Bán phương sai thực hiện: đo riêng biến động tăng và giảm

Gọi \(r_i\) là lợi suất log trong ngày được quan sát trong một khoảng cố định. Phương sai thực hiện là tổng bình phương lợi suất, \(RV=\sum_i r_i^2\). Bình phương khiến cả lãi và lỗ đều thành số dương, đồng thời cho chuyển động lớn trọng số cao hơn. Thống kê này đo lượng biến động tích lũy trong khoảng thời gian, nhưng không cho biết biến động đến từ phía tăng hay giảm.

Bán phương sai thực hiện giữ dấu của lợi suất trước khi bình phương. Thành phần dương cộng bình phương lợi suất lớn hơn 0; thành phần âm cộng bình phương lợi suất nhỏ hơn 0. Nếu dùng cùng quan sát và cùng quy ước, tổng hai phần bằng phương sai thực hiện. Lợi suất bằng 0 không đóng góp cho phần nào. Đây là đồng nhất thức tính toán, không phải bằng chứng rằng mỗi phía là một nguồn rủi ro nhân quả riêng.

Việc tách dấu hữu ích khi câu hỏi nghiên cứu liên quan đến biến động theo hướng, chẳng hạn biến động từ lợi suất âm trong quá khứ có chứa thông tin khác về biến động tương lai so với biến động từ lợi suất dương hay không. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock và Shephard đề xuất bán phương sai thực hiện như một thước đo biến động giảm tần suất cao. Bài nghiên cứu của họ phát triển mối liên hệ với biến thiên bậc hai và các bước nhảy âm.

Với lợi suất \(r_1,\ldots,r_n\), định nghĩa:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

trong đó \(\mathbf{1}(\cdot)\) bằng một nếu điều kiện đúng và bằng không nếu không đúng. Khi đó:

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Một số nghiên cứu dùng nhãn hoặc số mũ khác nhau, vì vậy báo cáo cần nêu rõ hạng nào chỉ lợi suất dương và hạng nào chỉ lợi suất âm. Công thức trên dùng lợi suất không được căn giữa quanh 0: không trừ trung bình mẫu, lợi suất mục tiêu hay lãi suất phi rủi ro. Bán phương sai mẫu tính quanh mục tiêu hoặc trung bình là một thống kê khác.

Đơn vị là bình phương đơn vị lợi suất. Nếu lợi suất tính bằng điểm cơ bản, mỗi thành phần có đơn vị \(\text{bp}^2\). Nếu dùng log return thập phân, đơn vị là bình phương lợi suất thập phân. Đổi từ lợi suất phần trăm sang điểm cơ bản làm giá trị số của thước đo bình phương tăng 10.000 lần, nên phải ghi đơn vị cùng với con số.

Giả sử một phiên giả định có sáu lợi suất tính bằng điểm cơ bản:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Lợi suất dương đóng góp \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\). Lợi suất âm đóng góp \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\). Lợi suất bằng 0 không đóng góp. Do đó phương sai thực hiện là

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

Trong ví dụ nhỏ này, tỷ trọng phía âm là \(21/34\), khoảng 61,8%, còn phía dương khoảng 38,2%. Đây chỉ là tỷ trọng của một tổng số giả định, không phải xác suất thua lỗ tương lai hay ước tính bất đối xứng dài hạn ổn định. Sáu lợi suất quá ít để suy luận thống kê. Phép tính chỉ nhằm kiểm tra định nghĩa.

Hướng dẫn về biến động thực hiện trình bày tổng bình phương lợi suất chưa tách. Hướng dẫn bipower variation giải quyết câu hỏi khác: ước tính biến thiên liên tục khi có thể xuất hiện các bước nhảy hiếm. Có thể nghiên cứu cùng lúc bán phương sai theo hướng và biến thiên bền vững với bước nhảy, nhưng chúng không thay thế nhau.

