Giải thích hồi quy MIDAS: Dữ liệu tần suất hỗn hợp và dự báo biến động

Dữ liệu tài chính và kinh tế không xuất hiện theo cùng một nhịp. Mục tiêu biến động có thể đo theo tuần, trong khi biến giải thích tiềm năng là lợi suất ngày hoặc thước đo biến động thực hiện trong ngày. Chuỗi kinh tế vĩ mô có thể theo quý, còn giá tài sản được quan sát mỗi ngày giao dịch. Hồi quy thông thường giả định mỗi quan sát của mục tiêu và biến giải thích có một hàng tương ứng, vì vậy nhà phân tích phải quyết định cách xử lý các lịch khác nhau trước khi ước lượng mô hình.

Một cách là gộp đầu vào hàng ngày thành trung bình hoặc tổng tuần. Cách này đơn giản nhưng áp một trọng số nhất định cho mỗi ngày và có thể làm mất thông tin về thời điểm biến động xảy ra trong tuần. Cách khác là lặp lại giá trị theo quý trên các hàng ngày hoặc nội suy. Lặp lại có thể khiến một con số thay đổi chậm trông như nhiều quan sát mới; nội suy có thể tạo ra một đường đi trơn chưa từng được quan sát. Cả hai đều không tạo thêm thông tin.

MIDAS kết nối trực tiếp các tần suất: giữ mục tiêu ở tần suất thấp tự nhiên và đưa vào một cấu trúc độ trễ của chuỗi tần suất cao hơn. Tên gọi này nói đến lấy mẫu dữ liệu hỗn hợp, không phải một mô hình biến động cụ thể. Hồi quy MIDAS được dùng để dự báo biến động và trong các trường hợp khác khi biến giải thích được lấy mẫu dày hơn kết quả. Câu hỏi chính là dùng bao nhiêu lịch sử tần suất cao gần đây và giới hạn trọng số của nó ra sao.

Gọi \(y_{t+1}\) là mục tiêu tần suất thấp, chẳng hạn phương sai thực hiện của tuần kế tiếp, chỉ quan sát được sau khi tuần \(t+1\) kết thúc. Gọi \(x_{t-j}\) là biến dự báo hàng ngày được quan sát trước thời điểm dự báo cuối tuần \(t\) \(j\) phiên giao dịch. Một hồi quy MIDAS đơn giản là \(y_{t+1}=a+b\sum_{j=1}^{K}w_j(\theta)x_{t-j}+u_{t+1}\), trong đó \(K\) là số độ trễ ngày, \(w_j(\theta)\) là trọng số được điều khiển bởi một véc-tơ tham số nhỏ, còn \(u_{t+1}\) là sai số dự báo.

Trọng số thường được chuẩn hóa sao cho \(\sum_{j=1}^{K}w_j(\theta)=1\). Nhờ vậy, tổng có trọng số dễ được hiểu như một lịch sử đã tổng hợp, còn \(b\) điều chỉnh mức độ liên hệ của phần tổng hợp đó với mục tiêu. Chuẩn hóa không có nghĩa các quan sát hàng ngày độc lập hoặc hữu ích ngang nhau.

Nhà phân tích có thể chọn \(x\) là bình phương lợi suất ngày, lợi suất tuyệt đối, thước đo phương sai thực hiện từ lợi suất trong ngày hoặc một biến khác có sẵn tại thời điểm dự báo. \(y\) có thể là phương sai tuần trong tương lai, một công bố kinh tế vĩ mô hàng tháng hoặc một mục tiêu tần suất thấp khác. Định nghĩa mục tiêu quyết định ý nghĩa của hệ số. Mô hình cho biến đại diện phương sai thực hiện không tự động là mô hình cho phương sai tức thời tiềm ẩn, phương sai hàm ý từ quyền chọn hay lợi suất giá.

MIDAS là khuôn khổ hồi quy chứ không phải một ước lượng viên phổ quát. Có thể mô hình hóa phản hồi ở mức, log hoặc bằng hàm liên kết; ước lượng phụ thuộc vào họ trọng số và giả định sai số. Hồi quy tuyến tính cho một biến đại diện phương sai không âm có thể tạo giá trị dự báo âm nếu không ràng buộc dự báo hoặc biến đổi mục tiêu. Hãy kiểm tra miền giá trị và đơn vị của mục tiêu.

