QLIKE và sai số bình phương trong dự báo biến động: biến đại diện nhiễu

Mô hình biến động dự báo lợi suất tương lai có thể phân tán rộng đến đâu, chứ không dự báo lợi suất sẽ dương hay âm. Trước khi đánh giá, hãy xác định mục tiêu, chẳng hạn phương sai có điều kiện của lợi suất ngày mai, đo bằng bình phương điểm cơ bản. Dự báo độ lệch chuẩn, dự báo phương sai và ước lượng phương sai thực hiện trong ngày có liên hệ với nhau, nhưng không thể hoán đổi nếu chưa nêu rõ phép biến đổi và chân trời dự báo.

Vấn đề này tách biệt với cách mô hình tạo ra dự báo. Hướng dẫn GARCH trình bày một cách cập nhật phương sai có điều kiện từ lợi suất quá khứ. Bài này bắt đầu sau khi có từ hai mô hình trở lên đã tạo dự báo, rồi hỏi nên chấm điểm chúng bằng cách nào khi chỉ có một thước đo không hoàn hảo về phương sai đã xảy ra.

“Dự báo tốt nhất” không có một nghĩa duy nhất cho đến khi mục tiêu, mẫu đánh giá và hàm mất mát được xác định. Một mô hình có thể đứng đầu theo hàm mất mát này nhưng xếp sau theo hàm khác, vì mỗi hàm gán chi phí khác nhau cho sai số dự báo

Gọi vₜ là phương sai có điều kiện không quan sát được của lợi suất mục tiêu, hₜ là dự báo được lập từ thông tin có sẵn trước khi lợi suất đó xảy ra, còn xₜ là biến đại diện quan sát được dùng để đánh giá. Bình phương lợi suất là một biến đại diện phổ biến, nhưng chỉ không chệch có điều kiện đối với phương sai khi lợi suất có kỳ vọng có điều kiện bằng không. Nếu kỳ vọng có điều kiện khác không, bình phương lợi suất thô ước lượng moment bậc hai có điều kiện chứ không phải phương sai có điều kiện; có thể thay vào đó xây dựng biến đại diện từ lợi suất sau khi đã loại bỏ kỳ vọng có điều kiện. Phương sai thực hiện được tính từ lợi suất trong ngày có thể đo biến động của phiên giao dịch giàu thông tin hơn, nhưng vẫn chỉ đo một khoảng thời gian và phụ thuộc vào quy tắc lấy mẫu cũng như dữ liệu giá.

Việc loại bỏ trung bình không tự động xóa bỏ sai lệch của biến đại diện khi trung bình có điều kiện được ước lượng. Nếu mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁) và trung bình ước lượng m̂ₜ được cố định bằng thông tin có sẵn tại thời điểm lập dự báo, thì E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)². Vì vậy, mọi sai số ước lượng trung bình có thể dự báo đều cộng thêm một số hạng không âm vào biến đại diện. Hãy nêu cách ước lượng trung bình và biến đại diện nhắm đến phương sai hay mômen bậc hai trước khi viện dẫn kết quả không chệch có điều kiện.

xₜ và hₜ cần khớp nhau về tài sản, định nghĩa lợi suất, khoảng thời gian, chân trời và đơn vị. Nếu xₜ đo bằng bp², hₜ cũng phải là bp²; khi đó hàm mất mát sai số bình phương có đơn vị bp⁴. Không nên chấm điểm dự báo phương sai có điều kiện từ giá đóng cửa đến giá đóng cửa bằng một thước đo thực hiện bỏ qua khoảng qua đêm, trừ khi đó chính là mục tiêu đã chọn.