Nếu log-price tiềm ẩn tuân theo một semimartingale liên tục và tần suất lấy mẫu ngày càng dày theo các điều kiện chính quy phù hợp, bán phương sai lợi suất dương và âm mỗi bên hội tụ về một nửa biến thiên bậc hai liên tục. Trong bối cảnh đó, tổng trên mẫu hữu hạn có thể khác nhau dù biến thiên liên tục nền tảng không có phân tách theo hướng lâu dài; tính ngẫu nhiên của việc lấy mẫu vẫn quan trọng.

Khi có bước nhảy, bình phương độ lớn của nó được gán vào thành phần dương hoặc âm tùy dấu. Việc này giữ lại thông tin mà phương sai thực hiện tổng thể bỏ qua, nhưng không có nghĩa mọi lợi suất âm đều là bước nhảy hay mọi lợi suất dương đều vô hại. Một chuyển động liên tục lớn và một bước nhảy đều có thể tạo lợi suất bình phương lớn. Dấu chỉ phân loại mức tăng quan sát được, không xác định nguyên nhân kinh tế.

Hình minh họa ý tưởng bên dưới tách các biến động dương và âm thành hai nhóm trực quan. Đây không phải biểu đồ dữ liệu, kết quả kiểm định hay tuyên bố rằng quá trình nền tảng có thiên lệch hướng kéo dài.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Có thể đưa bán phương sai thực hiện vào mô hình biến động tương lai dưới dạng các biến dự báo riêng. Trong nghiên cứu về S&P 500 và cổ phiếu riêng lẻ, Patton và Sheppard nhận thấy biến động từ lợi suất âm trước đó có liên hệ mạnh hơn với biến động tương lai so với biến động từ lợi suất dương trong mẫu và đặc tả của họ. Đây là kết quả thực nghiệm theo thiết kế cụ thể, không phải quy luật chung cho mọi thị trường hay bảo đảm rằng chiến lược mới sẽ dự báo tốt.

Muốn đưa ra tuyên bố về khả năng dự báo, hãy xác định mục tiêu và chân trời, so sánh với benchmark phù hợp và đánh giá ngoài mẫu. Chênh lệch giữa \(RS^-\) và \(RS^+\) trong một ngày chỉ mang tính mô tả; nó không chứng minh năng lực dự báo. Hồi quy cũng có thể cần xét tính dai dẳng của biến động, chân trời chồng lấn, bất định tham số và việc lựa chọn dữ liệu. Nên đánh giá sai số dự báo bằng hàm tổn thất phù hợp với quyết định.

Trong mở rộng đa biến, Bollerslev, Li, Patton và Quaedvlieg phát triển bán hiệp phương sai thực hiện để phân rã hiệp phương sai thực hiện theo dấu của các cặp lợi suất tần suất cao. Bài báo Econometrica của họ giải thích vì sao thành phần cùng dấu và trái dấu có thể mang thông tin khác nhau. Tách dương/âm một biến đơn giản hơn và không nên được trình bày như phân rã đầy đủ của hiệp phương sai hay rủi ro danh mục.

Cụm từ “bán phương sai giảm” được dùng theo nhiều định nghĩa. Thước đo thực hiện ở đây bình phương các lợi suất tần suất cao dưới 0. Thống kê giảm dựa trên mục tiêu bình phương lợi suất dưới một ngưỡng đã chọn, thường là lợi suất mục tiêu hoặc mức sinh lời tối thiểu chấp nhận được. Phép tính mẫu cũng có thể căn giữa quan sát quanh trung bình. Các định nghĩa đó trả lời câu hỏi khác nhau và có thể cho giá trị khác nhau dù dùng cùng một chuỗi lợi suất.

Không bán phương sai thực hiện nào là Value-at-Risk hay Expected Shortfall. VaR mô tả một phân vị của phân phối thua lỗ và chân trời được xác định; Expected Shortfall tóm tắt các khoản lỗ vượt quá phân vị theo quy ước đã nêu. Tổng bình phương lợi suất âm trong ngày không có cách diễn giải nào như vậy. Nó cũng không phải thước đo đầy đủ của drawdown, vốn phụ thuộc vào thứ tự và đường đi của lợi suất.

