HAR-RV-Modell erklärt: tägliche, wöchentliche und monatliche Volatilitätsprognosen

Das heterogene autoregressive Modell der realisierten Volatilität wird meist HAR-RV genannt. Es prognostiziert eine zukünftige Volatilitätsmessung anhand kürzlich beobachteter realisierter Volatilität, die über unterschiedliche Zeiträume zusammengefasst wird. Eine gängige tägliche Spezifikation verwendet den letzten abgeschlossenen Handelstag, einen Fünf-Tage-Durchschnitt und einen 22-Tage-Durchschnitt. Diese Werte sind Eingaben der Regression; eine Prognose für den nächsten Tag bleibt eine Prognose für den nächsten Tag.

HAR-RV ist ein transparentes Basismodell für die Persistenz realisierter Volatilität. Seine additive Struktur lässt sich mit einer linearen Regression schätzen und etwa mit einem renditebasierten GARCH-Modell vergleichen. Es ist eine Prognosegleichung und keine Regel dafür, wann ein Trade eröffnet, wie groß eine Position gewählt oder ob ein Vermögenswert als attraktiv bewertet wird.

Corsi beschreibt das ursprüngliche Modell als additive Kaskade von Volatilitätskomponenten über verschiedene Zeithorizonte. Die Idee unterschiedlicher Marktteilnehmerhorizonte diente als Motivation. Die Regression identifiziert jedoch weder einzelne Händler noch beweist sie, dass bestimmte Gruppen die beobachtete Persistenz verursacht haben. Die täglichen, wöchentlichen und monatlichen Terme sind statistische Zusammenfassungen vergangener Volatilität.

Für eine abgeschlossene Sitzung \(t\) kann die realisierte Varianz als Summe quadrierter Intraday-Renditen berechnet werden:

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

Dabei bezeichnet \(r_{t,i}\) die Rendite des Intraday-Intervalls \(i\), und \(M\) die Zahl der einbezogenen Intervalle. Die Summe hat die Einheit der quadrierten Rendite. Dieser Leitfaden verwendet bewusst in allen HAR-Komponenten und Prognosebeispielen realisierte Varianz auf dieser Skala. Corsis ursprüngliches HAR-RV (2009) verwendet dagegen Maße der realisierten Volatilität auf der Quadratwurzel-Skala. Die Konventionen hängen zusammen, dürfen aber nicht in derselben Regression vermischt werden. Tages-, Wochen- und Monatswerte sowie das Prognoseziel müssen auf derselben Skala bleiben. Der Leitfaden zur Berechnung realisierter Volatilität erläutert die Messentscheidungen.

Abtastintervall, Kursquelle, Handelssitzung und Behandlung von Übernachtrenditen bestimmen, was \(RV_t\) misst. Eine Summe nur aus Renditen der regulären Sitzung enthält nicht automatisch die Bewegung vom Schluss- zum Eröffnungskurs. Hochfrequente Messungen können zudem durch Kursrauschen und andere Marktstruktureffekte beeinflusst werden. Hansen und Lunde (2006) untersuchen, wie Marktstrukturgeräusche die Messung realisierter Varianz beeinflussen. Andersen, Bollerslev, Diebold und Labys verknüpfen Hochfrequenzdaten mit realisierter Volatilität und Renditeschwankungen niedrigerer Frequenz; daraus folgt nicht, dass jede Abtastregel austauschbar ist.

Verwenden Sie für Historie, Regressoren und Prognoseziel dieselbe Definition. Ein Wechsel von Fünf-Minuten- zu Ein-Minuten-Renditen oder von einer regulären Sitzung zu einer Schlusskurs-zu-Schlusskurs-Messung kann die Reihe, die geschätzten Koeffizienten und die bewertete Prognose verändern.

Sei \(RV_t^{(d)}=RV_t\) der Tageswert. Eine verbreitete Konstruktion bildet die Wochenkomponente als Durchschnitt der letzten fünf abgeschlossenen Tageswerte und die Monatskomponente als Durchschnitt der letzten 22 Werte:

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

Die Division durch 5 und 22 ergibt die durchschnittliche tägliche realisierte Varianz des jeweiligen Fensters. Eine Summe würde stattdessen die kumulierte Varianz des gesamten Fensters darstellen. Beide Konventionen sind in einem klar definierten Modell möglich, aber Formel, Ziel und Einheiten müssen zusammenpassen.

Die Fenster überschneiden sich. Der jüngste Tageswert geht auch in Wochen- und Monatsdurchschnitt ein, und die Wochenwerte gehören zum Monatsfenster. Die Regressoren fassen daher teilweise dieselbe Historie unterschiedlich lang zusammen. Sie sind keine unabhängigen Messungen und ihre Koeffizienten keine getrennten kausalen Wirkungen dreier Horizonte.

