Realized GARCH: Mô Hình Hóa Đồng Thời Lợi Suất và Biến Động Thực Hiện

Mô hình ARCH và GARCH suy ra sự thay đổi của phương sai từ chuỗi lợi suất. Engle giới thiệu ARCH, còn Bollerslev phát triển dạng tổng quát của nó (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Lợi suất là một tín hiệu nhiễu về mức độ biến động trong kỳ: lợi suất từ đóng cửa đến đóng cửa nhỏ bất thường không có nghĩa cả phiên giao dịch yên ắng, còn một lợi suất lớn không cho biết đường đi nào đã tạo ra biến động đó. Giá trong ngày có thể cung cấp một thước đo thực hiện riêng, chẳng hạn phương sai thực hiện, với nhiều thông tin hơn về biến động trong phiên.

Realized GARCH đưa thước đo đó vào động lực phương sai. Trong đặc tả cơ bản, cả phương sai có điều kiện của ngày trước lẫn thước đo thực hiện đều giúp cập nhật phương sai có điều kiện của ngày hiện tại. Mô hình còn có một phương trình riêng cho chính thước đo thực hiện. Phương trình bổ sung này là trọng tâm: nó mô tả mối liên hệ của thước đo với phương sai ẩn và cú sốc lợi suất, thay vì coi thước đo là một đầu vào bên ngoài không được giải thích.

Bài nghiên cứu gốc báo cáo độ phù hợp thực nghiệm cao hơn GARCH chỉ dùng lợi suất ngày trong mẫu gồm cổ phiếu Dow Jones và một quỹ hoán đổi danh mục. Đây là kết quả riêng cho mẫu đó, không phải bảo đảm Realized GARCH sẽ dự báo tốt hơn cho mọi tài sản hay giai đoạn. Xem hướng dẫn GARCH để tìm hiểu mô hình cơ sở chỉ dùng lợi suất.

Gọi rₜ là lợi suất trong kỳ t sau khi loại bỏ trung bình có điều kiện nếu mô hình có tính đến yếu tố này. Gọi hₜ là phương sai có điều kiện của rₜ theo thông tin Fₜ₋₁ có sẵn vào đầu kỳ, và xₜ là thước đo thực hiện dương được quan sát trong hoặc vào cuối kỳ t. Chẳng hạn, xₜ có thể là tổng bình phương các lợi suất trong ngày, tính theo cùng đơn vị bình phương lợi suất với hₜ.

Trình tự thời gian rất quan trọng. Dự báo hₜ sử dụng thông tin có sẵn trước kỳ t; sau khi quan sát rₜ và xₜ, mô hình cập nhật dự báo phương sai cho kỳ tiếp theo hₜ₊₁. Không dùng xₜ để khẳng định rằng bạn đã dự báo hₜ trước khi kỳ t diễn ra.

Realized GARCH là mô hình động cho lợi suất và biến đại diện biến động được đo lường. Mô hình này không giống hồi quy MIDAS, vốn dùng hàm trọng số trễ có cấu trúc để liên hệ dữ liệu ở các tần suất khác nhau. Cả hai đều có thể dùng thông tin trong ngày, nhưng cần xác định phương trình, mục tiêu dự báo và thời điểm thông tin trước khi so sánh.

Một mô hình Realized GARCH(1,1) phổ biến có phương trình lợi suất, phương trình phương sai và phương trình đo lường:

\[ rₜ = \sqrt{hₜ}\,zₜ \]

\[ \log hₜ = ω + β\log hₜ₋₁ + γ\log xₜ₋₁ \]

\[ \log xₜ = ξ + φ\log hₜ + τ(zₜ) + uₜ \]

Ở đây zₜ là đổi mới lợi suất đã chuẩn hóa, uₜ là nhiễu đo lường, còn τ(zₜ) cho phép thước đo quan sát phụ thuộc vào cú sốc lợi suất. Phương trình thứ nhất nhân cú sốc có phương sai đơn vị với độ lệch chuẩn có điều kiện. Phương trình thứ hai cập nhật log phương sai bằng log phương sai trước đó và log thước đo thực hiện trước đó. Phương trình thứ ba liên hệ log thước đo quan sát với log phương sai ẩn hiện tại, cú sốc lợi suất và đổi mới đo lường.

