Ornstein–Uhlenbeck 半衰期：交易中的均值回归

假设价差高于估计的长期均值。均值回归模型表示，价差的期望值会逐渐向均值移动。半衰期回答一个范围很窄的问题：在拟合模型下，期望偏差要多久才会减半？如果初始偏差是 100 个基点，半衰期为 4 期，那么模型的条件期望偏差在 4 期后约为 50 个基点。

这描述的是多种可能路径上的期望。实际价差可能先上升、很快穿过均值，也可能长时间偏离。半衰期还取决于观测单位：用日度数据估计，单位是天；用小时数据估计，单位是小时。务必说明采样间隔和用于估计速度的模型。

单因子 OU 过程可写为：

\[ dX_t = \kappa(\mu-X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \]

其中 \(\mu\) 是长期均值，\(\kappa>0\) 是均值回归速度，\(\sigma\) 控制瞬时随机波动，\(W_t\) 是布朗运动。漂移方向指向 \(\mu\)：高于均值时条件方向向下，低于均值时向上。

条件期望偏差按以下方式衰减：

\[ \mathbb{E}[X_{t+\tau}-\mu\mid X_t] = e^{-\kappa\tau}(X_t-\mu). \]

令衰减因子等于二分之一，即 \(e^{-\kappa h}=1/2\)，解出经过时间：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln 2}{\kappa}. \]

半衰期公式中没有 \(\sigma\)。波动率影响单条路径围绕条件期望的波动范围，而 \(\kappa\) 决定该模型中期望偏差的衰减速度。Uhlenbeck 和 Ornstein 对布朗运动的分析奠定了这一经典随机过程的基础；Vasicek 后来使用 OU 型过程模拟短期利率。

若观测间隔固定为 \(\Delta\)，OU 过程的精确抽样形式为：

\[ X_{t+\Delta}-\mu = \phi(X_t-\mu)+\eta_{t+\Delta}, \qquad \phi=e^{-\kappa\Delta}. \]

对标量 OU 模型，只要 \(\kappa>0\)，就有 \(0<\phi<1\)。以观测次数计的离散半衰期为：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(\phi)}, \]

经过的实际时间则是该值乘以 \(\Delta\)。如果估计的 AR(1) 系数为零或负数，或大于等于 1，这种简单的正均值回归速度转换就不适用。应考虑其他动态模型，而非勉强套用 OU 解释。

也可以用变化形式 \(\Delta X_t=a+bX_{t-1}+\epsilon_t\) 估计。若是平稳 AR(1)，且 \(0<1+b<1\)，设 \(\phi=1+b\)、\(\kappa=-\ln(\phi)/\Delta\)；当 \(b\ne0\) 时，隐含的长期均值为 \(-a/b\)。转换时要保留采样间隔；从日度改成周度会改变系数的时间尺度。

时间尺度由 \(\Delta\) 决定。对日度股票序列，一步观测通常指一个交易时段，而不是 24 个日历小时。因此，跨越周末或市场假日的 4 次观测半衰期，不应自动说成 4 个日历日。若使用事件驱动或按成交量抽样等时长不规则的柱形数据，等间隔转换可能不适用。应说明资产、采样安排，以及报告单位是观测次数、交易时段还是实际经过时间。

假设等间隔的日度价差模型估得 \(\phi=0.84\)。这是教学用的假设值，不是实际估计。每日均值回归速度为 \(\kappa=-\ln(0.84)\approx0.1744\)，因此：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.84)}\approx3.98\text{个交易日}. \]

四天后，期望缺口约为初始值的 \(0.84^4\approx0.498\) 倍。若初始偏差为 100 个基点，那么四次观测后的模型条件期望约为 49.8 个基点，尚未计入估计不确定性或过程变化。

下图将平滑衰减的条件均值与围绕它持续波动的样本路径分开呈现。这是概念示意，不是价格历史，也不表示每条价差路径都会服从该均值。

先定义 \(X_t\)。协整残差、价格差、对数价格价差、波动率调整信号和收益率差都是不同的序列，单位及动态也各不相同。协整结果可能在其假设下支持某个平稳线性组合，但不能证明这个残差服从参数恒定的 OU 过程。

估计前要选定采样频率、形成窗口、均值设定和滞后结构。简单 AR(1) 可能掩盖序列相关、波动率变化、跳跃、日内市场微观结构噪声或状态转换。检查残差表现与参数稳定性；若估计依赖特定样本，也应说明。Chan、Karolyi、Longstaff 和 Sanders 对短期利率模型的实证比较说明，即使是常见均值回归模型，证据也可能较弱并依赖模型设定。

