Realized GARCH: রিটার্ন ও realized volatility একসঙ্গে মডেল করা

ARCH ও GARCH মডেল রিটার্নের ধারাবাহিকতা থেকে ভ্যারিয়েন্সের পরিবর্তন অনুমান করে। একটি রিটার্ন তার সময়পর্বে কতটা ওঠানামা হয়েছে তার অসম্পূর্ণ সংকেত: close-to-close রিটার্ন অস্বাভাবিক ছোট হলেই পুরো সেশন শান্ত ছিল, তা বোঝায় না; আবার বড় রিটার্ন কোন পথে তৈরি হয়েছে, সেটিও জানা যায় না। দিনের ভেতরের দাম থেকে পাওয়া realized variance-এর মতো আলাদা মাপ সেশনের ভেতরের নড়াচড়া সম্পর্কে আরও তথ্য দিতে পারে।

Realized GARCH সেই মাপকে ভ্যারিয়েন্সের গতিবিদ্যার অংশ করে। সাধারণ স্পেসিফিকেশনে আগের শর্তসাপেক্ষ ভ্যারিয়েন্স এবং আগের realized measure—দুটিই বর্তমান শর্তসাপেক্ষ ভ্যারিয়েন্স আপডেটে ভূমিকা রাখে। মডেলটি realized measure-এর জন্যও একটি সমীকরণ নির্ধারণ করে। এই অতিরিক্ত সমীকরণই মূল বিষয়: এটি মাপটির সঙ্গে অপ্রত্যক্ষ ভ্যারিয়েন্স ও রিটার্ন শকের সম্পর্ক বর্ণনা করে, মাপটিকে ব্যাখ্যাহীন বাইরের ইনপুট হিসেবে রেখে দেয় না।

মূল গবেষণায় Dow Jones Industrial Average-এর শেয়ার এবং একটি ETF-র নমুনায় কেবল দৈনিক রিটার্ন ব্যবহারকারী GARCH-এর তুলনায় ভালো empirical fit পাওয়া গেছে। এটি ওই নমুনাভিত্তিক ফল, সব সম্পদ বা সময়ে Realized GARCH ভালো পূর্বাভাস দেবে—এমন নিশ্চয়তা নয়। রিটার্ন-নির্ভর প্রাথমিক মডেলটি দেখতে GARCH গাইড।

ধরা যাক, (rₜ) হলো (t) সময়পর্বের রিটার্ন; মডেলে শর্তসাপেক্ষ গড় থাকলে তা বাদ দেওয়ার পরের রিটার্ন। (hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)) হলো পর্বের শুরুতে জানা শর্তসাপেক্ষ ভ্যারিয়েন্স, আর (xₜ) হলো (t) পর্বে বা পর্ব শেষে পর্যবেক্ষিত একটি ধনাত্মক realized measure। উদাহরণস্বরূপ, (xₜ) দিনের ভেতরের রিটার্নগুলোর বর্গের যোগফল হতে পারে এবং (hₜ)-এর মতো একই squared-return এককে প্রকাশ করতে হবে।

সময়ের ক্রমটি গুরুত্বপূর্ণ। (hₜ)-এর পূর্বাভাস তৈরি হয় (t) পর্ব শুরু হওয়ার আগের তথ্য দিয়ে। (rₜ) ও (xₜ) দেখা হয়ে গেলে মডেল পরের ভ্যারিয়েন্স পূর্বাভাস (hₜ₊₁) আপডেট করে। (xₜ) ব্যবহার করে দাবি করা যাবে না যে (t) পর্ব শেষ হওয়ার আগেই (hₜ) পূর্বাভাস করা হয়েছিল।

Realized GARCH রিটার্ন এবং মাপা ভোলাটিলিটি প্রক্সির একটি dynamic model। এটি MIDAS regression-এর মতো নয়; MIDAS ভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সির তথ্যকে সাজানো lag-weight function দিয়ে যুক্ত করে। দুটিই intraday তথ্য ব্যবহার করতে পারে, তবে তুলনার আগে সমীকরণ, পূর্বাভাসের লক্ষ্য এবং তথ্যের সময় নির্দিষ্ট করতে হবে।

একটি প্রচলিত Realized GARCH(1,1) মডেলে রিটার্ন, ভ্যারিয়েন্স ও measurement equation থাকে:

rₜ = √hₜ zₜ log hₜ = ω + β log hₜ₋₁ + γ log xₜ₋₁ log xₜ = ξ + φ log hₜ + τ(zₜ) + uₜ

