Ước lượng hiệp phương sai Hayashi–Yoshida: Giá không đồng bộ

Hai tài sản có thể cùng giờ giao dịch nhưng giao dịch vào những thời điểm khác nhau. Cổ phiếu thanh khoản cao có thể khớp lệnh liên tục, trong khi cổ phiếu ít sôi động không có giao dịch hay báo giá mới. Vì vậy, các biến động giá quan sát được nằm trên những lưới thời gian khác nhau. Ta có thể muốn đo mức đồng biến động của hai tài sản, nhưng không nhất thiết có một cặp lợi suất quan sát nào bao trùm cùng một khoảng thời gian.

Một cách phổ biến là đưa cả hai chuỗi lên một lưới thời gian đều bằng cách giữ giá quan sát gần nhất. Cách này tạo ra các cột lợi suất đã căn chỉnh, nhưng giá cũ được giữ lại không phải là quan sát độc lập mới về giá tiềm ẩn. Các lợi suất bằng không lặp lại và những biến động bù trễ có thể làm sai lệch phép đo đồng biến động. Epps ghi nhận tương quan lợi suất cổ phiếu quan sát được có thể giảm khi khoảng đo ngắn hơn; quan sát không đồng bộ là một cơ chế quan trọng bên cạnh các ảnh hưởng khác từ dữ liệu thị trường. Mẫu hình ở khoảng ngắn này thường được gọi là hiệu ứng Epps (Epps, 1979).

Hayashi và Yoshida đề xuất một ước lượng sử dụng trực tiếp các gia số không đồng bộ thay vì chọn quy tắc nội suy trước. Nghiên cứu ban đầu chứng minh tính nhất quán cho giá theo mô hình khuếch tán trong các điều kiện lấy mẫu tần suất cao (Hayashi & Yoshida, 2005); công trình sau suy ra tính chuẩn tiệm cận dưới một sơ đồ lấy mẫu không đồng bộ tổng quát (Hayashi & Yoshida, 2008). Ý tưởng chính dễ diễn đạt nhưng dễ dùng sai: ghép các gia số theo khoảng thời gian chồng lấp, không chỉ theo dấu thời gian gần nhau.

Gọi \(X_t\) và \(Y_t\) là log giá hiệu quả tiềm ẩn của hai tài sản trên khoảng chung \([0,T]\). Trong mô hình khuếch tán liên tục đơn giản,

\[ dX_t=\mu^X_t\,dt+\sigma^X_t\,dW^X_t,\qquad dY_t=\mu^Y_t\,dt+\sigma^Y_t\,dW^Y_t, \]

với tương quan Brown tức thời \(d[W^X,W^Y]_t=\rho_t\,dt\). Đại lượng mục tiêu là hiệp phương sai tích phân

\[ [X,Y]_T=\int_0^T \sigma^X_t\sigma^Y_t\rho_t\,dt. \]

Đây là đại lượng tích lũy theo đường đi trong cửa sổ quan sát đã chọn. Nó không phải hiệp phương sai giữa hai mức giá tĩnh và cũng không tự động là tương quan. Đơn vị của nó là tích hai đơn vị lợi suất: nếu log lợi suất được biểu diễn bằng điểm phần trăm thì ước lượng có đơn vị điểm phần trăm bình phương. Hướng dẫn tính biến động hiện thực hóa trình bày thước đo một chuỗi dựa trên lợi suất bình phương; hướng dẫn biến thiên bậc hai giải thích đại lượng theo đường đi mà hiệp phương sai hiện thực hóa đa biến mở rộng.

Đại lượng mục tiêu có thể dương hoặc âm. Hiệp phương sai tích phân dương nghĩa là các tích chéo của gia số cùng dấu trong cửa sổ thường chiếm ưu thế; giá trị âm nghĩa là các tích trái dấu chiếm ưu thế. Dấu của nó không chứng minh lý do tài sản cùng biến động, quan hệ nhân quả hay lợi nhuận của một quy tắc danh mục.