Hãy lưu các giá trị biến đại diện và dự báo của mọi mô hình tại cùng thời điểm dự báo. Nếu một mô hình thiếu dự báo ở một ngày, hãy xác định trước mẫu chung hoặc quy tắc xử lý dữ liệu thiếu có căn cứ. So sánh trung bình trên những ngày khác nhau có thể trộn lẫn hiệu suất mô hình với khác biệt về điều kiện thị trường mà mỗi mô hình gặp phải

Với biến đại diện phương sai không âm xₜ và dự báo phương sai dương hₜ, hàm mất mát sai số bình phương là

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

Hàm mất mát QLIKE là

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Điểm càng thấp càng tốt. Khi xₜ dương nghiêm ngặt, QLIKE cũng thường được viết dưới dạng tỷ số tương đương: xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1. Hai công thức chỉ khác nhau ở một số hạng phụ thuộc vào biến đại diện quan sát được chứ không phụ thuộc vào dự báo, nên xếp hạng giống nhau trên cùng một mẫu. Dạng log(hₜ) vẫn xác định khi xₜ bằng 0, miễn là hₜ dương. Patton định nghĩa các hàm mất mát cho phương sai này và nghiên cứu cách chúng hoạt động với biến đại diện không hoàn hảo (Patton, 2011).

QLIKE tương ứng với điểm quasi-likelihood Gaussian cho dự báo phương sai (Hansen và Lunde, 2005). Mối liên hệ này không chứng minh lợi suất có phân phối Gaussian, và điểm thấp cũng không xác nhận các giả định phân phối của mô hình. Sai số bình phương đo bình phương khoảng cách tuyệt đối giữa biến đại diện và dự báo. Điều cần chọn là quy tắc chấm điểm phù hợp với mục tiêu so sánh và giả định về biến đại diện

Sai số bình phương có đơn vị bằng bình phương của đơn vị phương sai và tăng nhanh khi biến đại diện với dự báo cách xa nhau. Vì vậy, một vài giá trị biến đại diện rất lớn có thể chi phối điểm trung bình. Cách này phù hợp nếu các sai lệch tuyệt đối lớn về phương sai cần bị phạt nhiều hơn, nhưng khiến kết quả nhạy với các quan sát cực đoan.

Nhân xₜ và hₜ với cùng một hằng số chuyển đổi đơn vị dương c sẽ cộng thêm log(c) vào log(hₜ) + xₜ/hₜ. Phần cộng thêm này giống nhau cho mọi dự báo được chấm trên cùng một mẫu biến đại diện, vì vậy thứ hạng không đổi; còn giá trị tuyệt đối của số hạng log phụ thuộc vào đơn vị được chọn. QLIKE phản ánh tỷ lệ giữa dự báo và biến đại diện qua xₜ/hₜ, đồng thời phản ánh quy mô của hₜ qua log(hₜ). Khi dự báo thấp hơn nhiều so với một biến đại diện lớn, số hạng tỷ lệ tăng mạnh; dự báo quá cao cũng làm tăng chi phí qua log(hₜ), nhưng chậm hơn nếu so các sai số tỷ lệ tương đương. QLIKE không phải hàm mất mát chống ngoại lệ: biến đại diện cực lớn vẫn làm xₜ/hₜ tăng.

Không có hàm mất mát nào tốt nhất cho mọi quyết định. Sai số bình phương đặt trọng số lớn hơn lên các sai lệch tuyệt đối lớn theo đơn vị phương sai, còn QLIKE có cách tính sai lệch tương đối khác. Kết quả về thứ hạng bền vững trước nhiễu biến đại diện của Patton không có nghĩa hai hàm này xếp hạng mô hình giống nhau hoặc miễn nhiễm với ngoại lệ

Giả sử các biến đại diện phương sai quan sát được là x = [1, 4] bp². Mô hình A dự báo hᴬ = [1, 1] bp², trong khi mô hình B dự báo hᴮ = [4, 2] bp². Đây là các số giả định để minh họa cách lựa chọn hàm mất mát có thể làm thay đổi thứ hạng.

