Value at Risk im Vergleich zu Expected Shortfall erklärt
Vergleiche Definitionen und Berechnungen von VaR und Expected Shortfall, Diversifikationseigenschaften, Schätzfehler und die Backtests, die vor der Nutzung beider Tail-Risikokennzahlen nötig sind
Kurzantwort
Value at Risk ist ein Verlustquantil: Bei einem Konfidenzniveau α markiert es eine Schwelle, die mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 1−α überschritten wird. Expected Shortfall bildet den Durchschnitt der Verluste in diesem schlechtesten Tail. ES beschreibt die Schwere jenseits des VaR, braucht aber mehr Tail-Daten, und keine der beiden Kennzahlen prognostiziert den nächsten realisierten Verlust
VaR identifiziert eine Grenze
Für den Verlust L mit CDF F_L definiere VaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}
Ein eintägiger VaR von 10 bei 99 % bedeutet, dass das Modell unter seinen Konventionen etwa 1 % der eintägigen Verluste über 10 einordnet
Das bedeutet weder, dass der maximale Verlust 10 beträgt, noch dass Verluste an 99 von jeweils 100 aufeinanderfolgenden Tagen unter 10 bleiben oder dass Überschreitungen klein sind
Expected Shortfall bildet den ausgewählten Tail-Durchschnitt
Eine robuste Definition ist ES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)du für einen integrierbaren Verlust
Für eine stetige Verteilung entspricht dies häufig E[L|L≥VaR_α], abhängig von der gewählten Tail-Konvention
Bei Atomen am Quantil kann ein einfacher bedingter Durchschnitt zu viel Masse auswählen; die Integraldefinition behandelt den fraktionierten Quantilanteil korrekt
Die Kennzahlen sehen unterschiedliche Portfolios
Zwei Portfolios können denselben VaR haben, während eines viel größere Verluste jenseits der Schwelle aufweist
VaR ist nicht für jede Verteilung subadditiv und kann manchmal Diversifikation bestrafen oder konzentrierte Effekte an einer Schwelle belohnen
ES ist unter Standarddefinitionen und bei Integrierbarkeit kohärent, aber Kohärenz macht ein falsch spezifiziertes Modell oder einen veralteten Datensatz nicht zuverlässig
Schätzung tauscht Breite gegen Tail-Detail
Historischer VaR ist eine Ordnungsstatistik; historischer ES mittelt nur die Beobachtungen jenseits des ausgewählten Rangs
Bei hohem Konfidenzniveau verwendet ES deshalb nur sehr wenige effektive Beobachtungen und kann eine deutlich größere Stichprobenunsicherheit haben
Parametrische, gefilterte, Extremwert- und Monte-Carlo-Schätzungen fügen Modellannahmen hinzu, die zu Horizont, Abhängigkeit, Liquidität und Regime passen müssen
Backtesting stellt unterschiedliche Fragen
VaR-Tests können Überschreitungen zählen und prüfen, ob sich ihr Timing stärker bündelt, als das Modell zulässt
ES lässt sich nicht sinnvoll allein über die Häufigkeit von Überschreitungen beurteilen; er kann zusammen mit VaR durch geeignete Scoring- oder Tail-Verlustdiagnosen bewertet werden
Ein grüner Backtest sagt nur, dass frühere Prognosefehler diesen Test und dieses Zeitfenster bestanden haben, nicht, dass das nächste Regime oder eine nicht modellierte Position abgedeckt ist
Optimierung zeigt eine nützliche ES-Formel
Rockafellar und Uryasev verwenden min_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}; das Minimum entspricht dem ES unter der angegebenen Konvention
Ein optimierendes t ist unter Standardbedingungen ein VaR-Quantil, wodurch viele szenariobasierte ES-Probleme zu konvexen Programmen werden
Das Ergebnis hängt weiterhin von Szenarioqualität, Positionsnichtlinearitäten, Transaktionsbeschränkungen und der Frage ab, ob die Verlustabbildung konvex ist
Governance muss die Konventionen einfrieren
Lege Verlustvorzeichen, Horizont, Konfidenzniveau, Bewertungszeit, Datenfenster, Gewichtung, Währung und Behandlung fehlender oder veralteter Preise fest
Berichte VaR und ES mit Unsicherheitsintervallen, Überschreitungshistorie, Tail-Beiträgen, Stressszenarien und Limits außerhalb des statistischen Modells
Berechne mit alternativen Fenstern und Abhängigkeitsannahmen neu und untersuche Änderungen, statt eine einzelne Zahl als Risikozertifikat zu behandeln
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen VaR und Expected Shortfall?
VaR markiert ein Verlustquantil; Expected Shortfall mittelt Verluste von diesem Quantil bis zum schlechtesten Ende der Verteilung
Bedeutet ein VaR von 99 %, dass Verluste den VaR nicht überschreiten können?
Nein. Nach dem Modell sind Überschreitungen zu erwarten, und VaR sagt nichts darüber aus, wie schwer diese Überschreitungen werden können
Ist Expected Shortfall immer besser als VaR?
Er enthält Informationen zur Schwere des Tails und hat stärkere Diversifikationseigenschaften, ist aber schwieriger zu schätzen und bleibt modellabhängig
Kann Expected Shortfall backgetestet werden?
Ja, aber nicht allein über Überschreitungszahlen; sinnvolle Verfahren beurteilen ihn gemeinsam mit VaR oder vergleichen realisierte Tail-Verluste mit Prognosen