弱工具变量诊断：第一阶段 F 与稳健推断

工具变量法利用被排除工具变量 \(Z\) 所预测的内生解释变量 \(X\) 的变动，同时控制纳入的控制变量 \(W\)。

如果 \(Z\) 对 \(X\) 剩余变动的解释力很小，数据就很难通过这一来源提供结构效应的信息。

工具变量相关性较弱时，有限样本中的 2SLS 可能向 OLS 偏误，其抽样分布也可能明显偏离正态近似。因此，即使标准误看起来很精确，常规 Wald 区间的覆盖率仍可能较差。

Staiger 和 Stock 提出了弱工具变量渐近理论，用来解释这些问题，并说明为什么需要非标准置信区域（1997 年论文）。

工具变量强度只是识别的一部分。第一阶段很强，并不能证明 \(Z\) 与结构误差独立，也不能证明 \(Z\) 只通过 \(X\) 影响结果。

工具变量指南分别讨论这些假设以及被识别的效应。

对于一个内生解释变量和 \(q\) 个被排除的工具变量，第一阶段可写为

\[ X_t = W_t'\delta + Z_t'\pi + v_t. \]

这里 \(W_t\) 包含纳入的外生控制变量，通常也包括截距；\(Z_t\) 包含被排除的工具变量。标准第一阶段 F 检验 \(H_0:\pi=0\)，即在控制 \(W_t\) 后，被排除的工具变量整体上不增加解释力这一联合限制。

这是一个条件相关性问题，不是排除限制或独立性检验。报告纳入了哪些控制变量、检验了多少个被排除工具变量、使用的样本、协方差假设，以及采用的统计量。

当有多个被排除工具变量时，单个系数的 t 统计量不能替代联合检验。

偏 \(R^2\) 衡量在剔除 \(W\) 的影响后，残差化的被排除工具变量能够解释 \(X\) 剩余变异的比例。

令 \(R^2_p\) 表示偏 \(R^2\)，\(n\) 表示样本量，\(k\) 表示纳入回归项的数量（若使用截距，也计入其中），\(q\) 表示被排除工具变量的数量。

在常规同方差线性回归计算下，增量 F 统计量为

\[ F = \frac{R^2_p/q}{(1-R^2_p)/(n-k-q)}. \]

分子衡量每个被排除工具变量限制带来的拟合改善；分母使用第一阶段完整的残差自由度来估计残差方差。这个公式不是所有稳健统计量都适用的通用恒等式。

稳健协方差估计量会改变检验计算和参考分布。

偏 \(R^2\) 与 F 相关，但回答的是不同的描述性问题：偏 \(R^2\) 是无量纲的拟合指标，而 F 还会受样本量和限制数量影响。

在非常大的样本中，即使偏 \(R^2\) 很小，也可能得到较大的 F；这并不意味着所有有限样本 IV 近似都可靠。

常见的 10 是经验法则，不是判定有效与否的定理。Staiger 和 Stock 在特定弱工具变量框架中将其作为实用参考；它不能保证对每个样本、估计量、工具变量数量或误差过程都能得到有效推断。

Stock 和 Yogo 根据 2SLS 相对偏误界限或 Wald 检验尺寸扭曲界限定义工具变量弱度，并为这些特定标准列出临界值。因此，临界值取决于所选标准和模型维度。

他们关于常规第一阶段及 Cragg–Donald 统计量的结果依赖同方差、独立误差假设。

表格中的数字不能不加调整地用于所有稳健设定（作者托管的章节页面）。

F 大于 10 不能证明排除限制、独立性或因果解释成立。F 小于 10 也不能证明工具变量没有用，或某个特定估计无效。

应将该统计量视为依赖明确假设的诊断，然后选择与研究设计相匹配的推断方法。

Hansen J 检验指南解释了为何过度识别检验不能取代强度评估。

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如果内生解释变量不止一个，分别计算的第一阶段 F 可能遗漏某个识别较弱的线性组合。

每个解释变量单独看起来都可能能被预测，但工具变量诱发的变异未必覆盖估计全部结构系数所需的组合。

对于同方差线性 IV 设定，Cragg–Donald 最小特征值统计量概括了这种联合识别信息。对应的 Stock–Yogo 临界值针对明确给出的偏误或检验尺寸扭曲标准。