MSE chọn mô hình A: điểm trung bình là 4,5 bp⁴, so với 6,5 bp⁴ của B. QLIKE chọn mô hình B: điểm trung bình xấp xỉ 2,165, thấp hơn 2,5 của A. Hai kỳ này chỉ minh họa phép tính. Chúng quá ít để ước lượng độ bất định hay chứng minh một dự báo tốt hơn, và không nói lên điều gì về một chiến lược giao dịch <!-- learn:illustration -->

Biến đại diện cho biến động có thể nhiễu nhưng vẫn không chệch có điều kiện. Giả sử E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ, trong đó Fₜ₋₁ là thông tin có sẵn khi lập dự báo. Với dự báo hₜ được tạo từ thông tin đó, kỳ vọng có điều kiện của sai số bình phương là

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Số hạng phương sai không phụ thuộc vào dự báo nào đang được chấm điểm. Nó làm tăng MSE kỳ vọng của mọi dự báo cùng một lượng nên triệt tiêu khi so sánh các tổn thất kỳ vọng. Với QLIKE, tính không chệch có điều kiện cho ta

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Đó chính là điểm số thu được nếu dùng phương sai tiềm ẩn thay cho biến đại diện. Trong các điều kiện này, từng hàm mất mát giữ nguyên thứ hạng kỳ vọng của các dự báo phương sai cạnh tranh so với mục tiêu tiềm ẩn. Patton (2011) gọi đây là tính bền vững của thứ hạng trước biến đại diện; ý nói thứ hạng kỳ vọng không đổi khi có nhiễu, chứ không phải khả năng chống ngoại lệ.

Kết quả giả định cùng một tập thông tin có điều kiện, biến đại diện không chệch có điều kiện, dự báo dương đối với QLIKE và các tổn thất kỳ vọng hữu hạn. Điều đó không có nghĩa MSE và QLIKE xếp hạng mô hình giống nhau. Như ví dụ hai kỳ cho thấy, cả hai hàm dùng cùng quan sát nhiễu nhưng gán trọng số khác nhau cho sai số dự báo

Thứ hạng kỳ vọng bất biến không đảm bảo mọi mẫu quan sát được đều có thứ hạng như khi dùng phương sai tiềm ẩn. Nhiễu biến đại diện làm tăng độ biến thiên của tổn thất quan sát được và có thể giảm lực kiểm định khi so sánh dự báo. Với khoảng đánh giá ngắn, chỉ một vài giá trị biến đại diện tình cờ cao hoặc thấp cũng có thể đảo thứ hạng mô hình, ngay cả khi tính không chệch có điều kiện đúng trung bình.

Bảo đảm này cũng mất đi nếu biến đại diện chệch có điều kiện so với mục tiêu đã nêu. Phương sai thực hiện tần suất cao có thể bị ảnh hưởng bởi nhảy giá mua–bán, báo giá cũ hoặc không đồng bộ, tần suất lấy mẫu và việc bỏ sót lợi suất qua đêm. Biến đại diện nhắm đến phương sai tích phân trong ngày có thể không phải là thước đo không chệch cho phương sai có điều kiện từ đóng cửa đến đóng cửa. Hướng dẫn tính biến động thực hiện trình bày các lựa chọn xây dựng thước đo; hướng dẫn phương sai thực hiện hai thang đo trình bày một ước lượng được thiết kế để xử lý một phần nhiễu vi cấu trúc trong dữ liệu tần suất cao. Hansen và Lunde (2006) ghi nhận nhiễu vi cấu trúc thị trường có thể ảnh hưởng đến phép đo phương sai thực hiện.