对交易价差，应只用每个形成日期当时可获得的数据估计参数。用未来观测重新估计价差或均值会造成前视偏差。如果模型会随时间重新校准，应说明更新安排，并用后续数据评估整个流程，而不要把拟合系数当成已知常数。

\(\phi\) 到半衰期的转换是非线性的。当 \(\phi\) 从下方接近 1 时，\(\ln(\phi)\) 接近零，隐含半衰期会迅速增大。因此，系数的小幅变化也可能显著改变报告时间。例如，假设 \(\phi=0.80\)、0.84、0.88，分别隐含约 3.11、3.98、5.42 次观测的半衰期。

应使用与估计量和样本相符的推断方法，报告速度参数或转换后半衰期的不确定性。如果 \(\phi\) 的置信区间达到或跨过 1，该区间可能不支持有限且为正的平稳 OU 半衰期。不要只报告点估计；从大量序列中挑出看起来回归最快的一条时，也要考虑选择效应。接近单位根时，估计误差可能压过单个半衰期数字表面上的精确度。

举例来说，假设抽样系数 \(\phi\) 的 95% 区间为 \([0.78,0.92]\)。在平稳 OU 的范围内，转换后的半衰期随 \(\phi\) 增大而变长，因此该区间对应约 2.79–8.31 次观测，尽管点估计 0.84 对应 3.98 次观测。此区间仅作说明，并非实证结果。如果系数区间触及 1，半衰期上限可能无界；大于等于 1 的值不属于这种平稳转换。不要为了制造有限区间而删去这些值。不确定性方法还应考虑序列相关及价差构造的估计误差；若在多个配对或窗口中搜索，也要处理选择步骤。

半衰期追踪的是偏差条件期望的大小。穿越时间则问随机路径何时首次到达某个水平，例如估计均值或退出门槛。首次到达时间的分布同时取决于漂移和波动率，可能很分散。William Bertram 的最优统计套利分析通过首次到达计算研究交易长度与收益；这是不同于指数半衰期公式的量。

交易系统仍须明确进场与退出规则、仓位规模、风险限额，以及关系失效时的应对方式。价差可能先进一步偏离均值，也可能在关注期限内始终不回归。期望衰减计算不会给出止损水平、止损前先触及获利目标的概率，或扣除费用后的收益。

配对交易通常建模的是构造出来的价差，而非任一单独资产。对冲比率、货币、公司行动调整、融资、借券可得性及再平衡规则都会影响实际头寸。应在按时间排序的验证窗口检查价差的长期关系是否仍合理；估出较短的半衰期不能修复结构断点。

把买卖价差、市场冲击、手续费、资金费率或借券成本，以及两条腿都成交所需的时间纳入分析。这些成本沿着实际路径累积，而非只在期望半衰期内产生。搜索许多资产对、回溯窗口和采样频率，也可能让偶然较短的估计显得更可信。Chan 等人对利率模型的实证结果提醒我们，熟悉的均值回归形式并不保证在特定数据中有强证据。

OU 框架可以组织关于价差预期动态的假设。交易规则是否有效，则是另一个取决于稳定性、不确定性、执行和样本外表现的实证问题。

说明序列定义、价格或收益口径、采样间隔、样本窗口、估计均值、速度参数、波动率参数，以及 OU 方程是连续时间设定还是从离散 AR 模型推导。给出系数估计与不确定性，说明半衰期如何转换，并展示对合理替代窗口或采样间隔的敏感性。

交易应用还应说明价差构造方式、参数更新机制、每个决策时点可用的信息，以及交易成本和未能收敛时的处理。将半衰期作为模型隐含的期望衰减摘要，并同时报告不确定性和单位。不要将它单独用作进场、退出或盈利能力的论据。

Uhlenbeck 和 Ornstein 的1930 年布朗运动论文建立了底层的均值回归随机过程。Vasicek 的利率期限结构模型90016-2)使用 OU 型短期利率过程。Chan、Karolyi、Longstaff 和 Sanders 比较了连续时间短期利率规格，并报告证据和拟合效果取决于模型选择。Bertram 推导了基于首次到达时间的最优统计套利结果，说明交易时长是另一种量。相关指南包括[配对交易中的协整与相关关系](/zh-CN/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[金融中的单位根与均值回归](/zh-CN/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)，以及[Engle–Granger 协整检验](/zh-CN/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)。