si le rendement va monter ou baisser, n’identifie pas la cause de la dépendance et ne prouve pas qu’un modèle GARCH donné soit correct. Un résultat significatif n’est pas un signal de trading. L’article fondateur de Robert Engle présente ce test d’hétéroscédasticité conditionnelle : Autoregressive Conditional Heteroscedasticity et sa conférence Nobel.

Estimez d’abord une équation de moyenne adaptée à la définition des rendements, à leur fréquence et à la question étudiée. Il peut s’agir d’une régression OLS simple ou d’une spécification temporelle justifiée. Utilisez ensuite ses innovations ou résidus estimés eₜ et vérifiez que la dynamique de moyenne est raisonnablement capturée.

Une autocorrélation, une tendance ou une autre dynamique omise dans la moyenne peut laisser des motifs résiduels qui ressemblent à une dépendance de variance. ARCH-LM ne dispense donc pas de vérifier l’équation de moyenne. Le guide sur les coefficients et hypothèses OLS porte sur cette régression ; celui sur les erreurs-types robustes traite de l’inférence en présence d’hétéroscédasticité et de corrélation sérielle.

Régressez les résidus au carré sur une constante et leurs q retards au carré :

e_t^2 = a_0 + a_1 e_{t-1}^2 + ... + a_q e_{t-q}^2 + v_t

L’hypothèse nulle est H₀ : a₁ = ... = a_q = 0. Sous les conditions asymptotiques usuelles, la statistique LM = M × R² suit approximativement une loi du chi carré à q degrés de liberté. M est le nombre de lignes effectivement utilisables dans cette régression auxiliaire après alignement des retards ; il est inférieur ou égal à la taille initiale de l’échantillon.

Choisissez q avant le test. La statistique mesure l’évidence conjointe apportée par ces q carrés retardés, pas l’ampleur d’un effet économique. Engle décrit cette construction LM dans son article de 1982.

Supposons q = 5, M = 300 lignes utilisables après alignement et R² = 0,018 dans la régression auxiliaire. Alors LM = M × R² = 300 × 0,018 = 5,4. Le seuil critique à 5 % de la loi du chi carré à cinq degrés de liberté est d’environ 11,07.

Comme 5,4 est inférieur à 11,07, on ne rejette pas H₀ au seuil de 5 % dans cet exemple entièrement hypothétique. Cela ne prouve pas que la variance soit constante : un échantillon court, une faible puissance ou un choix de q inadapté peut masquer des motifs. Ces chiffres ne sont ni une prévision ni une description d’un marché réel.

Un q faible cible les retards courts ; un q plus élevé peut capter des dépendances plus longues, mais utilise davantage de degrés de liberté et laisse moins de lignes après alignement. Choisissez q selon la fréquence, la question théorique et la taille de l’échantillon, et non en recherchant après coup la valeur p la plus favorable.

Rapportez un ordre principal justifié à l’avance et, si utile, une analyse de sensibilité limitée à d’autres valeurs plausibles de q. Tester de nombreux ordres puis ne publier que le résultat significatif accroît le risque de tests multiples. Le résultat dépend aussi de l’équation de moyenne et du traitement des observations extrêmes.

Comme les résidus sont mis au carré, une seule observation très importante peut peser lourd. Des ruptures structurelles, changements de régime, queues épaisses ou dynamiques de moyenne omises peuvent aussi créer une dépendance des résidus au carré. Un résultat significatif ne distingue pas ces explications.

Avant d’interpréter une dynamique de variance, vérifiez les dates, la qualité des données, la séquence des résidus et le modèle de moyenne. Avec peu d’observations, l’approximation asymptotique du chi carré peut être imprécise. Indiquez taille de l’échantillon, q, M, statistique, valeur p et hypothèses au lieu de conclure simplement qu’il « existe de l’ARCH ».

Le test de McLeod-Li examine les autocorrélations des résidus au carré ; c’est un diagnostic apparenté de dépendance non linéaire. L’article original de McLeod et Li expose cette approche. Aucun de ces tests ne prouve une prévisibilité ni n’identifie la cause du motif.

ARCH-LM ne remplace pas non plus les erreurs-types robustes : le test diagnostique un motif dans les carrés, tandis qu’une covariance robuste ajuste l’incertitude des coefficients sous certaines conditions. Il ne remplace pas davantage un modèle GARCH. Le guide sur le regroupement de volatilité et GARCH présente des modèles de variance conditionnelle ; GARCH est une suite possible, pas une conclusion du test.

Si le diagnostic suggère une dépendance de variance, un modèle ARCH ou GARCH peut être étudié comme candidat. Après estimation, vérifiez à nouveau les résidus standardisés et leurs carrés, la stabilité des paramètres et les erreurs de prévision de variance hors échantillon. Absorber un motif dans l’échantillon ne garantit pas des prévisions fiables.

Consignez l’équation de moyenne, la fréquence des rendements, q, M, LM, R², valeur p, période étudiée, traitement des valeurs extrêmes et analyse de sensibilité. Séparez le diagnostic du choix de modèle et de la décision de trading. ARCH-LM est un outil statistique, pas un conseil en investissement ni un signal de direction ou de rentabilité.