Die Fenster mit fünf und 22 Beobachtungen beziehen sich üblicherweise auf Handelssitzungen und nicht zwingend auf Kalenderwochen und -monate. Feiertage, fehlende Sitzungen oder abweichende Handelskalender von Futures erfordern eine explizite Regel. Dokumentieren Sie Kalender und Behandlung unvollständiger Fenster, bevor Sie Schätzungen verschiedener Vermögenswerte vergleichen.

Eine einfache tägliche HAR-RV-Regression mit einem Prognoseschritt lautet:

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

Die linke Seite ist die realisierte Varianz der nächsten abgeschlossenen Sitzung. Alle Prädiktoren sind zum Ende der Sitzung \(t\) bekannt. Der Achsenabschnitt \(\beta_0\) und die Koeffizienten \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\) werden anhand historischer Beobachtungen geschätzt; \(\varepsilon_{t+1}\) ist der verbleibende Regressionsfehler.

Bei gewöhnlichen kleinsten Quadraten werden die Koeffizienten so gewählt, dass die quadrierten Prognosefehler innerhalb der Stichprobe für das definierte Ziel möglichst klein sind. Dadurch entsteht eine kompakte lineare Basis, ohne für jeden Tageslag einen eigenen Koeffizienten zu schätzen. Corsi (2009) entwickelt HAR-RV und berichtet Prognoseergebnisse für die Daten und Spezifikationen seiner Studie. Diese Ergebnisse garantieren nicht dieselben Koeffizienten oder dieselbe Genauigkeit für andere Vermögenswerte, Zeiträume oder Volatilitätsmessungen.

Die Notation unterscheidet sich zwischen Studien. Manche HAR-Varianten verwenden Logarithmen, andere Schätzer realisierter Volatilität, zusätzliche Lags oder abweichende Fenster. Nicht jede Gleichung mit der Bezeichnung HAR ist dieselbe Spezifikation.

Nach der Schätzung werden die letzten verfügbaren Tages-, Wochen- und Monatswerte eingesetzt, um die Punktprognose für die nächste Sitzung zu berechnen. Der zukünftige Regressionsfehler ist zum Prognosezeitpunkt unbekannt und bleibt daher außen vor:

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

Angenommen, der geschätzte Achsenabschnitt beträgt in einem hypothetischen Rechenbeispiel \(0{,}10\ \mathrm{bp}^2\), und die Koeffizienten sind \(0{,}50\), \(0{,}30\) und \(0{,}15\). Bei einem letzten Tageswert von \(4\ \mathrm{bp}^2\), einem Fünf-Tage-Durchschnitt von \(3\ \mathrm{bp}^2\) und einem 22-Tage-Durchschnitt von \(2\ \mathrm{bp}^2\) ergibt sich:

\[ 0{,}10 + 0{,}50(4) + 0{,}30(3) + 0{,}15(2) = 3{,}30\ \mathrm{bp}^2 \]

Die Zahlen sind frei erfunden und dienen nur der Veranschaulichung. Sie sind weder Marktdaten noch ein geschätztes Ergebnis oder eine Leistungsbehauptung. Die Prognose gilt für die nächste Sitzung und die genannten Zieleinheiten. Die Quadratwurzel ergibt die Volatilität in Basispunkten für dieselbe Sitzung; eine Annualisierung braucht eine gesondert angegebene Konvention.

Eine Ein-Tages-Prognose wird nicht durch Umbenennung zu einer Wochen- oder Monatsprognose. Möglich ist ein direktes Modell mit der kumulierten oder durchschnittlichen realisierten Varianz des künftigen Fensters als Ziel. Alternativ lassen sich Ein-Schritt-Prognosen wiederholt berechnen, wofür eine klare Regel zur Aktualisierung künftiger Regressoren nötig ist. Legen Sie den Horizont fest, bevor Sie die Prognosen bewerten. <!-- learn:illustration -->

Volatilität weist häufig Persistenz über viele Lags auf. Eine lange autoregressive Gleichung kann diese Abhängigkeit abbilden, braucht aber viele Parameter. HAR-RV komprimiert die Vergangenheit in einige überlappende Durchschnitte und kann mit wenigen Koeffizienten empirische Muster nachbilden, die wie Langzeitgedächtnis aussehen.

Das Wort „Näherung“ ist wichtig. Corsi hält ausdrücklich fest, dass das HAR-RV-Modell keine echten Langzeitgedächtniseigenschaften hat, und zeigt zugleich, dass Simulationen bestimmte empirische Merkmale von Finanzrenditen mit Langzeitgedächtnis reproduzieren können. HAR-RV ist somit eine handhabbare Approximation ausgewählter Muster und kein fraktional integrierter Prozess, nur weil die Abhängigkeit in den Daten langsam abklingt.

Die täglichen, wöchentlichen und monatlichen Komponenten sind auch keine direkte Erhebung von Anlegern, die genau auf diesen Zeithorizonten handeln. Die Idee heterogener Horizonte motiviert die Kaskade, doch die geschätzte Regression identifiziert weder Anlegergruppen noch deren Absichten oder einen kausalen Mechanismus.

