Die Cornish–Fisher-Expansion für Risikoquantile
Verstehen Sie, wie Cornish–Fisher normale Quantile mit Kumulanten anpasst, wie sich die Methode von Edgeworth unterscheidet und warum Schätzungen des Tail-Risikos Prüfungen auf Monotonie und Stabilität benötigen
Kurzantwort
Die Cornish–Fisher-Expansion nähert die Quantile einer Verteilung an, indem sie ein Referenznormalquantil mit standardisierten Kumulanten korrigiert. Sie kann Schiefe und Kurtosis in Szenario- oder VaR-Anpassungen übertragen, aber eine abgeschnittene Formel kann sich kreuzende Quantile und unzuverlässige Schätzungen im äußersten Tail erzeugen
Die Ausgabe ist ein Quantil und keine Dichte
Für die Wahrscheinlichkeit p sei z_p=Φ^{-1}(p) das Standardnormalquantil
Cornish–Fisher passt z_p an und skaliert das Ergebnis anschließend mit Zielmittel μ und Standardabweichung σ
Die Methode beantwortet, welcher Schwellenwert zu p gehört, und nicht, welche Dichte oder welcher erwartete Verlust jenseits dieser Schwelle liegt
Schiefe und Kurtosis erzeugen die ersten Korrekturen
Mit standardisierter Schiefe γ₁ und Überschusskurtosis γ₂ beginnt eine gängige Abschneidung mit z_p+γ₁(z_p²−1)/6
Danach wird γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36 addiert, bevor mit σ multipliziert und μ addiert wird
Der Term γ₁² zeigt, dass asymptotische Ordnung nicht dasselbe ist wie das bloße Addieren einer Korrektur für jedes höhere Moment
Die Expansion entsteht durch asymptotische Inversion
Cornish–Fisher kann durch Invertieren einer Edgeworth-Näherung an eine kumulative Verteilung hergeleitet werden
Edgeworth nähert eine Dichte oder CDF an der Stelle x an; Cornish–Fisher nähert das x an, das eine gewählte kumulative Wahrscheinlichkeit erreicht
Beide verlangen eine deklarierte asymptotische Folge und eine Skalierung der Kumulanten, wenn die Abschneidung eine kontrollierte Ordnung haben soll
Risikoanwendungen brauchen das richtige Maß
Eine Schätzung auf Basis physischer Renditen kann historische oder prognostizierte VaR-Szenarien anpassen, während optionsimplizite Kumulanten eine risikoneutrale Verteilung beschreiben
Diese beiden Eingaben beantworten unterschiedliche Fragen und sollten nicht nur deshalb vermischt werden, weil beide die Wörter Schiefe und Kurtosis verwenden
Cornish–Fisher liefert einen Schwellenwert, aber keinen Expected Shortfall, der von der vollständigen Verlustverteilung jenseits dieser Schwelle abhängt
Quantile können sich kreuzen oder rückwärts laufen
Die Polynomkorrektur wächst bei großem |z_p| schnell und kann bewirken, dass ein geschätztes Quantil bei steigendem p sinkt
Große Schiefe oder Kurtosis kann die Näherung außerdem außerhalb des Wertebereichs der Variable bringen oder die beabsichtigte Reihenfolge des Tails umkehren
Eine monotone Umsortierung kann die Reihenfolge numerisch reparieren, aber die reparierte Kurve ist dann nicht mehr die unveränderte abgeschnittene Expansion
Geschätzte Kumulanten fügen eine weitere Fehlerschicht hinzu
Stichproben-Schiefe und -Kurtosis sind verrauscht und reagieren empfindlich auf Ausreißer, Fensterauswahl, Regimewechsel und Abhängigkeit
Geschätzte Eingaben wie bekannte Größen zu verwenden, ignoriert Parameterunsicherheit, die die formale asymptotische Korrektur dominieren kann
Wahrscheinlichkeiten im äußersten Tail verstärken sowohl Koeffizienten- als auch Abschneidungsfehler, genau dort, wo Risikoentscheidungen am folgenreichsten sind
Die Validierung testet Quantile als Kurve
Prüfen Sie q(p) auf einem dichten Wahrscheinlichkeitsraster auf Monotonie, endliche Werte, Wertebereichsbeschränkungen und sinnvolles Verhalten an den Endpunkten
Vergleichen Sie mit exakten Verteilungen, Simulation, Bootstrap-Intervallen und Überschreitungsraten außerhalb der Stichprobe für mehrere Wahrscheinlichkeitsniveaus
Notieren Sie Kumulantenkonvention, Stichprobenhorizont, Behandlung von Abhängigkeit, Abschneidungsordnung, Reparaturmethode und die separate Expected-Shortfall-Berechnung
Häufige Fragen
Was schätzt die Cornish–Fisher-Expansion?
Sie schätzt ein ausgewähltes Quantil aus einem Referenznormalquantil plus Korrekturen, die Schiefe, Kurtosis und höhere Kumulanten einbeziehen
Wie unterscheidet sich Cornish–Fisher von Edgeworth?
Edgeworth nähert eine Dichte oder CDF an einem Wert an, während Cornish–Fisher den Wert approximiert, der einer ausgewählten Wahrscheinlichkeit entspricht
Kann Cornish–Fisher den Expected Shortfall berechnen?
Nicht allein. Expected Shortfall braucht den durchschnittlichen Verlust über dem Quantil, der aus einer einzelnen korrigierten Schwelle nicht bestimmt ist
Warum können sich Cornish–Fisher-Quantile kreuzen?
Abgeschnittene Polynomkorrekturen können in den Tails wachsen und oszillieren, sodass die approximierte Quantilfunktion nicht monoton wird