এখানে (zₜ) হলো standardized return innovation, (uₜ) হলো measurement error, আর (τ(zₜ)) পর্যবেক্ষিত মাপকে রিটার্ন শকের ওপর নির্ভর করতে দেয়। প্রথম সমীকরণে একক ভ্যারিয়েন্সের shock-কে শর্তসাপেক্ষ standard deviation দিয়ে গুণ করা হয়। দ্বিতীয়টি আগের log variance ও আগের log realized measure দিয়ে বর্তমান log variance আপডেট করে। তৃতীয়টি পর্যবেক্ষিত log measure-কে বর্তমান অপ্রত্যক্ষ log variance, রিটার্ন shock ও measurement innovation-এর সঙ্গে যুক্ত করে।

লগ রূপটি সুবিধাজনক: ধনাত্মক (hₜ) ও (xₜ)-কে বাধাহীন লগ স্কেলে প্রকাশ করা যায়, আর variance forecast-কে exponentiate করলে ধনাত্মক মান পাওয়া যায়। তাই (ω) হলো log-variance সমীকরণের intercept; এটি নিজে long-run variance নয়। প্রাথমিক মডেলে পরামিতিগুলো একত্রে অনুমান করা হয়, আলাদা আলাদা ব্যাখ্যা করা হয় না।

t−1 সময়ের measurement equation-টি variance update-এ বসালে বোঝা যায় realized measure কীভাবে log variance-এ প্রতিক্রিয়া ফিরিয়ে আনে:

log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ) log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁

এই (1,1) specification-এ log variance-এর persistence সংক্ষেপে β + γφ দিয়ে বোঝানো হয়, শুধু β দিয়ে নয়। Measurement relation feedback যোগ করে: আগের variance বেশি হলে realized measure-ও বেশি হওয়ার সম্পর্ক থাকে, আর সেই measure পরের update-এ ঢোকে। এই বীজগণিত fitted coefficient বুঝতে সাহায্য করে; তবে Realized GARCH-এর সব extension-এর stationarity প্রমাণ করে না। তাই inference-এ যে specification estimate করা হয়েছে তার শর্তই ব্যবহার করতে হবে।

Hansen, Huang এবং Shek এই যৌথ মডেলের linear ও log-linear রূপ প্রস্তাব করেছেন এবং তিন-সমীকরণের কাঠামো দেখিয়েছেন (2012)। যে স্পেসিফিকেশন অনুমান করা হচ্ছে, সেখান থেকে সঠিক lag order, realized measure, conditional mean এবং innovation-এর অনুমান নিতে হবে।

Measurement equation ব্যাখ্যা করে কেন realized measure অপ্রত্যক্ষ ভ্যারিয়েন্স এবং রিটার্ন শক—দুটির সঙ্গেই বদলাতে পারে। একটি প্রচলিত leverage function হলো:

τ(zₜ) = τ₁ zₜ + τ₂ (zₜ² − 1)

রৈখিক অংশ ও কেন্দ্রায়িত quadratic অংশ রিটার্ন শক এবং realized measure-এর মধ্যে অসম সম্পর্ক প্রকাশ করতে পারে। সম্পর্কের আকার পরামিতির ওপর নির্ভর করে; শুধু এই সূত্র থেকে বলা যায় না যে ঋণাত্মক রিটার্ন ভবিষ্যৎ ভোলাটিলিটি ঘটায়।

মূল গবেষণার baseline formulation-এ (zₜ) ও (uₜ) আলাদা innovation হিসেবে মডেল করা হয়; (zₜ) standardized এবং দুটি innovation-কে পরস্পর স্বাধীন ধরা হয়। এটি হিসাব সহজ করার একটি পরিসংখ্যানগত specification, সব নমুনার বাজার-রিটার্ন বা measurement error কোনো নির্দিষ্ট বণ্টন মেনে চলে—তার প্রমাণ নয়। স্বাভাবিকতা সত্য বলে দাবি না করেও estimation-এর জন্য Gaussian quasi-likelihood ব্যবহার করা যায়।

