Prix d'état d'Arrow–Debreu : explication
Comprenez les titres conditionnels à un état, pourquoi les prix d'état diffèrent des probabilités et comment la courbure du prix des options révèle une densité neutre au risque
Réponse directe
Un titre d'Arrow–Debreu verse une unité dans un état futur précis et zéro dans tous les autres. Son prix d'état courant combine l'actualisation, la probabilité physique et la valeur de la richesse dans cet état ; il ne s'agit donc pas d'une probabilité brute
Les créances élémentaires isolent un état futur
Supposons que l'incertitude future soit divisée en états mutuellement exclusifs. Le titre s verse une unité uniquement si l'état s se réalise
Tout payoff conditionnel à l'état X peut alors être écrit comme un ensemble de quantités d'état X_s
Si toutes les créances élémentaires se négocient ou peuvent être répliquées, elles forment une base pour valoriser chaque payoff dans cet espace d'états fini
Les prix d'état valorisent les vecteurs de payoffs complets
Soit q_s le prix actuel d'une unité dans l'état s. Le prix du payoff X est la somme de q_s X_s sur tous les états
La linéarité découle de la combinaison des portefeuilles, tandis que des prix d'état positifs empêchent un payoff non négatif gratuit dans un état possible
Le prix d'une unité sans risque dans chaque état est la somme de tous les q_s, égale au prix de l'obligation zéro coupon pertinente
Un prix d'état n'est pas une probabilité physique
Si p_s est la probabilité physique et m_s le facteur d'actualisation stochastique, q_s = p_s m_s
Un état de catastrophe rare peut avoir un prix élevé par unité de probabilité, car la richesse livrée dans cet état est particulièrement précieuse
Diviser q_s par le prix de l'obligation donne une probabilité neutre au risque, séparant la normalisation du prix d'état en valeur actuelle d'origine
Les spreads d'options approchent les créances d'état
Un butterfly serré paie principalement lorsque le sous-jacent finit près de son strike central, ce qui approche une créance conditionnelle à un état étroit
Lorsque l'espacement des strikes se réduit, la dérivée seconde par rapport au strike d'une courbe lisse de prix des calls européens retrouve la densité neutre au risque actualisée sous des hypothèses standard
Ce résultat de Breeden–Litzenberger relie la courbure observable entre les strikes aux prix d'état, et non directement aux croyances physiques
L'absence d'arbitrage impose des contraintes de forme
Les prix des calls doivent diminuer avec le strike et rester convexes, car les créances digitales et les butterflies ne peuvent avoir des prix négatifs
La cohérence calendaire et le traitement correct du forward, de l'actualisation, des dividendes et du règlement sont également nécessaires avant d'interpréter une surface
Les violations peuvent refléter des cotations périmées, le bruit bid-ask, des strikes discrets, l'exercice anticipé ou une véritable incohérence des entrées, plutôt qu'un arbitrage négociable
Les marchés incomplets laissent les prix d'état indéterminés
Si les payoffs négociés ne couvrent pas tous les états, plusieurs vecteurs de prix d'état peuvent reproduire les mêmes prix observés
Les bornes d'une créance non négociée découlent de portefeuilles qui la sous-répliquent ou la sur-répliquent, mais un prix exige un critère supplémentaire
Ajouter des options sur plusieurs strikes améliore l'espace de payoffs représenté, mais des contrats finis et bruités ne créent jamais automatiquement un continuum idéal
L'extraction est un problème inverse statistique
Les chaînes d'options réelles sont éparses, bruitées, asynchrones et limitées à une plage de strikes. Les dérivées secondes amplifient ces imperfections
L'interpolation, le lissage, l'extrapolation des queues, l'exercice américain, les taux et les hypothèses de dividendes peuvent modifier sensiblement la densité déduite
Validez la revalorisation, la positivité, l'intégration au prix de l'obligation, la cohérence du forward et la sensibilité au lissage avant d'utiliser les prix d'état
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un titre d'Arrow–Debreu ?
C'est une créance conditionnelle qui verse une unité si un état futur précis se réalise et zéro dans tous les autres états
Les prix d'état sont-ils identiques aux probabilités ?
Non. Ils incluent à la fois la probabilité et la valeur de la richesse dans chaque état, ainsi que l'actualisation
Comment les options révèlent-elles les prix d'état ?
La dérivée seconde par rapport au strike d'une courbe lisse de prix des calls européens correspond à la densité neutre au risque actualisée
Pourquoi les prix d'état estimés sont-ils instables ?
Ils exigent de dériver des prix épars et bruités et dépendent donc fortement de l'interpolation, des queues, du portage et du traitement de l'exercice