Hồi quy độ trễ phân phối không ràng buộc ước lượng một hệ số riêng cho từng đầu vào ngày trong \(K\) độ trễ. Nếu \(K\) lớn so với số quan sát mục tiêu tuần, các ước lượng có thể nhiễu và tương quan mạnh. MIDAS xác định các hệ số độ trễ bằng một hàm có ít chiều. Một hồ sơ Almon mũ minh họa là \(w_j(\theta)=\frac{\exp(\theta_1j+\theta_2j^2)}{\sum_{\ell=1}^{K}\exp(\theta_1\ell+\theta_2\ell^2)}\); hồ sơ đa thức Beta chuẩn hóa cũng thường được dùng.

Các hồ sơ này có thể đặt trọng số lớn hơn cho phiên gần nhất, giảm dần từ từ hoặc ưu tiên tương đối phần giữa cửa sổ độ trễ. Tham số mô tả đường cong trơn đã chọn, không khẳng định vô điều kiện tầm quan trọng của từng ngày. Nếu dữ liệu ủng hộ phản ứng ngắn nhưng hàm được chọn áp đặt phần đuôi trơn dài, các hệ số ước lượng sẽ mang hạn chế đó. Ngược lại, ước lượng quá nhiều hệ số ngày tự do có thể khớp nhiễu thay vì động lực ổn định.

Các ràng buộc trọng số là giả định mô hình. Trọng số không âm có tổng bằng một giúp diễn giải dự báo phương sai như trung bình có trọng số, nhưng loại trừ khả năng tác động dương và âm của các độ trễ triệt tiêu nhau. Hồ sơ linh hoạt có thể tạo dạng lõm hoặc thay đổi độ dốc, nhưng quá nhiều tham số hình dạng có thể khó nhận dạng. Hãy so sánh một số hồ sơ hợp lý, nêu rõ các độ trễ khả dụng và kiểm tra dự báo có thay đổi đáng kể khi đổi họ trọng số hay không.

Không có giá trị \(K\) phù hợp cho mọi trường hợp. Cửa sổ dài có thể nắm bắt thông tin dai dẳng nhưng thêm tham số hoặc áp đặt dạng kéo dài; cửa sổ ngắn có thể bỏ lỡ động lực chậm hơn. Chọn số độ trễ dựa trên thông tin có trong giai đoạn ước lượng và xác thực mà không dùng mục tiêu đánh giá tương lai. Độ khớp tốt trong mẫu không tự nó cho biết cửa sổ độ trễ nắm bắt được tín hiệu có thể lặp lại.

Nhãn tần suất không đủ để bảo đảm thiết kế dự báo hợp lệ. Giả sử mục tiêu là phương sai trong tuần năm phiên sắp tới và dự báo được phát hành sau khi thị trường đóng cửa thứ Sáu. Có thể dùng các quan sát ngày kết thúc đến thứ Sáu, nhưng không dùng thống kê phương sai thực hiện tính từ dữ liệu tuần tới. Nếu mục tiêu là thống kê tuần hoặc tháng được công bố, thời điểm công bố có thể muộn hơn giai đoạn mà nó mô tả. Kiểm định quá khứ phải dùng giá trị thực sự có sẵn lúc đó, không phải bản sửa đổi hoặc công bố về sau.

Trước khi ước lượng, hãy lập bảng thời điểm dự báo: lúc dự báo được đưa ra, dấu thời gian muộn nhất được phép cho từng biến giải thích, kỳ mục tiêu và thời điểm mục tiêu được quan sát. Với lợi suất tài chính, nêu rõ lợi suất đóng cửa đến đóng cửa có bao gồm khoảng qua đêm không, phiên thị trường nào xác định một ngày và ngày nghỉ hoặc nến thiếu làm thay đổi số độ trễ ngày ra sao. Năm phiên giao dịch và bảy ngày lịch là hai khoảng khác nhau.

Lịch công bố tạo ra các mép dữ liệu không đồng đều. Ở một ngày nhất định, dữ liệu ngày mới của biến này có thể đã có trong khi chuỗi tháng khác chưa được công bố. Có thể chuyển tiếp giá trị tháng gần nhất nếu mô hình coi đó là thông tin cũ nhưng đã biết tại thời điểm dự báo. Không hợp lệ nếu điền một quan sát chưa công bố bằng giá trị từ lần công bố sau. Các lần sửa đổi lịch sử tạo ra vấn đề nhìn trước tinh vi hơn: cơ sở dữ liệu hiện tại có thể chứa chuỗi vĩ mô đã sửa mà người dự báo thời gian thực không thể xem.