এই সমীকরণ Realized GARCH-কে GARCH-X থেকেও আলাদা করে। GARCH-X ভ্যারিয়েন্স আপডেটে পর্যবেক্ষিত মাপ যোগ করলেও তার নিজের গতিবিদ্যা নির্দিষ্ট নাও করতে পারে। Realized GARCH মাপটির মডেলও করে, ফলে ভবিষ্যৎ realized measure এখনও জানা না থাকলেও একাধিক ধাপের পূর্বাভাস সম্ভব। মডেলটি যৌথ পরিসংখ্যানগত সম্পর্ক বর্ণনা করে; realized measure-কে বাইরের কারণ বানায় না।

ধরা যাক, অনুমান করা log-linear মডেলে (ω=-0.7824), (β=0.75), এবং (γ=0.15)। (t) পর্বের শেষে বর্তমান conditional variance (hₜ=0.0004), আর পর্যবেক্ষিত realized measure (xₜ=0.0009)। সব মানই কাল্পনিক, ধনাত্মক এবং দৈনিক decimal-return variance-এর একই স্কেলে।

ভ্যারিয়েন্স সমীকরণে মান বসিয়ে (t+1) পর্বের পূর্বাভাস হিসাব করুন:

log hₜ₊₁ = −0.7824 + 0.75 log(0.0004) + 0.15 log(0.0009) ≈ −7.7024 hₜ₊₁ = exp(−7.7024) ≈ 0.0004517

এর conditional standard deviation হলো (√0.0004517 ≈ 0.02125), অর্থাৎ উল্লিখিত রিটার্ন সময়পর্বের প্রায় 2.13%। অনুমান করা coefficient-এর মাধ্যমে realized measure পরের সময়পর্বের variance forecast-এ ঢোকে। এই গণনায় coefficient নতুন করে estimate করা হয় না, আর measurement equation ব্যবহার করে (xₜ=hₜ) দাবিও করা হয় না।

উদাহরণটি কেবল হিসাব দেখায়। এতে parameter uncertainty, estimation error বা out-of-sample observation নেই; তাই statistical significance বা benchmark-এর চেয়ে মডেল ভালো কি না—কোনো সিদ্ধান্তই দেয় না <!-- learn:illustration -->

Estimation-এর জন্য সময়ের সঙ্গে মিলে যাওয়া return এবং realized-measure observation লাগে। Likelihood বা quasi-likelihood return equation ও measurement equation একসঙ্গে বিবেচনা করে; তাই innovation-এর distribution বা dependence structure-এর অনুমান বদলালে fitted parameter-ও বদলাতে পারে। শুধু recursion না দেখিয়ে estimation method, innovation assumption, conditional-mean treatment, realized measure ও data-cleaning rule জানান।

প্রতিটি সময়পর্ব শেষ হলে নতুন return ও realized measure দিয়ে মডেলের অবস্থা আপডেট করে পরের variance forecast তৈরি করা যায়। একাধিক ধাপের পূর্বাভাসে ভবিষ্যতের (x) অজানা থাকে। সম্পূর্ণ Realized GARCH specification-এ realized measure-এর গতিবিদ্যা রয়েছে; তাই test sample-এর ভবিষ্যৎ মান বসিয়ে দেওয়া যাবে না, বরং সেই মানগুলোর ভবিষ্যৎ distribution বা expectation বিবেচনা করতে হবে।

মূল্যায়নের লক্ষ্য পূর্বাভাসের সঙ্গে মেলাতে হবে: যেমন পরের সময়পর্বের conditional return variance, অথবা একই interval-এর realized measure। target, proxy, unit, horizon ও evaluation date একই রাখুন। In-sample likelihood মডেলটি ডেটায় কতটা fit করেছে তা তুলনা করে; এটি chronological forecast test-এর বিকল্প নয়।

প্রতিটি পূর্বাভাস যে সময়ে পাওয়া যেত তখনই সেটি সংরক্ষণ করুন, সেই সময় পর্যন্ত পাওয়া তথ্য দিয়েই পুনরায় estimate করুন এবং একই sample-এ আগে থেকে ঠিক করা baseline-এর সঙ্গে তুলনা করুন। ফলাফল দেখার আগে loss function বেছে নিন এবং প্রয়োজন হলে dependence-সহ uncertainty estimate-সহ paired loss difference জানান। proxy-র বৈশিষ্ট্য ও loss-এর পছন্দ কীভাবে তুলনায় প্রভাব ফেলে, তা QLIKE ও squared-error গাইডে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