Nếu biểu đồ hoặc mô hình gọi \(RS^-\) là “rủi ro giảm”, hãy định nghĩa ngay bên cạnh. Nêu rõ lợi suất được đo từ 0 hay từ mục tiêu, tần suất lấy mẫu, và đại lượng đó là thống kê theo khoảng thời gian, đầu vào dự báo hay thước đo danh mục. Hướng dẫn GARCH về biến động trình bày động lực phương sai có điều kiện; bán phương sai thực hiện cung cấp một phép đo tần suất cao theo hướng có thể được cân nhắc làm đầu vào.

Phân tách theo dấu phụ thuộc vào chuỗi lợi suất quan sát được. Lấy mẫu thường xuyên hơn có thể đưa vào bid–ask bounce, tính rời rạc của giá, báo giá cũ và sai lệch dấu thời gian. Một thay đổi giá nhỏ được ghi nhận có thể đổi dấu khi proxy giá hoặc lưới lấy mẫu thay đổi. Do đó nhiễu vi cấu trúc có thể làm thay đổi cả độ lớn bình phương lẫn phía nhận lợi suất đó. Đồng nhất thức \(RV=RS^++RS^-\) vẫn đúng với chuỗi đã chọn, nhưng không xác nhận thiết kế lấy mẫu là phù hợp.

Để so sánh vững chắc, hãy ghi rõ trường giá, khoảng lấy mẫu, ranh giới phiên, cách xử lý lợi suất bằng 0, quy tắc ngoại lệ và việc lợi suất giữa các tài sản có đồng bộ hay không. Kiểm tra độ nhạy với các lựa chọn lấy mẫu có thể bảo vệ được. Nếu nhận diện bước nhảy hoặc khả năng chống nhiễu là câu hỏi chính, hãy dùng ước lượng hoặc kiểm định được thiết kế cho mục tiêu đó thay vì diễn giải phân tách dấu như một phép hiệu chỉnh. Hướng dẫn two-scale realized volatility giải thích một phương án hiệu chỉnh nhiễu khác.

Suy luận thống kê cũng cần phân phối lấy mẫu hoặc thiết kế tái lấy mẫu phù hợp. Thành phần dương và âm được tạo từ cùng một đường đi nên có thể phụ thuộc nhau. Các cửa sổ chồng lấn tạo thêm phụ thuộc. Khoảng tin cậy hoặc phép so sánh dự báo phải phản ánh các đặc điểm đó; chỉ so sánh hai ước lượng điểm không kiểm định được vai trò dự báo của chúng có khác nhau hay không.

Báo cáo rõ ràng nêu chuỗi lợi suất của tài sản hoặc danh mục, cửa sổ quan sát, định nghĩa lợi suất, lưới lấy mẫu và đơn vị. Báo cáo đưa ra công thức \(RS^+\), \(RS^-\), xác nhận tổng của chúng khớp với phương sai thực hiện và giải thích cách xử lý giá trị 0 cùng quan sát bị thiếu. Nếu thước đo được đưa vào mô hình dự báo, hãy báo cáo chân trời, benchmark, giai đoạn đánh giá và hàm tổn thất.

Không chuyển trực tiếp bán phương sai thực hiện thành biến động thường niên hóa nếu chưa nêu giả định tổng hợp. Có thể cộng bán phương sai hằng ngày thành tổng năm mang tính mô tả theo một quy ước đã chọn, nhưng căn bậc hai của nó không tự động là độ lệch chuẩn giảm với phân phối đã biết. Thường niên hóa không sửa được dữ liệu giá bị lệch, lấy mẫu thưa hay ảnh hưởng do lựa chọn.

Mục đích chính là đo lường có kỷ luật: giữ hướng của từng lợi suất quan sát đồng thời duy trì trọng số bình phương dùng trong biến thiên thực hiện. Kết quả có thể cho thấy một mẫu hình đáng kiểm tra. Tự nó không xác định nguyên nhân, đo xác suất đuôi hay biến bất đối xứng lịch sử thành tín hiệu giao dịch.