Để tính hiệp phương sai hiện thực hóa thông thường, nhà phân tích có thể chọn các mốc thời gian đều và dùng giá mới nhất sẵn có cho mỗi tài sản. Cách làm thuận tiện này khiến kết quả phụ thuộc vào bước lưới và quy ước nội suy. Khi giá đã cũ, một số mốc lưới lặp lại cùng báo giá. Lần cập nhật sau đó có thể trông như một lợi suất bao trùm khoảng dài hơn lợi suất ghép cặp của tài sản kia.

Điều này có thể chuyển hiệp phương sai đồng thời sang các thành phần dẫn trước–trễ giả tạo hoặc làm nó co về không khi lưới dày hơn. Kết quả thực nghiệm ban đầu của Epps mô tả mức đồng biến động quan sát được thay đổi ở khoảng đo ngắn; các nghiên cứu sau suy ra độ chệch của hiệp phương sai theo giá gần nhất khi lấy mẫu không đồng bộ và giá quan sát có nhiễu. Vì thế, tương quan giảm ở tần suất cao là dấu hiệu cần xem xét, không phải bằng chứng rằng thời điểm không đồng bộ là nguyên nhân duy nhất.

HY tránh một lựa chọn đồng bộ cụ thể bằng cách giữ nguyên khoảng thời gian của từng lợi suất. Tuy nhiên, dấu thời gian vẫn phải đáng tin cậy: hai tài sản cần dùng đồng hồ chung, ranh giới phiên chính xác và quy tắc rõ ràng về đầu cuối của khoảng phân tích. Phương pháp cũng không sửa được giá giao dịch nhiễu, báo giá lỗi hay mục tiêu trộn các phiên giao dịch khác nhau.

Giả sử tài sản \(X\) được quan sát tại \(0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T\), còn \(Y\) tại \(0=s_0<s_1<\cdots<s_m=T\). Các gia số log lợi suất quan sát được là

\[ \Delta X_i=X_{t_i}-X_{t_{i-1}},\qquad \Delta Y_j=Y_{s_j}-Y_{s_{j-1}}. \]

Gán cho mỗi gia số các khoảng \(I_i=(t_{i-1},t_i]\) và \(J_j=(s_{j-1},s_j]\). Ước lượng HY là

\[ \widehat{[X,Y]}^{HY}_T =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \Delta X_i\,\Delta Y_j\, \mathbf{1}\{|I_i\cap J_j|>0\}. \]

Hàm chỉ báo đưa tích chéo vào tổng nếu hai khoảng lợi suất chồng lấp trong một khoảng thời gian dương. Chỉ chung một điểm cuối chính xác thì không đủ. Một gia số có thể chồng lấp với nhiều gia số của tài sản kia; mỗi tích của một cặp như vậy được tính một lần. Quy trình không giữ giá cũ về sau hay chia một lợi suất thành các đoạn con tưởng tượng.

Trong mô hình khuếch tán liên tục cổ điển, nếu khoảng quan sát đủ dày và điều kiện lấy mẫu phù hợp, tổng sẽ hội tụ về hiệp phương sai tích phân khi độ dài khoảng lớn nhất giảm. Kết quả này dành cho quan sát không đồng bộ và giả định giá quan sát không bị nhiễu vi cấu trúc thường gặp trong dữ liệu tick thô.

<!-- learn:illustration -->

Giả sử hai tài sản được quan sát trong cùng một phiên dài năm đơn vị thời gian. Bảng ghi log lợi suất giả định theo điểm phần trăm và khoảng mà mỗi lợi suất bao trùm. Thời điểm quan sát được xếp lệch nhau nên các điểm cuối không đồng nhất.