Ein großer Preissprung kann Informationen über künftige Volatilität enthalten, die eine einzelne Gesamtvarianz verdeckt. Corsi, Pirino und Reno (2010) trennen mit Threshold-Bipower-Methoden kontinuierliche und sprunghafte Bewegungen und untersuchen deren Beitrag zu Volatilitätsprognosen. Die berichteten Verbesserungen, besonders in Zeiträumen nach Sprüngen, beziehen sich auf ihre Schätzer, Daten und empirische Anlage.

Eine sprungsensitive HAR-Spezifikation kann getrennte Messwerte für kontinuierliche und sprunghafte Komponenten oder deren verzögerte Aggregate enthalten. Damit kommen neue Entscheidungen hinzu: wie Sprünge erkannt, kontinuierliche Komponenten geschätzt und ob Sprungmessungen am Prognosezeitpunkt verfügbar sind. „Kontinuierlich“ und „Sprung“ bezeichnen Modellkomponenten, keine fehlerfreie Zerlegung.

Zusätzliche Prädiktoren können eine Prognose in einer Stichprobe verbessern und in einer anderen Schätzrauschen erhöhen. Vergleichen Sie eine Sprungerweiterung mit dem HAR-RV-Basismodell anhand derselben Prognosezeitpunkte, Ziele, Horizonte und Informationsstände. Daraus folgt nicht, dass jeder Sprung höhere Volatilität ankündigt oder die Erweiterung in jedem Markt überlegen ist.

Die Koeffizienten von HAR-RV hängen von der verwendeten Reihe realisierter Volatilität ab. Abtastintervall, Sitzungsgrenzen, Kursbereinigung und fehlende Beobachtungen können diese Reihe verändern. Die Wochen- und Monatsregressoren übernehmen diese Entscheidungen, weil sie Mittelwerte der gemessenen Tageswerte sind.

Halten Sie Prognoseursprung und Zielintervall auseinander. Wird zum Sitzungsschluss prognostiziert, sollte das Ziel der nächsten Sitzung denselben Vermögenswert, dieselbe Renditedefinition, Sitzungsspanne und Einheit wie die historischen Ziele haben. Fehlen Übernachtrenditen in der Messung, darf die Prognose ohne Anpassung nicht als vollständige Schlusskurs-zu-Schlusskurs-Varianz bezeichnet werden. Kalenderfenster, überlappende Mehrtageszeiträume und Feiertagsregeln brauchen jeweils eine eigene Definition.

Auch beim Modellvergleich ist das wichtig. Eine tägliche bedingte Varianzprognose aus GARCH und eine Prognose realisierter Varianz aus HAR-RV sind erst vergleichbar, wenn Zielintervalle und Einheiten übereinstimmen. MIDAS-Regression verbindet unterschiedlich häufige Beobachtungen auf andere Weise; auch dort muss die Informationsmenge jedes Prognosezeitpunkts feststehen.

Realisierte Varianz ist nichtnegativ, doch eine unbeschränkte lineare Regression erzwingt weder nichtnegative Koeffizienten noch Prognosen. Eine gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzung kann daher eine negative Prognose außerhalb der Stichprobe liefern. Eine logarithmische Spezifikation oder ein beschränkter Fit behandelt Positivität anders, ändert aber Modell und Koeffizienteninterpretation. Auch eine Prognoseuntergrenze ist eine Modellentscheidung. Legen Sie sie vor der Bewertung fest und nicht erst, nachdem der scheinbare Gewinner bekannt ist.

Bewerten Sie Prognosen außerhalb der Schätzstichprobe und speichern Sie die Werte, die an jedem Prognosezeitpunkt verfügbar gewesen wären. Stimmen Sie Proxy, Ziel, Horizont, Sitzungsumfang, Einheiten und gemeinsame Bewertungstage aufeinander ab. Dokumentieren Sie Neu-Schätzungs- und Aktualisierungsregeln und vergleichen Sie mit einer klar genannten Basis. Wird eine realisierte Messung als unvollkommener Proxy verwendet, hängen erwartete Rangfolgen von ihrer Beziehung zum Ziel und der Verlustfunktion ab. Patton (2011) erklärt, warum Proxyrauschen nicht automatisch jeden Vergleich zuverlässig macht. Der Leitfaden zu QLIKE und quadratischem Fehler erläutert diese Bewertungsannahmen.

Ein geringerer Prognoseverlust bedeutet eine bessere Bewertung unter dem gewählten Ziel, Proxy, Zeitraum und Verlustmaß. Er zeigt weder, dass das Modell Volatilität verursacht, noch dass eine Tagesprognose ein Handelssignal ist oder eine darauf beruhende Strategie nach Ausführungs- und Risikokosten profitabel wäre.