Thị trường không đồng bộ làm phát sinh vấn đề căn chỉnh khác. Giá đóng cửa ngày của cổ phiếu và tiền mã hóa có thể ứng với các khoảng UTC khác nhau; thước đo biến động trong ngày có thể dùng nến hoàn tất sau thời điểm dự báo. Chuyển đổi múi giờ, đổi giờ mùa hè, đóng cửa địa điểm giao dịch và cách dựng nến đều thuộc tập thông tin. Hãy nêu cách xử lý thay vì cho rằng các hàng cùng ngày có cùng thời điểm chốt dữ liệu.

Giả sử mục tiêu là phương sai thực hiện của tuần tới và dự báo được đưa ra lúc đóng cửa thứ Sáu. Mô hình dùng năm đầu vào phương sai thực hiện hàng ngày từ tuần đã kết thúc. Trọng số ước lượng từ mới nhất đến cũ nhất là \(0.40,0.25,0.16,0.11,0.08\), tổng bằng một. Giả sử các đầu vào ngày tương ứng, theo đơn vị lợi suất bình phương, là \(0.0004,0.0001,0.0009,0.0004,0.0001\).

Lịch sử có trọng số là \(0.40(0.0004)+0.25(0.0001)+0.16(0.0009)+0.11(0.0004)+0.08(0.0001)=0.000381\). Với mô hình ước lượng giả định này, đặt hệ số chặn \(a=0.00012\) và hệ số dốc \(b=0.80\). Dự báo phương sai tuần tới là \(0.00012+0.80(0.000381)=0.0004248\). Căn bậc hai xấp xỉ \(0.02061\), tức \(2.06\%\) trong tuần mục tiêu theo định nghĩa đã chọn.

Phép tính minh họa cách ánh xạ biến dự báo hàng ngày sang mục tiêu tuần trong tương lai; các giá trị và hệ số được tạo ra để minh họa. Nó không nói ngày cụ thể nào gây ra phương sai tuần sau hoặc tài sản có khả năng tăng hay giảm. Trọng số của phiên gần nhất cho biết mô hình dự báo đã xác định kết hợp dữ liệu quan sát ra sao, có điều kiện theo mẫu và các ràng buộc. Đây không phải ước lượng phản ứng nhân quả.

Ví dụ cũng làm rõ vấn đề đơn vị. Phương sai thực hiện ngày và tuần đều là phương sai lợi suất nhưng ứng với khoảng tích lũy khác nhau. Hệ số dốc \(b\), hệ số chặn và cách xây dựng mục tiêu được ước lượng cho đúng quy ước đó; không thể chỉ đổi nhãn đầu vào ngày thành phương sai tuần. Nếu mục tiêu là log phương sai tuần, đầu ra mô hình ở đơn vị log và số mũ của kỳ vọng có điều kiện của log thường không bằng kỳ vọng có điều kiện của phương sai. Muốn đổi về mức cần xác định rõ mục tiêu dự báo và, khi phù hợp, điều chỉnh biến đổi ngược.

Khi véc-tơ trọng số cố định, hồi quy tuyến tính theo hệ số chặn và hệ số dốc. Khi trọng số phụ thuộc vào tham số phi tuyến chưa biết \(\theta\), ước lượng thường dùng bình phương tối thiểu phi tuyến hoặc phương pháp liên quan dựa trên hợp lý cực đại. Bộ ước lượng tìm đồng thời tham số hình dạng trọng số và hệ số hồi quy, hoặc loại bỏ tuyến tính các hệ số hồi quy cho từng hình dạng ứng viên. Giá trị khởi tạo, giới hạn tham số, tiêu chí hội tụ và số nghiệm cục bộ đều có thể ảnh hưởng; không nên che giấu việc không hội tụ hoặc nghiệm biên.

Nếu \(y\) là thước đo biến động không âm, đặc tả tuyến tính thông thường có thể cho giá trị khớp âm, nhất là ngoài mẫu. Có thể ràng buộc mức dự báo không âm, dùng hàm liên kết dương hoặc mô hình hóa log của mục tiêu. Các lựa chọn này thay đổi đại lượng được ước lượng và cách diễn giải dự báo. Trong mô hình mục tiêu log, dự báo kỳ vọng có điều kiện của log phương sai không tự động là kỳ vọng có điều kiện của phương sai; phân phối nhiễu và phép biến đổi ngược có ý nghĩa.