Chẳng hạn, khoảng \(X\) đầu tiên chồng lấp với khoảng \(Y\) đầu tiên từ 0 đến 1.0 và với khoảng thứ hai từ 1.0 đến 1.8, nên cả hai tích chéo đều được tính. Gia số \(X\) kế tiếp chồng lấp với gia số \(Y\) thứ hai từ 1.8 đến 2.4 và thứ ba từ 2.4 đến 3.2. Hai phần chồng lấp cuối của \(X\) đóng góp \(0.02-0.01\ \mathrm{pp}^2\). Tổng sáu tích được đưa vào là

\[ \widehat{[X,Y]}^{HY}_T =0.12+0.20+0.10-0.04+0.02-0.01 =0.39\ \mathrm{pp}^2. \]

Một điểm phần trăm bằng \(0.01\) theo đơn vị lợi suất thập phân, vì vậy \(0.39\ \mathrm{pp}^2=3.9\times10^{-5}\) theo đơn vị log lợi suất thập phân bình phương. Các đầu vào được tạo ra chỉ để phép tính có thể kiểm tra lại. Kết quả là ước lượng hiệp phương sai tích lũy của cửa sổ này, không phải lợi suất 0,39%, tương quan hay dữ liệu thị trường thực tế.

Tổng dương trong ví dụ cho biết các tích cùng dấu nhiều hơn các tích âm. Điều đó không có nghĩa mỗi tài sản tăng 0,39% hay 39% biến động của chúng là chung. Hiệp phương sai thay đổi theo đơn vị lợi suất, độ dài cửa sổ và mức độ giao dịch; con số lớn hơn có thể phản ánh đơn vị hoặc thời hạn khác chứ không phải quan hệ phụ thuộc chuẩn hóa mạnh hơn.

Tương quan không có đơn vị và cần chuẩn hóa bằng ước lượng biến động. Tỷ số đơn giản tạo từ các phương sai được ước lượng riêng trên dữ liệu lấy mẫu khác nhau không tự động là tương quan hợp lệ; ở mẫu hữu hạn, nó còn có thể nằm ngoài \([-1,1]\). Chỉ hiệp phương sai tích phân không thể phân biệt tin tức chung, điều chỉnh giá trễ, mức phơi nhiễm chung và các cơ chế khác.

Khi áp dụng cho danh mục, hãy nêu trọng số tài sản, khoảng thời gian, đơn vị lợi suất và quy ước hiệp phương sai. Đừng xem ước lượng HY dương là tín hiệu mua hoặc ước lượng âm là chỉ dẫn phòng hộ. Hướng dẫn tương quan cặp ngoại hối giải thích vì sao cần diễn giải thận trọng tương quan và mức phơi nhiễm chung. Một thước đo hiện thực hóa mô tả cửa sổ dữ liệu quá khứ đã chọn; nó không dự báo lợi suất kế tiếp hay bảo đảm phòng hộ sẽ bù lỗ.

Ước lượng cổ điển được phát triển cho giá dạng khuếch tán được quan sát rời rạc, không đồng bộ. Xấp xỉ thực tế cần khoảng trống lớn nhất trong mỗi chuỗi nhỏ so với cửa sổ phân tích. Những khoảng dài không có giao dịch bao trùm nhiều biến động có thể xảy ra; vẫn tính được công thức, nhưng xấp xỉ lấy mẫu dày có thể yếu.

Giá giao dịch quan sát thường có dao động bid–ask, bước giá rời rạc, báo giá cũ, độ trễ và các sai số đo khác. Quy tắc chồng lấp của HY giải quyết lệch thời gian, không loại bỏ sai số giá. Griffin và Oomen nghiên cứu hiệp phương sai hiện thực hóa, hiệu chỉnh dẫn trước–trễ và HY khi lấy mẫu không đồng bộ có nhiễu vi cấu trúc độc lập; hiệu quả hữu hạn mẫu tương đối phụ thuộc vào nhiễu và điều kiện tương quan (Griffin & Oomen, 2011). Do đó, không nên mô tả HY thông thường là bền vững trước mọi loại nhiễu.

Cần xác định một khoảng chung hợp lý. Nếu một thị trường đóng cửa sớm hơn thị trường kia, cùng một khoảng lịch có thể ghép những giai đoạn giao dịch thực tế không trùng nhau. Chuyển múi giờ, đổi giờ mùa hè, giao dịch đấu giá, sự kiện doanh nghiệp, khoảng dữ liệu thiếu và lọc ngoại lệ đều có thể thay đổi tập khoảng chồng lấp. Hãy ghi lại các lựa chọn đó thay vì xem dấu thời gian như chi tiết phụ.

