Giải thích phương trình tiến và lùi Kolmogorov

Một quá trình Markov dùng toán tử chuyển tiếp P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] để ánh xạ một hàm tương lai ngược về trạng thái hiện tại

Quan hệ Chapman–Kolmogorov P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} nói rằng chèn một thời điểm trung gian không làm thay đổi chuyển tiếp

Phương trình tiến và lùi là các góc nhìn vi phân của cùng một bán nhóm hoặc họ tiến hóa hai tham số

Với dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t, generator là L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ với a = σ²

Nó tác động lên các hàm kiểm tra của trạng thái và tóm tắt thay đổi có điều kiện tức thời của chúng

Generator phụ thuộc vào quá trình, không gian trạng thái, miền và hành vi ở biên; riêng biểu thức vi phân hình thức là chưa đầy đủ

Với hàm cuối g, định nghĩa u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] với s ≤ t

Dưới các điều kiện chính quy phù hợp, u thỏa mãn ∂_s u + L_su = 0 và điều kiện cuối u(t,x) = g(x)

Nó là phương trình lùi vì hàm ở điểm cuối được cố định còn thời điểm điều kiện s tiến về hiện tại

Toán tử liên hợp L_t† được định nghĩa qua ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx sau khi xử lý các số hạng biên

Với một khuếch tán một chiều, L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)

Toán tử liên hợp chuyển generator từ các hàm kiểm tra sang mật độ, đảo chiều các đạo hàm ở nơi phép tích phân từng phần yêu cầu

Nếu ρ(t,x) là mật độ trạng thái, nó thỏa mãn ∂_tρ = L_t†ρ từ phân phối ban đầu

Cùng phương trình áp dụng cho mật độ chuyển tiếp tiến hóa biến đích trong khi giữ cố định điểm bắt đầu

Chuẩn hóa, tính không âm, thông lượng và điều kiện biên quyết định một nghiệm hình thức có phải luật xác suất hợp lệ hay không

Định giá phái sinh thường giải phương trình lùi từ payoff cuối, trong đó chiết khấu thêm một số hạng hủy

Dự báo phân phối, hồ sơ phơi nhiễm, hiệu chỉnh mật độ và một số phép tính rủi ro giải phương trình tiến từ luật trạng thái hôm nay

Hai đầu ra phải nhất quán qua phép tích phân: giá trị lùi bằng payoff tương lai tích phân theo mật độ chuyển tiếp tiến

Biên hấp thụ, phản xạ, đi vào và không thể tiếp cận áp đặt các điều kiện giá trị và thông lượng xác suất khác nhau

Hãy kiểm tra bảo toàn hoặc mất khối lượng theo chủ đích, tính dương, dữ liệu cuối và đầu, rời rạc hóa liên hợp và hội tụ khi lưới mở rộng

Một ước tính Monte Carlo được triển khai độc lập có thể phát hiện lỗi dấu, drift, biên và hướng thời gian trong một trong hai bộ giải PDE