Bất định mẫu còn phụ thuộc cách xây dựng mục tiêu. Phương sai thực hiện tuần từ lợi suất trong ngày có sai số đo lường và có thể nhạy với nhiễu vi cấu trúc, khoảng lấy mẫu, bước nhảy và dữ liệu thiếu. Nếu các cửa sổ mục tiêu tuần chồng lấp, sai số dự báo từ các thời điểm gần nhau chia sẻ cùng lợi suất cơ sở. Vì vậy, sai số chuẩn và phép so sánh giả định sai số dự báo độc lập có thể không phù hợp. Hãy dùng suy luận phù hợp với chân trời dự báo và cấu trúc phụ thuộc, đồng thời báo cáo cách đo mục tiêu.

Độ ổn định tham số cũng cần được xem xét. Hồ sơ trọng số ước lượng là mức trung bình trong mẫu ước lượng; khi cấu trúc thị trường đổi, nó có thể không mô tả tốt chế độ hiện tại. Cửa sổ mở rộng dùng nhiều lịch sử hơn nhưng giữ lại động lực cũ; cửa sổ trượt thích ứng nhanh hơn nhưng có ít quan sát và nhiễu ước lượng lớn hơn. Hãy xác định trước quy tắc cập nhật và so sánh với chuẩn cố định bằng đánh giá theo thời gian.

MIDAS là cách kết hợp quan sát có tần suất lấy mẫu khác nhau thông qua độ trễ có trọng số. Hồi quy MIDAS có thể dự báo trực tiếp mục tiêu biến động thực hiện từ các thước đo ngày hoặc trong ngày trước đó. Nó không nhất thiết phải đặc tả đệ quy phương sai có điều kiện một bước như mô hình GARCH.

GARCH-MIDAS là họ mô hình khác, kết hợp thành phần biến động dài hạn thay đổi chậm, thường được dẫn dắt bởi biến tần suất thấp, với thành phần phương sai có điều kiện ngắn hạn tiến triển theo đệ quy. Hai thành phần có đặc tả tham số và giả định riêng. Hãy đọc đúng các phương trình của bài báo hoặc gói phần mềm: trọng số MIDAS có thể điều khiển thành phần dài hạn còn đệ quy GARCH xử lý cú sốc ngắn hạn. Chỉ nhãn gọi không cho biết mục tiêu, dự báo biến động tiềm ẩn hay thực hiện, hoặc cách bảo đảm tính dương.

Các nghiên cứu MIDAS tài chính ban đầu về biến động so sánh biến dự báo, tần suất và độ dài độ trễ trong khuôn khổ dự báo gọn. Công trình phương pháp sau đó phát triển tính chất ước lượng và kiểm định cho hồi quy tần suất hỗn hợp, bao gồm so sánh với gộp thời gian truyền thống. Những đóng góp này hỗ trợ cơ chế của phương pháp chứ không khẳng định MIDAS luôn tốt hơn GARCH hay biến tần suất cao luôn cải thiện dự báo. Kết quả phụ thuộc tài sản, mẫu, mục tiêu, biến dự báo, chân trời và thiết kế đánh giá.

Chọn mô hình theo câu hỏi. Hồi quy MIDAS trực tiếp có thể phù hợp nếu muốn dự báo thước đo biến động thực hiện tương lai từ lịch sử ngày. Nếu mục tiêu là mô hình hóa đệ quy phương sai có điều kiện, hãy so sánh với đặc tả GARCH phù hợp. Khi ghép công bố vĩ mô hàng quý với mục tiêu tài chính hàng ngày, hồi quy tần suất hỗn hợp có thể cần kiểm soát phiên bản dữ liệu được công bố lúc đó. Những mô hình tên gần giống có thể trả lời câu hỏi khác nhau, vì vậy hãy căn thời điểm dự báo, định nghĩa mục tiêu và tập thông tin trước khi so hiệu quả.

Dữ liệu tần suất cao tăng chi tiết thời gian nhưng có thể làm nhiễu đo lường lớn hơn. Nến rất ngắn chứa hiện tượng giá bật giữa bid-ask, tính rời rạc của giá, báo giá cũ, giao dịch không đồng bộ và lỗi luồng dữ liệu. Cộng lợi suất bình phương ở những khoảng ngày càng ngắn không bảo đảm ước lượng phương sai thực hiện tốt hơn. Hãy chọn lưới lấy mẫu và quy tắc làm sạch trước khi xem hiệu quả dự báo, rồi phân tích độ nhạy với các lựa chọn hợp lý khác.

