Giải thích công thức Feynman–Kac trong định giá quyền chọn

Gọi dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s và định nghĩa toán tử sinh của nó là Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ

Toán tử sinh tóm tắt thay đổi có điều kiện vô cùng nhỏ của các hàm trơn theo trạng thái

Nó nối mô hình đường đi với một phương trình vi phân mà không khẳng định bản thân đường đi không khả vi ở mọi nơi có một đạo hàm thông thường

Xét ∂_t u + Lu - r u + f = 0 với giá trị cuối kỳ u(T,x) = g(x)

Ở đây g là payoff cuối kỳ, r là tỷ lệ loại bỏ hoặc chiết khấu và f là nguồn phát sinh có dấu theo quy ước PDE đã nêu

Vì dữ liệu cuối kỳ đã biết tại T, việc định giá làm việc ngược dù khuếch tán trạng thái tiến triển về phía trước

Theo các điều kiện chính quy và khả tích, u(t,x) bằng kỳ vọng có điều kiện của g(X_T) được chiết khấu cộng với f tích lũy được chiết khấu

Với D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv), biểu diễn là E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]

Áp dụng công thức Itô cho D_{t,s}u(s,X_s) khiến drift của nó bằng âm số hạng nguồn, từ đó cho ra đồng nhất thức sau khi lấy kỳ vọng

Một lãi suất ngắn hạn hằng số cho hệ số quen thuộc e^{-r(T-t)}, nhưng lãi suất phụ thuộc trạng thái cần một tích phân theo đường đi

Cổ tức, coupon, chi phí hoặc số hạng nguồn phát sinh đi vào thông qua tích phân theo thời gian thay vì bị ẩn trong payoff cuối kỳ

Đổi dấu trong PDE làm thay đổi biểu diễn, vì vậy hãy sao chép toán tử, điều kiện cuối kỳ và chiều thời gian như một gói thống nhất

Theo một độ đo định giá hợp lệ, động lực tài sản được giao dịch sau chiết khấu xác định L và giá trị phái sinh giải PDE định giá tương ứng

Đối với một quyền đòi hỏi kiểu châu Âu không có khoản thanh toán phát sinh, giá là kỳ vọng có điều kiện của payoff cuối kỳ được chiết khấu

Black–Scholes là một trường hợp của cầu nối này, không phải định nghĩa của Feynman–Kac và không phải bằng chứng rằng mọi thị trường đều hoàn chỉnh

Sai phân hữu hạn giải phương trình ngược trên một lưới, trong khi Monte Carlo ước tính kỳ vọng của đường đi xuôi

Sự đồng thuận giữa các cách triển khai độc lập là một kiểm tra mạnh đối với dấu, chiết khấu, điều kiện biên và sai số lấy mẫu

Hãy chọn phương pháp PDE cho các bề mặt và biên có số chiều thấp; chọn mô phỏng khi trạng thái hoặc hàm của đường đi khiến lưới trở nên đắt đỏ

Các phát biểu cổ điển yêu cầu điều kiện về hệ số, tốc độ tăng trưởng, tính chính quy, khả tích và tính duy nhất; các phiên bản viscosity yếu hơn mở rộng phạm vi

Thực hiện kiểu Mỹ tạo ra một chướng ngại hoặc bất đẳng thức biến phân, còn các bài toán tài trợ hoặc điều khiển phi tuyến không phù hợp với công thức tuyến tính đơn thuần

Nhảy thay PDE khuếch tán bằng phương trình vi-tích phân, trong khi phụ thuộc đường đi thường cần mở rộng trạng thái hoặc dùng các phương pháp khác