Kohärente Risikomaße und duale Darstellung erklärt
Erfahren Sie mehr über die vier Kohärenzaxiome, den Einfluss der Diversifikation auf das Risikokapital und darüber, warum kohärentes Risiko als erwarteter Verlust im schlimmsten Fall über Szenarien dargestellt werden kann
Kurzantwort
Ein kohärentes Risikomaß ρ wandelt den künftigen Gewinn X in heute benötigtes Kapital um und berücksichtigt dabei Dominanz, Cash, Diversifikation und Skalierung. Unter geeigneten Bedingungen entspricht es dem erwarteten Verlust im schlimmsten Fall über deklarierte Stress-Wahrscheinlichkeitsmaße
Die Vorzeichenkonvention bestimmt jede Formel
Sei X das künftige Nettovermögen oder der künftige Gewinn, sodass ein größeres X besser ist und ρ(X) das heute erforderliche Kapital bezeichnet
Bei Verwendung von Verlusten kehren sich mehrere Vorzeichen um. Eine Risikokennzahl ist unvollständig, wenn Positionskonvention, Horizont und Abrechnungseinheit nicht angegeben sind
Die Akzeptanzmenge enthält Positionen mit ρ(X) ≤ 0 und bietet eine gleichwertige geometrische Sicht auf eine ausreichende Kapitalausstattung
Monotonie und Cash-Translation verankern die Bedeutung
Wenn X ≤ Y in jedem Zustand gilt, verlangt Monotonie ρ(X) ≥ ρ(Y): Eine dominierte Position darf nicht als sicherer beurteilt werden
Die Translationsinvarianz von Cash ergibt ρ(X + m) = ρ(X) - m für sicheres Cash m in derselben Numeraire und über denselben Horizont
Diese Eigenschaft macht ρ zu einer Kapitalanforderung statt zu einer dimensionslosen Punktzahl, aber Finanzierungs- und Währungskonventionen bleiben wichtig
Subadditivität belohnt Diversifikation
Subadditivität verlangt ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)
Die Zusammenlegung von Desks sollte bei konsistent berücksichtigter Diversifikation nicht mehr gemessenes Risiko erzeugen als die isolierte Bewertung jedes Desks
Die Ungleichung kann in einer Implementierung scheitern, wenn sich Szenarien, Liquiditätshorizonte oder nichtlineare Glattstellungsregeln zwischen den Positionen unterscheiden
Positive Homogenität setzt lineare Skalierung voraus
Für λ ≥ 0 verlangt positive Homogenität ρ(λX) = λρ(X)
Zusammen mit Subadditivität ergibt sich Konvexität, aber es wird angenommen, dass eine Verdopplung einer Position das Risiko verdoppelt, ohne Liquidität oder Markteinfluss zu verschlechtern
Konvexe Risikomaße lockern die Homogenität und können größenabhängige Kosten durch eine Strafe in der dualen Formel darstellen
Die duale Darstellung macht aus Risiko gestresste Erwartungen
Unter geeigneten endlichen oder funktionalanalytischen Bedingungen gilt ρ(X) = sup_{Q∈𝒬} E_Q[-X]
Die Menge 𝒬 enthält Test- oder Stressmaße; der ungünstigste erwartete Verlust der Position bestimmt das erforderliche Kapital
Die Darstellung ähnelt der Dualität beim Superhedging, aber die zulässige Szenarienmenge ist Teil der Risikopolitik und muss begründet werden
VaR und Expected Shortfall verhalten sich unterschiedlich
Value at Risk ist ein Quantil und für nicht alle Verteilungen subadditiv, daher ist er im Allgemeinen nicht kohärent
Expected Shortfall mittelt Verluste im ausgewählten Randbereich und ist unter Standarddefinitionen und Integrabilitätsbedingungen kohärent
Schwellenwert, Behandlung von Punktmassen, Interpolation, Verlustvorzeichen, Horizont und Datenmodell können beide Schätzungen erheblich verändern
Auch eine kohärente Formel kann schlecht implementiert sein
Szenarioabdeckung, Wahrscheinlichkeitsannahmen, Abhängigkeit, veraltete Positionen, nichtlineare Neubewertung und Liquiditätsannahmen bestimmen die Ausgabe
Backtesten Sie Ausnahmen und Tail-Verluste, stressen Sie ausgelassene Faktoren und vergleichen Sie marginale und Komponentenallokationen mit einer vollständigen Neubewertung
Berichten Sie Akzeptanzmenge oder duale Szenarienfamilie, Datenfenster, Skalierung, Konfidenzniveau und Grenzen, an denen das Kapital nicht mehr linear skaliert
Häufige Fragen
Was ist ein kohärentes Risikomaß in einfachen Worten?
Es ist eine Kapitalregel, die Dominanz, Cash-Bestände, Diversifikation und proportionale Skalierung berücksichtigen soll
Warum ist Subadditivität wichtig?
Sie verhindert, dass das gemessene Risiko eines kombinierten Portfolios unter konsistenten Annahmen die Summe der separat gemessenen Risiken übersteigt
Was bedeutet duale Darstellung?
Sie bedeutet, dass Risikokapital als größter erwarteter Verlust über eine bestimmte Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen oder Stressszenarien berechnet werden kann
Ist Value at Risk ein kohärentes Risikomaß?
Im Allgemeinen nicht, weil VaR die Subadditivität verletzen kann; Expected Shortfall erfüllt die Kohärenz unter Standardbedingungen