Số lượng kết quả mục tiêu tần suất thấp, chứ không phải số hàng biến dự báo ngày nhìn có vẻ nhiều, giới hạn lượng thông tin có thể học. Mười năm đầu vào hàng ngày ghép với mục tiêu tuần vẫn chỉ cung cấp khoảng năm trăm kỳ kết quả tuần trước khi trừ giá trị thiếu và giai đoạn kiểm định. Hàm trọng số trơn dùng ít hệ số hơn độ trễ ngày tự do, nhưng hình dạng vẫn có thể khó nhận dạng nếu mẫu ngắn, biến dự báo dai dẳng hoặc các độ trễ ứng viên dư thừa.

Nhiều lựa chọn phân tích tạo ra thiên lệch chọn mẫu: thử một số thước đo tần suất cao, độ dài lag, hồ sơ trọng số, phép biến đổi, thị trường, chân trời dự báo và hàm mất mát rồi chỉ báo cáo kết quả tốt nhất. Độ khớp trong mẫu đặc biệt dễ bị ảnh hưởng vì cùng mục tiêu được dùng để chọn tham số và mô hình. Hãy lưu lại họ mô hình đã thử, chọn trước một chỉ số chính và dùng tập giữ lại theo thời gian sau đó hoặc phép so sánh có xét đến lựa chọn. Nếu so nhiều dự báo trên cùng ngày, cần tính đến phụ thuộc và kiểm định nhiều lần.

Đường cong trọng số ước lượng không phải lời giải thích nhân quả. Đầu vào tần suất cao có thể đại diện cho tin tức, thanh khoản hoặc hoạt động thị trường; yếu tố không quan sát được có thể cùng lúc thúc đẩy biến dự báo và biến động tương lai. Khẳng định về ích lợi dự báo cần thời điểm dữ liệu ổn định và bằng chứng ngoài mẫu. Diễn giải nhân quả cần thiết kế nhận dạng và giả định riêng ngoài phương trình độ trễ MIDAS.

Dự báo biến động có thể hỗ trợ ngân sách rủi ro, quy mô phòng hộ hoặc khoảng kịch bản, nhưng không cho biết dấu lợi suất hay hướng vị thế. Độ lệch chuẩn tuần dự báo \(2.06\%\) không phải mức biến động được hứa hẹn, khoản lỗ tối đa hay báo giá biến động hàm ý của quyền chọn. Dự báo mô tả một thước đo phân tán đã chọn theo mô hình và mẫu ước lượng; lợi suất thực hiện vẫn có thể lớn hoặc nhỏ hơn nhiều.

Trong nghiên cứu chiến lược, hãy xác định thời điểm tín hiệu, thời điểm đặt lệnh, công cụ, quy tắc mức độ tiếp xúc và điểm thoát trước khi kiểm định. Chỉ ước lượng lại tham số MIDAS bằng thông tin có sẵn ở từng thời điểm dự báo lịch sử. Đánh giá dự báo so với chuẩn được xác định trước và hàm mất mát phù hợp mục tiêu, sau đó mô phỏng riêng lợi suất sau chênh lệch giá, phí, chi phí vốn, vay mượn, tác động thị trường và vòng quay. Dự báo phương sai có thể tốt hơn về thống kê mà không cải thiện lợi suất sau chi phí.

Hãy báo cáo mục tiêu và cách lấy mẫu; định nghĩa, đơn vị biến dự báo; hai tần suất; thời điểm dự báo; số độ trễ; hàm trọng số và ràng buộc; cửa sổ ước lượng và lịch cập nhật; cách xử lý dữ liệu thiếu và phiên bản dữ liệu; hàm mất mát, chuẩn so sánh và ngày kiểm định theo thời gian. Trình bày độ bất định dự báo hoặc độ nhạy với hồ sơ độ trễ khi các lựa chọn này ảnh hưởng đáng kể. Xem thêm hướng dẫn về biến động thực hiện, cụm biến động và GARCH, và so sánh độ chính xác dự báo.

Các nguồn sơ cấp gồm nghiên cứu dự báo biến động MIDAS của Ghysels, Santa-Clara và Valkanov \(DOI\), tổng quan phương pháp và các mở rộng của Ghysels, Sinko và Valkanov \(DOI\), cùng phân tích mô hình hồi quy tần suất hỗn hợp của Andreou, Ghysels và Kourtellos \(DOI\). Kết quả thực nghiệm của họ gắn với mẫu và thiết kế đã nghiên cứu, không bảo đảm hiệu quả ở thị trường hiện tại hoặc nhóm tài sản khác.