Ước lượng điểm không phải khoảng tin cậy. Hayashi và Yoshida đã chứng minh tính chuẩn tiệm cận với sơ đồ lấy mẫu không đồng bộ tổng quát, nhưng sai số chuẩn trong ứng dụng vẫn cần ước lượng phương sai khả thi cùng giả định phù hợp với thiết kế lấy mẫu. Khi quan sát thưa hoặc rất không đều, độ bất định có thể lớn dù tổng khoảng chồng lấp trông ổn định.

Với giá tần suất cao nhiễu, hãy dùng phương pháp được thiết kế cho cả nhiễu lẫn tính không đồng bộ, hoặc giải thích căn cứ của quy tắc lấy mẫu và tiền xử lý. Christensen, Kinnebrock và Podolskij phát triển các ước lượng hiệp phương sai lấy trung bình trước cho mô hình khuếch tán có nhiễu và dữ liệu không đồng bộ, gồm một ước lượng kiểu HY trên dữ liệu đã trung bình trước mà không cần căn chỉnh giá thô trước (Christensen et al., 2010). Các nhân hiện thực hóa đa biến của Barndorff-Nielsen và cộng sự nhằm ước lượng hiệp phương sai khi có nhiễu và giao dịch không đồng bộ, đồng thời được xây dựng để tạo ma trận nửa xác định dương (Barndorff-Nielsen et al., 2011). Xem thêm hướng dẫn ước lượng nhân hiện thực hóa.

Tính chất ma trận này quan trọng khi bộ tối ưu danh mục hoặc hệ thống rủi ro cần một ma trận hiệp phương sai nhất quán. Các ước lượng HY theo từng cặp, tính trên các tập khoảng chồng lấp khác nhau, không tự bảo đảm ma trận ghép lại là nửa xác định dương. Đừng âm thầm “sửa” ma trận bằng cách đổi trị riêng: hãy báo cáo phép chiếu, co rút hay ước lượng thay thế như một bước mô hình hóa riêng. Phương pháp bền vững với nhiễu cũng có tham số điều chỉnh và giả định.

Báo cáo nên nêu hai chuỗi giá, dữ liệu là giao dịch, báo giá hay giá giữa, đồng hồ và phiên chung, đầu cuối của \([0,T]\), cách biến đổi lợi suất, quy tắc chồng lấp, tóm tắt khoảng trống lấy mẫu và ước lượng được dùng. Ghi đơn vị hiệp phương sai và cửa sổ; nêu cách xử lý quan sát cũ, ngoại lệ, bước nhảy, đấu giá và nhiễu vi cấu trúc. Nếu dữ liệu không đồng bộ, hãy cho biết dùng khoảng gốc hay đồng bộ giá trước.

Đừng tự động thường niên hóa hiệp phương sai tích phân. Nếu đổi ước lượng cửa sổ sang tốc độ hay con số năm, hãy nêu giả định tỷ lệ thời gian và cách xử lý ban đêm, ngày thị trường nghỉ. Nếu ước lượng tương quan, nêu các ước lượng phương sai ở mẫu số và kiểm tra ràng buộc ma trận. Những lựa chọn này ảnh hưởng đến cách diễn giải cũng như công thức chồng lấp.

Ước lượng Hayashi–Yoshida hữu ích vì cho phép cộng các tích chéo từ những khoảng không đồng bộ theo cách trực tiếp, có thể tái lập, mà không tạo ra giá đồng bộ tưởng tượng. Bảo đảm cổ điển của nó có điều kiện: mô hình khuếch tán không nhiễu phù hợp và lấy mẫu đủ dày. Phương pháp không chứng minh quan hệ nhân quả, không xử lý nhiễu vi cấu trúc và không hứa hẹn một chiến lược phòng hộ hay giao dịch đáng tin cậy.