假设条件很重要：出现任意形式的异方差、序列相关或聚类时，常用临界值不会自动继续有效。

被排除工具变量的数量、内生解释变量的数量，以及第一阶段系数矩阵的秩都很重要。应完整说明设定，并使用为该设定设计的检验；不要通过平均各个第一阶段 F 来推断联合强度。

金融观测值可能存在异方差、序列相关，或按公司、交易场所、政策单元聚类。第二阶段标准误采用聚类调整，并不会让经典第一阶段 F 或 Cragg–Donald 校准自动变得稳健。

对于一个内生解释变量，Montiel Olea 和 Pflueger 提出了 effective-F 弱工具变量检验。在其明确条件下，该检验允许异方差、自相关和聚类。

它利用协方差信息缩放常规第一阶段 F，再与针对特定标准的临界值比较（2013 年论文）。

effective F 并不等同于软件报告的所有稳健 Wald F 统计量。

Kleibergen–Paap rk Wald F 常与稳健协方差估计量一起报告，但 Stock–Yogo 临界值针对的是不同的常规统计量和假设。不要把两者当成处于同一校准尺度后直接比较。

报告估计量、统计量、协方差估计量、聚类层级或依赖处理方式，以及临界值所依据的框架。

Newey–West 或 cluster-robust 协方差估计在相应假设下处理抽样不确定性；它本身不能解决弱识别问题。

对于单个内生解释变量模型中的候选系数值 \(\beta_0\)，构造按该候选值调整后的结果 \(Y-X\beta_0\)，然后检验在控制纳入变量后，被排除工具变量是否整体上能够解释它。

在原假设和工具变量外生性成立时，这是对 \(\beta=\beta_0\) 的 Anderson–Rubin 检验。

由于该检验不需要除以估计的第一阶段系数，其有效性不必依赖该系数足够大。

原始 Anderson–Rubin 构造依赖模型的分布假设；在应用中，协方差估计量和参考分布也必须与抽样设计相符。给检验贴上“稳健”标签，并不意味着可以忽略聚类数量过少或序列相关。

对候选值反演检验会得到置信集合。信息较弱时，该集合可能很宽、不连续或无界；这反映了识别信息有限，而不是软件故障。Anderson–Rubin 检验也可能检验力较低。

GMM 过度识别指南回答的是另一个问题，不应将其当成弱 IV 稳健的系数推断。

原始论文为 Anderson 和 Rubin（1949）。

假设第一阶段有 \(n=200\) 个观测值、\(k=3\) 个纳入回归项（包括截距）、\(q=2\) 个被排除工具变量，且偏 \(R^2_p=0.04\)。

按常规同方差公式，残差自由度为 \(200-3-2=195\)。

\[ F = \frac{0.04/2}{(1-0.04)/195} = \frac{0.02}{0.96/195} = 4.0625. \]

在这些输入和假设下，计算结果说明常规联合统计量为 4.0625。单凭这一结果，不能证明工具变量无效，不能确定 Stock–Yogo 特定标准下的结论，也不能说明异方差或聚类环境下的结果。

稳健分析需要使用与研究设计相匹配的统计量和校准方法。

如果同样的两个工具变量用于模糊回归不连续设计，第一阶段的不连续性属于该设计中特定的相关性评估。

上面的 F 计算不能替代 RDD 假设、带宽选择或适用于该设计的推断。

说明内生解释变量、被排除工具变量、纳入控制变量、样本、第一阶段系数、偏 \(R^2\) 以及准确的强度统计量。

如果有多个内生解释变量，应指出联合统计量及其假设；在稳健设定中，应说明协方差和临界值方法，而不是只写“F = …”。

如果统计量表明识别较弱，应报告针对目标系数的弱 IV 稳健检验或置信集合。说明该集合是否有界，以及其形状如何影响实质性结论。

不要仅仅因为常规 Wald 区间更容易概括，就用它替换信息不足的区间。

最后，应利用制度和经济证据论证工具变量的独立性与排除路径。相关性诊断、平衡性检查、安慰剂结果和过度识别检验可以揭示问题，却无法证明所有假设。

双重差分设计依赖不同的识别假设；第一阶段更强并不意味着它可以与双重差分互换。