شرح نظرية غيرسانوف في تسعير الخيارات

تحت المقياس الفعلي P، قد يتبع السهم dS/S = μdt + σdWᴾ، حيث تمثل μ العائد المتوقع النموذجي

ويهم هذا الانجراف للتنبؤ واختيار المحفظة، لكن قيمة الخيار الخالية من المراجحة لا ينبغي أن تعتمد على تقدير اعتباطي لـμ في نموذج انتشار مكتمل

والانتقال من الاحتمالات الفعلية إلى احتمالات التسعير يتطلب أكثر من استبدال رمز برمز آخر. فهو يتطلب تحويلًا صالحًا للمقياس

تحدد مشتقة Radon–Nikodym كيف يزن المقياس الجديد الأحداث بالنسبة إلى المقياس القديم حتى كل زمن

وفي النماذج البراونية، تكتب هذه الكثافة عادةً كأُس عشوائي مبني على عملية يرمز إليها غالبًا بـλ

ويجب أن تبقى الكثافة موجبة وأن يكون توقعها واحدًا. وإلا فقد يفشل التعبير المقترح في تعريف مقياس احتمالي مكافئ

مع كثافة صالحة، تصبح Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt حركة براونية تحت المقياس الجديد Q، وفق اصطلاح إشارة شائع واحد

وبالتعويض عن dWᴾ = dWᵠ − λdt يتغير انجراف كل عملية معرضة لتلك الصدمة البراونية

ولا يختفي معامل التقلب الذي يضرب dW. فتغيرات مقياس الانتشار المكافئة تغير الانجراف لا بنية التغاير اللحظي

بالنسبة إلى سهم لا يوزع أرباحًا، اختر λ بحيث يصبح انجراف Q معدل الفائدة القصير r. ومع عائد توزيعات q، يكون انجراف السهم دون التوزيعات عادةً r − q

وعندها يصبح الأصل ذو العائد الكلي بعد الخصم مارتينغال تحت Q، ويمكن تسعير عائد قابل للاستنساخ بتوقعه المخصوم تحت Q

والنتيجة لا تقول إن السهم يكسب r فعليًا في العالم الحقيقي. إنها تقول كيف يظهر انجرافه تحت مقياس التسعير المختار

في الحالة البسيطة ذات المعاملات الثابتة، λ = (μ − r) / σ وفق اصطلاح الإشارة المعلن ودون توزيعات

ومع مصادر مخاطر عدة، يغير متجه أسعار المخاطر الانجراف عبر مصفوفة تحميل التقلب. ولا يمكن بلوغ كل انجراف مرغوب إذا افتقرت التعرضات إلى الرتبة

وفي الأسواق غير المكتملة، قد تبقى مكونات سعر الخطر غير محددة بالأصول المتداولة، فينتج أكثر من مقياس مارتينغال مقبول

تستخدم شروط Novikov وKazamaki أو شروط ذات صلة عادةً لضمان كون الأس العشوائي مارتينغال حقيقيًا لا مارتينغال محلية فقط

ويحافظ التكافؤ أيضًا على الأحداث ذات الاحتمال الصفري. ولا يستطيع تحويل أن يجعل مسارًا مستحيلًا فعلًا ممكنًا مع بقائه مكافئًا

وقد تبطل المعاملات المتفجرة والمارتينغالات المحلية الصارمة والآفاق غير المحدودة والانتظام الضعيف التطبيق السريع للصيغة

في عمليات القفز، قد يغير تغيير المقياس شدة القفز وتوزيع حجمها إلى جانب الانجراف المستمر

وتحدد نماذج التسعير المعايرة المعلمات المحايدة للمخاطر مباشرةً، لكن ربطها بتقديرات فعلية لا يزال يتطلب نموذج علاوة مخاطر

اذكر المقياس الأصلي والمقياس المستهدف والكثافة واصطلاح الإشارة ووحدة الحساب والأفق والشروط قبل تفسير الديناميكيات المحولة