Mesures de risque cohérentes et représentation duale expliquées
Découvrez les quatre axiomes de cohérence, la manière dont la diversification intervient dans le capital de risque et pourquoi un risque cohérent peut être représenté par la perte attendue dans le pire des cas selon plusieurs scénarios
Réponse directe
Une mesure de risque cohérente ρ transforme un profit futur X en capital requis tout en respectant la dominance, la trésorerie, la diversification et l'échelle. Sous certaines conditions, elle est égale à la perte attendue la plus défavorable parmi des mesures de probabilité de stress déclarées
La convention de signe détermine chaque formule
Notons X la valeur nette ou le profit futur : plus X est grand, meilleur est le résultat, et ρ(X) est le capital requis aujourd'hui
Utiliser les pertes à la place inverse plusieurs signes. Un chiffre de risque est incomplet si la convention de position, l'horizon et l'unité de règlement ne sont pas indiqués
L'ensemble d'acceptation contient les positions telles que ρ(X) ≤ 0 et fournit une vision géométrique équivalente de l'adéquation du capital acceptable
La monotonie et la translation de trésorerie donnent le sens
Si X ≤ Y dans chaque état, la monotonie exige ρ(X) ≥ ρ(Y) : une position dominée ne peut pas être jugée plus sûre
L'invariance par translation de trésorerie donne ρ(X + m) = ρ(X) - m pour une trésorerie certaine m dans le même numéraire et le même horizon
Cette propriété fait de ρ une exigence de capital plutôt qu'un score sans dimension, mais les conventions de financement et de devise restent importantes
La sous-additivité récompense la diversification
La sous-additivité exige ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)
La réunion de desks ne devrait pas créer plus de risque mesuré que l'évaluation de chacun séparément lorsque la diversification est reconnue de manière cohérente
L'inégalité peut échouer dans une implémentation si les scénarios, les horizons de liquidité ou les règles de débouclage non linéaires diffèrent selon les positions
L'homogénéité positive suppose une mise à l'échelle linéaire
Pour λ ≥ 0, l'homogénéité positive exige ρ(λX) = λρ(X)
Avec la sous-additivité, elle donne la convexité, mais suppose que doubler une position double le risque sans détériorer la liquidité ni l'impact de marché
Les mesures de risque convexes relâchent l'homogénéité et peuvent représenter les coûts dépendant de la taille grâce à une pénalité dans la formule duale
La représentation duale transforme le risque en anticipations de stress
Sous des conditions finies ou d'analyse fonctionnelle appropriées, ρ(X) = sup_{Q∈𝒬} E_Q[-X]
L'ensemble 𝒬 contient des mesures de test ou de stress ; la perte attendue la plus défavorable pour la position X détermine le capital requis
La représentation ressemble à la dualité de la super-couverture, mais l'ensemble des scénarios admissibles fait partie de la politique de risque et doit être justifié
La VaR et la perte attendue se comportent différemment
La Value at Risk est un quantile et n'est pas sous-additive pour toutes les distributions ; elle n'est donc généralement pas cohérente
La perte attendue moyenne les pertes dans la queue sélectionnée et est cohérente selon les définitions standard et sous des conditions d'intégrabilité
Le niveau de queue, le traitement des masses, l'interpolation, le signe des pertes, l'horizon et le modèle de données peuvent modifier sensiblement l'une ou l'autre estimation
Une formule cohérente peut rester mal implémentée
La couverture des scénarios, les estimations de probabilité, la dépendance, les positions obsolètes, la réévaluation non linéaire et les hypothèses de liquidité déterminent le résultat
Backtestez les exceptions et les pertes de queue, mettez sous stress les facteurs omis et comparez les allocations marginales et par composante avec une réévaluation complète
Indiquez l'ensemble d'acceptation ou la famille de scénarios duaux, la fenêtre de données, la mise à l'échelle, le niveau de confiance et les limites au-delà desquelles le capital cesse d'évoluer linéairement
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une mesure de risque cohérente en termes simples ?
C'est une règle de capital conçue pour respecter la dominance, les liquidités détenues, la diversification et la mise à l'échelle proportionnelle
Pourquoi la sous-additivité est-elle importante ?
Elle empêche que le risque mesuré d'un portefeuille combiné dépasse la somme des risques mesurés séparément, sous des hypothèses cohérentes
Que signifie la représentation duale ?
Elle signifie que le capital de risque peut être calculé comme la perte attendue la plus élevée sur une famille spécifiée de mesures de probabilité ou de scénarios de stress
La Value at Risk est-elle une mesure de risque cohérente ?
Pas en général, car la VaR peut violer la sous-additivité ; la perte attendue respecte la cohérence dans les conditions standard