“Bền vững” ở đây có nghĩa hẹp: nếu biến đại diện không chệch có điều kiện thì thứ hạng kỳ vọng được giữ nguyên. Điều đó không có nghĩa điểm số mẫu bỏ qua ngoại lệ, mọi thước đo biến động thực hiện đều không chệch, hoặc phép so sánh được bảo vệ khi mục tiêu không khớp. Hãy nêu rõ biến đại diện đo lường điều gì và những giả định nào liên hệ nó với vₜ

Với hai dự báo hᴬₜ và hᴮₜ được cố định tại cùng một thời điểm lập dự báo, chênh lệch MSE kỳ vọng là E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)². Với cùng điều kiện về biến đại diện, chênh lệch QLIKE kỳ vọng là log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ. Các biểu thức này cho thấy tính bền vững của thứ hạng trước biến đại diện loại bỏ điều gì: phần nhiễu bổ sung trong điểm số kỳ vọng của biến đại diện. Tuy vậy, các phép so sánh dự báo vẫn khác nhau vì MSE và QLIKE gán chi phí khác nhau cho sai số.

Sau khi chọn điểm số, hãy tính chênh lệch tổn thất theo cặp ở từng thời điểm dự báo chung. Đặt dₜ = L_A,ₜ − L_B, giá trị trung bình dương nghĩa là tổn thất của B thấp hơn. Kiểm định Diebold–Mariano dùng chuỗi chênh lệch theo cặp để đánh giá liệu kỳ vọng của chênh lệch có bằng không hay không. Kiểm định này không chọn giữa QLIKE và MSE, cũng không xác định mục tiêu nào cần quan tâm. Hướng dẫn Diebold–Mariano trình bày khuôn khổ suy luận tổng quát hơn.

Nếu chân trời dự báo nhiều kỳ chồng lấp nhau hoặc các chênh lệch điểm số có tương quan chuỗi vì lý do khác, hãy dùng sai số chuẩn xét đến phụ thuộc, chẳng hạn ước lượng HAC phù hợp. Newey và West (1987) đề xuất một ước lượng ma trận hiệp phương sai HAC bán xác định dương. Hãy nêu chân trời, thời điểm đánh giá, quy ước dấu của chênh lệch tổn thất, phương pháp hiệp phương sai và, khi thích hợp, kernel cùng bandwidth. Giá trị p thấp không khắc phục biến đại diện bị chệch hoặc không khớp mục tiêu

Hãy dùng thiết kế ngoài mẫu theo thời gian và lưu các dự báo mà mỗi mô hình thực sự có thể tạo ra tại từng thời điểm. Cố định mục tiêu, cách xây dựng biến đại diện, chân trời, đơn vị, mẫu chung và hàm mất mát trước khi xem mô hình nào đạt điểm tốt hơn. Ghi lại cửa sổ ước lượng, quy tắc ước lượng lại, cách xử lý quan sát thiếu và liệu giai đoạn đánh giá có được dùng nhiều lần để điều chỉnh mô hình hay không. Nếu so sánh cả MSE lẫn QLIKE nhưng chỉ báo cáo kết quả thắng, hãy công khai lựa chọn đó thay vì trình bày như một kiểm định duy nhất đã định trước.

Hãy báo cáo tổn thất trung bình của từng mô hình, chênh lệch theo cặp, cỡ mẫu, định nghĩa biến đại diện và phương pháp suy luận. QLIKE yêu cầu hₜ > 0; nếu đặt ngưỡng sàn cho dự báo, hãy xác định trước khi đánh giá vì ngưỡng có thể làm đổi điểm số. Kiểm tra độ nhạy với các lựa chọn hợp lý về biến đại diện và lấy mẫu, đồng thời nêu rõ việc thử nhiều lựa chọn cũng tạo ra vấn đề lựa chọn kết quả.

Tổn thất biến động thấp hơn chỉ đo hiệu suất theo điểm số và biến đại diện đã chọn. Nó không chứng minh biến dự báo gây ra biến động, lợi suất có phân phối chuẩn, hay chiến lược dùng dự báo sẽ có lãi sau spread, phí, trượt giá, chi phí tài trợ và giới hạn rủi ro. Đánh giá năng lực dự báo và kết quả giao dịch như hai tuyên bố riêng biệt