Dạng log thuận tiện vì hₜ và xₜ dương được biểu diễn trên thang log không bị giới hạn; lấy hàm mũ của dự báo phương sai sẽ cho giá trị dương. Do đó, hệ số chặn ω là hệ số chặn của phương trình log phương sai, không phải bản thân phương sai dài hạn. Trong mô hình cơ bản, các tham số được ước lượng đồng thời thay vì diễn giải riêng rẽ như những thước đo độc lập.

Thay phương trình đo lường ở kỳ t−1 vào bước cập nhật phương sai cho thấy thước đo thực hiện hồi tiếp vào log phương sai như thế nào:

\[ \log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ)\log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁ \]

Trong đặc tả (1,1) này, độ bền của log phương sai được tóm tắt bởi β + γφ, chứ không chỉ β. Quan hệ đo lường góp phần tạo nên hồi tiếp vì phương sai kỳ trước cao hơn gắn với thước đo thực hiện cao hơn, rồi thước đo đó đi vào bước cập nhật tiếp theo. Phép biến đổi đại số này giúp diễn giải các hệ số được ước lượng; nó không chứng minh tính dừng cho mọi mở rộng Realized GARCH. Suy luận phải dựa trên các điều kiện của đúng đặc tả được ước lượng.

Hansen, Huang và Shek giới thiệu dạng tuyến tính và log-tuyến tính của mô hình kết hợp này, đồng thời trình bày cấu trúc ba phương trình trong bài báo (2012). Cần lấy bậc trễ, thước đo thực hiện, trung bình có điều kiện và giả định về đổi mới từ đúng đặc tả đang ước lượng.

Phương trình đo lường giúp giải thích vì sao thước đo thực hiện có thể thay đổi cùng với cả phương sai ẩn lẫn cú sốc lợi suất. Một hàm đòn bẩy thường dùng là

\[ τ(zₜ) = τ₁zₜ + τ₂(zₜ² − 1) \]

Các số hạng tuyến tính và bình phương đã được định tâm có thể biểu diễn mối quan hệ bất đối xứng giữa cú sốc lợi suất và thước đo thực hiện. Các hệ số quyết định hình dạng mối quan hệ; riêng công thức không chứng minh lợi suất âm gây ra biến động trong tương lai.

Trong đặc tả cơ sở của bài báo, zₜ và uₜ được mô hình hóa thành hai đổi mới riêng biệt, zₜ đã chuẩn hóa và hai đổi mới độc lập với nhau. Đây là đặc tả thống kê thuận tiện, không phải bằng chứng rằng lợi suất thị trường hay sai số đo lường đều tuân theo một phân phối cụ thể trong mọi mẫu. Có thể dùng Gaussian quasi-likelihood để ước lượng mà không khẳng định tính chuẩn là sự thật.

Phương trình này cũng phân biệt Realized GARCH với GARCH-X. GARCH-X có thể đưa thước đo quan sát vào bước cập nhật phương sai nhưng không mô tả động lực của chính thước đo đó. Realized GARCH cũng mô hình hóa thước đo thực hiện, hỗ trợ dự báo nhiều bước khi chưa quan sát được các giá trị tương lai của thước đo. Mô hình mô tả một mối quan hệ thống kê chung; nó không biến thước đo thực hiện thành nguyên nhân bên ngoài.

Giả sử mô hình log-tuyến tính đã ước lượng có ω = −0.7824, β = 0.75 và γ = 0.15. Vào cuối kỳ t, giả sử phương sai có điều kiện hiện tại là hₜ = 0.0004 và thước đo thực hiện quan sát được là xₜ = 0.0009. Tất cả giá trị đều giả định, dương và dùng cùng thang phương sai lợi suất thập phân theo ngày.

