Realisierte Semivarianz: Aufwärts- und Abwärtsvolatilität getrennt messen

Seien \(r_i\) Intraday-Logrenditen innerhalb eines festen Intervalls. Die realisierte Varianz ist die Summe der quadrierten Renditen, \(RV=\sum_i r_i^2\). Durch das Quadrieren werden Gewinne und Verluste positiv, und größere Bewegungen erhalten mehr Gewicht. Die Kennzahl misst die im Intervall angesammelte Variation, zeigt aber nicht, ob sie aus Aufwärts- oder Abwärtsbewegungen stammt.

Die realisierte Semivarianz behält das Vorzeichen vor dem Quadrieren bei. Die positive Komponente summiert quadrierte Renditen über null, die negative Komponente jene unter null. Bei identischen Beobachtungen und Konventionen ergibt ihre Summe die realisierte Varianz. Eine Rendite von null trägt zu keiner Seite bei. Das ist eine Rechenidentität, kein Beleg dafür, dass beide Seiten eigenständige kausale Risikoquellen sind.

Die Aufteilung ist nützlich, wenn sich die Forschungsfrage auf richtungsabhängige Variation bezieht, etwa ob die Variation früherer negativer Renditen andere Informationen über künftige Volatilität enthält als die Variation positiver Renditen. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock und Shephard führten die realisierte Semivarianz als hochfrequentes Maß der Abwärtsvariation ein. Ihr Arbeitspapier entwickelt den Zusammenhang mit quadratischer Variation und negativen Sprüngen.

Für Renditen \(r_1,\ldots,r_n\) gilt:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

wobei \(\mathbf{1}(\cdot)\) bei erfüllter Bedingung eins und sonst null ist. Damit gilt:

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Manche Arbeiten verwenden andere Bezeichnungen oder Hochstellungen. Ein Bericht sollte deshalb angeben, welcher Term positive und welcher negative Renditen meint. Die Formel verwendet nicht um null zentrierte Renditen: Weder Stichprobenmittel noch Zielrendite oder risikofreier Zins werden abgezogen. Eine Semivarianz um einen Zielwert oder Mittelwert ist eine andere Kennzahl.

Die Einheiten sind quadrierte Renditeeinheiten. Bei Renditen in Basispunkten ist jede Komponente in \(\text{bp}^2\) angegeben; bei dezimalen Logrenditen in quadrierten Dezimalrenditen. Der Wechsel von Prozent zu Basispunkten multipliziert das Zahlenmaß im Quadrat mit 10.000. Die Einheit muss daher beim Wert stehen.

Angenommen, eine hypothetische Sitzung weist sechs Renditen in Basispunkten auf:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Die positiven Renditen tragen \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\) bei. Die negativen Renditen ergeben \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). Die Rendite von null trägt nichts bei. Somit ist die realisierte Varianz

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

In diesem kleinen Beispiel beträgt der negative Anteil \(21/34\), also rund 61,8 %, der positive etwa 38,2 %. Das sind Anteile an einer erfundenen Summe, keine Wahrscheinlichkeit eines künftigen Verlusts und keine Schätzung einer stabilen langfristigen Asymmetrie. Sechs Renditen reichen bei Weitem nicht für Inferenz. Die Rechnung prüft lediglich die Definitionen.

Der Leitfaden zur realisierten Volatilität behandelt die ungeteilte Summe quadrierter Renditen. Der Leitfaden zur Bipower-Variation beantwortet eine andere Frage: wie sich kontinuierliche Variation schätzen lässt, wenn seltene Sprünge auftreten können. Richtungsabhängige Semivarianz und sprungrobuste Variation lassen sich gemeinsam untersuchen, ersetzen einander aber nicht.