মডেলের উপযোগিতা নির্ভর করে ব্যবহৃত measure ও সময়সীমার ওপর। Intraday price দিয়ে তৈরি realized measure-এ রাতের চলাচল বাদ পড়তে পারে, অথচ (rₜ) close-to-close return হতে পারে। মূল গবেষণায় return interval-এর চেয়ে ছোট সময়ের realized measure অনুমোদিত; measurement equation-এ (xₜ) যে (hₜ)-এর unbiased estimate হবেই, এমন বাধ্যবাধকতা নেই। তবে সময়ের এই অমিল তুচ্ছ নয়: (φ)-এর ব্যাখ্যা, forecast target এবং তুলনা—সবই interval-এর ওপর নির্ভর করে।

মূল গবেষণায় একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ আছে: প্রায় 6.5 ঘণ্টার trading session থেকে তৈরি measure-কে 24 ঘণ্টার close-to-close return-এর conditional variance-এর সঙ্গে জোড়া যায়। এমন ক্ষেত্রে লেখকেরা φ < 1 প্রত্যাশা করেন, কারণ intraday measure পুরো return interval-এর কেবল একটি অংশ ধরে। তাই fitted φ-এর ব্যাখ্যা measure, session ও return definition-এর সঙ্গে বাঁধা; অন্য asset বা sampling design-এ অপরিবর্তিতভাবে প্রয়োগযোগ্য কোনো সার্বজনীন calibration coefficient নয়।

High-frequency data-তে bid–ask bounce, asynchronous trading, price discreteness, stale quote ও recording error থাকতে পারে। দুই-স্কেলে realized volatility গাইড high-frequency microstructure noise-এর কিছু প্রভাব সামলানোর জন্য তৈরি একটি estimator ব্যাখ্যা করে। Hansen ও Lunde দেখিয়েছেন যে market microstructure noise realized variance-এর পরিমাপে উল্লেখযোগ্য প্রভাব ফেলতে পারে (2006)। Proxy বদলালে fit, forecast ও leverage estimate-ও বদলাতে পারে।

Log-linear specification-এ (log xₜ) আছে, তাই বেছে নেওয়া measure-টি strictly positive হতে হবে। ডেটা শূন্য বা ঋণাত্মক হতে পারে হলে, কোনো যুক্তিসঙ্গত transformation ছাড়া এই log specification প্রয়োগ করা যাবে না। Floor দিলে সেটি মডেল বদলায়—কারণ জানিয়ে প্রকাশ করুন। Measure-এ jump আছে কি না, কোন session ধরা হয়েছে, missing bar কীভাবে সামলানো হয়েছে, এবং unit return variance-এর সঙ্গে মেলে কি না যাচাই করুন। বেশি intraday observation হলেই measurement error দূর হয় না।

সাধারণ GARCH lagged return বা squared innovation এবং lagged variance ব্যবহার করে। Realized GARCH variance dynamics-এ realized measure যোগ করে এবং latent variance ও return shock-এর সঙ্গে যুক্ত একটি equation দিয়ে মাপটিকেও মডেল করে। GARCH-X সাধারণত যোগ করা measure-টিকে বাইরের input ধরে। MIDAS regression বিভিন্ন frequency-র lag-এ parameterized weight curve প্রয়োগ করে; GARCH-MIDAS হলো আলাদা equation-সহ সম্পর্কিত hybrid। এ নামগুলো পরস্পর বিনিময়যোগ্য নয়।

মডেলটি তার অনুমানের অধীনে নির্দিষ্ট conditional variance বা realized measure পূর্বাভাস দেয়। এটি return direction পূর্বাভাস দেয় না, intraday measure পরবর্তী সময়পর্বের variance ঘটায়—এটি প্রমাণ করে না, বা লাভজনক strategy নিশ্চিত করে না। In-sample likelihood ভালো হলেও ভবিষ্যৎ forecast ভালো হবে এমন নয়। Trading conclusion-এর জন্য আলাদা signal এবং spread, fee, market impact, financing ও risk limit-সহ after-cost evaluation দরকার।

পুনরুৎপাদনযোগ্য report-এ asset ও sample, return definition ও conditional mean, realized-measure construction ও session window, model equation ও lag order, innovation assumption, estimation window, forecast origin ও horizon, benchmark, scoring loss ও uncertainty method লিখুন। যুক্তিসঙ্গত বিকল্প realized measure-এ ফল কতটা সংবেদনশীল তা দেখান এবং data exclusion বা positivity adjustment প্রকাশ করুন