Dùng phương trình phương sai để cập nhật dự báo cho kỳ (t+1):

\[ \begin{aligned} \log hₜ₊₁ &= −0.7824 + 0.75\log(0.0004) + 0.15\log(0.0009) \\ &\approx −7.7024 \\ hₜ₊₁ &= \exp(−7.7024) \approx 0.0004517 \end{aligned} \]

Độ lệch chuẩn có điều kiện tương ứng là √0.0004517 ≈ 0.02125, tức khoảng 2,13% trong kỳ lợi suất đã nêu. Thước đo thực hiện tác động đến dự báo phương sai kỳ tiếp theo thông qua hệ số được ước lượng; phép tính này không cập nhật hệ số và không dùng phương trình đo lường để khẳng định xₜ bằng hₜ.

Ví dụ chỉ minh họa phép tính. Ví dụ không có bất định trong ước lượng tham số hay quan sát ngoài mẫu, vì vậy không cho biết ý nghĩa thống kê hoặc mô hình này có vượt trội mô hình chuẩn hay không <!-- learn:illustration -->

Ước lượng cần các quan sát lợi suất và thước đo thực hiện được căn chỉnh theo thời gian. Hàm likelihood hoặc quasi-likelihood kết hợp phương trình lợi suất với phương trình đo lường, nên thay đổi giả định về phân phối hoặc cấu trúc phụ thuộc của các đổi mới có thể làm thay đổi tham số ước lượng. Hãy nêu phương pháp ước lượng, giả định về đổi mới, cách xử lý trung bình có điều kiện, thước đo thực hiện và quy tắc làm sạch dữ liệu; đừng chỉ đưa ra công thức truy hồi mà thiếu mô hình đo lường.

Sau khi mỗi kỳ kết thúc, mô hình có thể dùng lợi suất và thước đo thực hiện mới để cập nhật trạng thái rồi tạo dự báo phương sai tiếp theo. Với dự báo nhiều bước, giá trị x trong tương lai chưa biết. Đặc tả Realized GARCH đầy đủ có động lực cho thước đo thực hiện; vì vậy, dự báo phải tính đến phân phối hoặc kỳ vọng tương lai của nó thay vì đưa các giá trị thực hiện trong tương lai từ mẫu kiểm định vào mô hình.

Mục tiêu đánh giá phải khớp với dự báo: chẳng hạn phương sai có điều kiện của lợi suất kỳ tiếp theo hoặc thước đo thực hiện trong cùng khoảng thời gian. Căn chỉnh mục tiêu, biến đại diện, đơn vị, chân trời và ngày đánh giá. Likelihood trong mẫu so sánh mức độ phù hợp của mô hình; nó không thay thế một kiểm định dự báo theo trình tự thời gian.

Lưu từng dự báo tại thời điểm nó có thể được đưa ra, chỉ ước lượng lại bằng thông tin có sẵn tại thời điểm đó, rồi so sánh với mô hình chuẩn đã chọn trước trên cùng một mẫu. Chọn hàm mất mát trước khi xem kết quả và báo cáo chênh lệch mất mát theo cặp cùng ước lượng bất định có tính đến sự phụ thuộc khi cần. Hướng dẫn QLIKE và sai số bình phương giải thích vì sao đặc tính của biến đại diện và lựa chọn hàm mất mát ảnh hưởng đến phép so sánh.

Tính hữu ích của mô hình phụ thuộc vào thước đo và khoảng thời gian đầu vào. Thước đo thực hiện được tạo từ giá trong ngày có thể bỏ qua biến động qua đêm, dù rₜ là lợi suất từ đóng cửa đến đóng cửa. Bài báo gốc cho phép cửa sổ của thước đo thực hiện ngắn hơn khoảng thời gian lợi suất; phương trình đo lường không bắt buộc xₜ phải là ước lượng không chệch của hₜ. Sự linh hoạt đó không khiến các khoảng thời gian không khớp trở nên vô hại: cách diễn giải φ, mục tiêu dự báo và mọi phép so sánh vẫn phụ thuộc vào các khoảng này.