Folgt der latente logarithmische Preis einem stetigen Semimartingal und wird die Stichprobe unter den relevanten Regularitätsbedingungen immer feiner, konvergieren positive und negative Renditesemivarianz jeweils gegen die Hälfte der kontinuierlichen quadratischen Variation. In diesem Fall können die beiden endlichen Stichprobensummen unterschiedlich sein, obwohl die zugrunde liegende kontinuierliche Variation keine dauerhafte Richtungsaufteilung aufweist. Zufälligkeit der Stichprobe spielt eine Rolle.

Bei Sprüngen wird das quadrierte Sprungmaß entsprechend seinem Vorzeichen der positiven oder negativen Komponente zugeordnet. So bleiben Informationen erhalten, die die gesamte realisierte Varianz verwirft. Das bedeutet jedoch nicht, dass jede negative Rendite ein Sprung oder jede positive Rendite harmlos ist. Sowohl eine große kontinuierliche Bewegung als auch ein Sprung kann eine große quadrierte Rendite erzeugen. Das Vorzeichen klassifiziert die beobachtete Änderung, nicht ihre wirtschaftliche Ursache.

Die konzeptionelle Abbildung unten zeigt positive und negative Änderungen in zwei visuellen Gruppen. Sie ist weder ein Datenchart noch ein Testergebnis und behauptet keine dauerhafte Richtungsneigung des zugrunde liegenden Prozesses.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Realisierte Semivarianzen können als getrennte Prädiktoren in ein Modell für künftige Volatilität eingehen. Patton und Sheppard fanden in ihrer Studie zum S&P 500 und zu Einzelaktien, dass frühere Variation negativer Renditen in ihren Stichproben und Spezifikationen stärker mit künftiger Volatilität zusammenhing als Variation positiver Renditen. Das ist ein empirischer Befund ihres Designs, kein allgemeines Marktgesetz und keine Garantie für die Prognoseleistung einer neuen Strategie.

Für eine Prognosebehauptung müssen Ziel und Horizont festgelegt, ein geeigneter Benchmark gewählt und die Leistung außerhalb der Stichprobe bewertet werden. Ein Unterschied zwischen \(RS^-\) und \(RS^+\) an einem Tag ist beschreibend und beweist keine Vorhersagekraft. Eine Regression muss möglicherweise auch Volatilitätspersistenz, überlappende Horizonte, Parameterunsicherheit und Datenauswahl berücksichtigen. Prognosefehler sollten mit einer zur Entscheidung passenden Verlustfunktion geprüft werden.

Als multivariate Erweiterung entwickeln Bollerslev, Li, Patton und Quaedvlieg realisierte Semikovarianzen, die realisierte Kovarianz nach den Vorzeichen gepaarter hochfrequenter Renditen zerlegen. Ihr Econometrica-Artikel erläutert, warum gleich- und gemischt-signierte Komponenten unterschiedliche Informationen enthalten können. Die univariate Aufteilung in positiv und negativ ist einfacher und darf nicht als vollständige Kovarianz- oder Portfoliorisikozerlegung dargestellt werden.

Der Ausdruck „Abwärtssemivarianz“ wird unterschiedlich verwendet. Das hier betrachtete realisierte Maß quadriert hochfrequente Renditen unter null. Eine zielwertbasierte Abwärtskennzahl quadriert Renditen unterhalb eines Schwellenwerts, oft einer Zielrendite oder Mindestrendite. Stichprobenberechnungen können Beobachtungen auch um den Mittelwert zentrieren. Diese Definitionen beantworten unterschiedliche Fragen und können für dieselbe Renditereihe verschiedene Werte ergeben.

Keine der realisierten Semivarianzen ist Value-at-Risk oder Expected Shortfall. VaR bezeichnet ein Quantil einer festgelegten Verlustverteilung und eines festgelegten Horizonts; Expected Shortfall fasst Verluste jenseits eines Quantils nach einer angegebenen Konvention zusammen. Die Summe quadrierter negativer Intraday-Renditen hat keine dieser Bedeutungen. Sie misst auch keinen vollständigen Drawdown, denn dieser hängt von Reihenfolge und Verlauf der Renditen ab.

Wenn eine Grafik oder ein Modell \(RS^-\) als „Abwärtsrisiko“ bezeichnet, definiere den Begriff direkt daneben. Gib an, ob Renditen relativ zu null oder einem Ziel gemessen werden, welche Frequenz gilt und ob die Größe eine Intervallkennzahl, ein Prognoseinput oder ein Portfoliomaß ist. Der GARCH-Leitfaden zur Volatilität behandelt die Dynamik bedingter Varianz; realisierte Semivarianz liefert eine richtungsabhängige Hochfrequenzmessung, die als Input dienen kann.

Die Aufteilung nach Vorzeichen hängt von der beobachteten Renditereihe ab. Häufigere Stichproben können Bid-Ask-Bounce, Preisraster, veraltete Quotes und Zeitstempel-Effekte hinzufügen. Eine kleine registrierte Preisänderung kann ihr Vorzeichen wechseln, wenn Proxy oder Stichprobenraster geändert werden. Mikrostrukturrauschen beeinflusst daher sowohl den quadrierten Betrag als auch die Seite, der eine Rendite zugeordnet wird. Die Identität \(RV=RS^++RS^-\) gilt weiterhin für die gewählte Reihe, bestätigt aber nicht das Stichprobendesign.

Für einen robusten Vergleich dokumentiere Preisfeld, Stichprobenintervall, Sitzungsgrenze, Umgang mit Nullrenditen, Ausreißerregeln und Synchronität der Renditen über Vermögenswerte hinweg. Prüfe die Sensitivität bei vertretbaren Stichprobenentscheidungen. Wenn Sprungerkennung oder Robustheit gegenüber Rauschen die Kernfrage ist, verwende einen dafür entwickelten Schätzer oder Test, statt die Vorzeichenaufteilung als Korrektur zu interpretieren. Der Leitfaden zur Two-Scale Realized Volatility erklärt eine alternative Rauschkorrektur.

Statistische Inferenz erfordert außerdem eine Stichprobenverteilung oder ein geeignetes Resampling-Design. Positive und negative Komponenten stammen aus derselben Kurve und können abhängig sein; überlappende Fenster erzeugen weitere Abhängigkeit. Konfidenzintervalle und Prognosevergleiche müssen das berücksichtigen. Zwei Punktschätzer allein zeigen nicht, dass ihre prognostische Rolle verschieden ist.

Ein klarer Bericht nennt die Renditereihe des Vermögenswerts oder Portfolios, den Beobachtungszeitraum, die Renditedefinition, das Stichprobenraster und die Einheiten. Er gibt die Formeln für \(RS^+\) und \(RS^-\) an, bestätigt ihre Summe zur realisierten Varianz und beschreibt den Umgang mit Nullwerten und fehlenden Beobachtungen. Wird das Maß in einem Prognosemodell verwendet, gehören Horizont, Benchmark, Evaluationszeitraum und Verlustfunktion dazu.

Wandle realisierte Semivarianz nicht ohne Annahmen zur Aggregation direkt in annualisierte Volatilität um. Tägliche Semivarianzen lassen sich nach einer gewählten Konvention zu einer beschreibenden Jahressumme addieren; ihre Wurzel ist aber nicht automatisch eine Abwärtsstandardabweichung mit bekannter Verteilung. Annualisierung korrigiert weder verzerrte Preiseingaben noch seltene Stichproben oder Selektionsverzerrungen.

Der Hauptzweck ist disziplinierte Messung: Das Vorzeichen jeder beobachteten Rendite bleibt erhalten, während quadratische Gewichtung für realisierte Variation verwendet wird. Das Ergebnis kann ein prüfenswertes Muster zeigen. Allein identifiziert es weder die Ursache noch eine Tail-Wahrscheinlichkeit und verwandelt historische Asymmetrie nicht in ein Handelssignal.