Bài báo đưa ra một ví dụ cụ thể: thước đo được tạo từ khoảng 6,5 giờ giao dịch có thể ghép với phương sai có điều kiện của lợi suất đóng cửa đến đóng cửa trong 24 giờ. Trong thiết lập đó, các tác giả kỳ vọng φ < 1 vì thước đo trong ngày chỉ bao phủ một phần của toàn bộ khoảng lợi suất. Vì vậy, giá trị φ ước lượng gắn với thước đo, phiên giao dịch và định nghĩa lợi suất; đây không phải hằng số hiệu chỉnh phổ quát có thể chuyển nguyên vẹn sang tài sản hoặc thiết kế lấy mẫu khác.

Dữ liệu tần suất cao cũng có thể chứa hiện tượng giá nhảy giữa giá mua và giá bán, giao dịch không đồng bộ, bước giá rời rạc, báo giá cũ và lỗi ghi nhận. Hướng dẫn biến động thực hiện hai thang đo trình bày một ước lượng được thiết kế để xử lý một phần nhiễu vi cấu trúc ở tần suất cao. Hansen và Lunde ghi nhận nhiễu vi cấu trúc thị trường có thể ảnh hưởng đáng kể đến việc đo phương sai thực hiện (2006). Dùng biến đại diện khác có thể làm thay đổi độ phù hợp, dự báo và ước lượng đòn bẩy.

Vì mô hình log-tuyến tính dùng log xₜ, thước đo được chọn phải dương nghiêm ngặt. Nếu dữ liệu có thể bằng không hoặc âm, phép biến đổi, bộ lọc hay ngưỡng sàn sẽ làm thay đổi mô hình và cần được giải thích, công bố. Hãy kiểm tra thước đo có bao gồm bước nhảy không, bao phủ phiên nào, xử lý các thanh giá bị thiếu ra sao và đơn vị có khớp với phương sai lợi suất không. Nhiều quan sát trong ngày hơn không tự động loại bỏ sai số đo lường.

GARCH thông thường dùng lợi suất trễ hoặc bình phương đổi mới trễ cùng phương sai trễ. Realized GARCH thêm thước đo thực hiện vào động lực phương sai và mô hình hóa thước đo đó bằng phương trình liên hệ với phương sai ẩn và cú sốc lợi suất. GARCH-X thường coi thước đo bổ sung là đầu vào bên ngoài. Hồi quy MIDAS dùng đường cong trọng số trễ có tham số trên dữ liệu ở các tần suất khác nhau; GARCH-MIDAS là mô hình lai liên quan nhưng cần đọc riêng các phương trình. Các tên gọi này không thể thay thế cho nhau.

Mô hình dự báo phương sai có điều kiện hoặc thước đo thực hiện đã xác định theo các giả định của nó. Mô hình không dự báo hướng lợi suất, không chứng minh thước đo trong ngày gây ra phương sai ngày kế tiếp và không xác lập một chiến lược có lãi. Likelihood trong mẫu cao không bảo đảm dự báo tương lai tốt hơn. Kết luận giao dịch cần một tín hiệu được xác định riêng và đánh giá sau chi phí, gồm chênh lệch giá, phí, tác động thị trường, chi phí tài trợ và giới hạn rủi ro.

Để báo cáo có thể tái lập, hãy nêu tài sản và mẫu, định nghĩa lợi suất và trung bình có điều kiện, cách xây dựng thước đo thực hiện và cửa sổ phiên, các phương trình cùng bậc trễ, giả định về đổi mới, cửa sổ ước lượng, thời điểm lập dự báo và chân trời, mô hình chuẩn, hàm mất mát và phương pháp ước lượng bất định. Kiểm tra độ nhạy với các lựa chọn thước đo thực hiện hợp lý và công bố việc loại dữ liệu hoặc điều chỉnh để bảo đảm giá trị dương