Realized GARCH 說明：聯合建模報酬與實現波動率

ARCH 和 GARCH 模型根據報酬序列推斷變動中的變異數。Engle 提出 ARCH，Bollerslev 隨後發展出它的廣義形式（Engle，1982；Bollerslev，198690063-1)）。報酬只是該時段波動幅度的含噪訊號：收盤到收盤報酬異常偏小，並不代表交易時段平靜；大幅報酬也無法說明價格是沿著什麼路徑變動。日內價格可以提供另一種實現衡量，例如實現變異數，包含更多時段內價格變動的資訊。

Realized GARCH 將這項衡量納入變異數動態。在基本設定中，前一期條件變異數和前一期實現衡量都會影響當期條件變異數的更新。模型也為實現衡量本身建立方程。這項額外方程是關鍵：它描述衡量值與潛在變異數、報酬衝擊之間的關係，而非把它當成未經說明的外部輸入。

原論文指出，在其道瓊工業平均指數成分股和一檔交易所交易指數基金的樣本中，相較於只使用每日報酬的 GARCH，Realized GARCH 的樣本內配適度有所改善。這是特定樣本的結果，不保證模型在每種資產或期間都能提供較佳預測。僅使用報酬的基準模型請參閱 GARCH 指南。

令 rₜ 表示期間 t 的報酬；若模型包含條件平均數，這裡的報酬已扣除該平均數。令 hₜ 表示在期間開始時可取得的資訊 Fₜ₋₁ 條件下，rₜ 的條件變異數；令 xₜ 表示在期間 t 內或期末觀察到的正值實現衡量。例如，xₜ 可以是日內報酬平方總和，單位與 hₜ 相同，都是報酬平方。

時間順序很重要。hₜ 的預測使用期間 t 開始前可取得的資訊；觀察到 rₜ 和 xₜ 後，模型才會更新下一期變異數預測 hₜ₊₁。不能用 xₜ 聲稱自己在期間 t 尚未展開前已經預測了 hₜ。

Realized GARCH 是報酬與波動率代理衡量的動態模型。它不同於 MIDAS 迴歸：MIDAS 使用結構化的落後期權重函數連結不同頻率的資料。兩者都能使用日內資訊，但比較前必須確認各自的方程、預測目標和時間順序。

常見的 Realized GARCH(1,1) 模型包含報酬方程、變異數方程與衡量方程：

\[ rₜ = \sqrt{hₜ}\,zₜ \]

\[ \log hₜ = \omega + \beta\log hₜ₋₁ + \gamma\log xₜ₋₁ \]

\[ \log xₜ = \xi + \phi\log hₜ + \tau(zₜ) + uₜ \]

其中 zₜ 是標準化報酬創新，uₜ 是衡量誤差，τ(zₜ) 允許觀察到的衡量值受報酬衝擊影響。第一個方程以條件標準差縮放單位變異數衝擊。第二個方程使用前一期對數變異數和對數實現衡量來更新當期對數變異數。第三個方程則把觀察到的對數衡量值與當期潛在對數變異數、報酬衝擊及衡量創新連結起來。

對數形式方便在不受限制的對數尺度表示正值 hₜ 與 xₜ；將變異數預測取指數後就會得到正值。因此，截距 ω 是對數變異數方程的截距，本身不是長期變異數。在基本模型中，參數會一起估計，不應把單一係數視為完整的持續性指標。

將 t−1 時點的衡量方程代入變異數更新式，可以看出實現衡量如何回饋到對數變異數：

\[ \log hₜ = (\omega + \gamma\xi) + (\beta + \gamma\phi)\log hₜ₋₁ + \gamma\tau(zₜ₋₁) + \gamma uₜ₋₁ \]

對這個 (1,1) 設定而言，對數變異數的持續性由 β + γφ 概括，而不是只看 β。衡量關係也會參與回饋，因為前一期變異數較高時，實現衡量往往也較高，接著該衡量值會進入下一次更新。這項代數推導有助解讀估計係數，但不等於證明所有 Realized GARCH 延伸設定都符合平穩性；推論仍要使用實際估計規格的限制條件。

Hansen、Huang 和 Shek 在論文中介紹這個聯合模型的線性與對數線性形式，並呈現三方程架構（2012 年論文）。確切的落後期數、實現衡量、條件平均數和創新假設，應以實際估計的規格為準。

衡量方程有助解釋實現衡量為何會同時隨潛在變異數和報酬衝擊變動。一種常見的槓桿函數是：

\[ \tau(zₜ) = \tau₁zₜ + \tau₂(zₜ² - 1) \]

線性項和中心化的二次項可以表達報酬衝擊與實現衡量之間的不對稱關係。係數決定函數形狀；單憑這個公式，不能據此認定負報酬會造成未來波動率上升。

論文的基準設定將 zₜ 和 uₜ 建模為兩種不同創新，zₜ 經過標準化，而且兩者相互獨立。這是便於分析的統計設定，不代表每個樣本的市場報酬或衡量誤差都遵循特定分布。即使沒有把常態性當成事實，估計時仍可使用高斯準最大概似法。

這個方程也讓 Realized GARCH 有別於 GARCH-X。GARCH-X 可以把觀察到的衡量值放進變異數更新式，卻不描述衡量值本身如何演變。Realized GARCH 也為實現衡量建模，因此尚未觀察到未來實現值時，仍能進行多步預測。模型描述的是聯合統計關係，不會讓實現衡量變成外部原因。

假設某個配適後的對數線性模型參數為 ω = −0.7824、β = 0.75、γ = 0.15。在期間 t 結束時，假設目前條件變異數 hₜ = 0.0004，觀察到的實現衡量 xₜ = 0.0009。所有數值都是假設值，且皆為正，使用相同的每日小數報酬變異數單位。

使用變異數方程更新期間 t+1 的預測：

\[ \begin{aligned} \log hₜ₊₁ &= -0.7824 + 0.75\log(0.0004) + 0.15\log(0.0009) \\ &\approx -7.7024 \\ hₜ₊₁ &= \exp(-7.7024) \approx 0.0004517 \end{aligned} \]

對應的條件標準差為 √0.0004517 ≈ 0.02125，也就是所述報酬期間約 2.13%。實現衡量會透過估計出的係數影響下一期變異數預測；這項計算不會重新估計任何係數，也不會透過衡量方程宣稱 xₜ 等於 hₜ。

這個例子只示範計算方式。它沒有納入參數不確定性、估計誤差或樣本外觀察值，因此無法說明統計顯著性，也不能判斷模型是否勝過基準。

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估計時需要對齊報酬與實現衡量的觀察值。概似或準概似會結合報酬方程與衡量方程，因此對創新分布或相依結構的假設不同，估計參數也可能不同。研究者應說明估計方法、創新假設、條件平均數的處理方式、實現衡量及資料清理規則，而非只列出遞迴式卻省略衡量模型。

每個期間結束後，模型可利用新觀察到的報酬與實現衡量更新狀態，並產生下一期變異數預測。進行多步預測時，未來的 x 值尚未觀察到。完整的 Realized GARCH 規格會描述實現衡量的動態，因此預測必須考慮其未來分布或期望，不能直接代入測試樣本中的未來實現值。

評估目標要與預測目標一致，例如下一期條件報酬變異數，或同一期間的實現衡量。目標、代理衡量、單位、預測期和評估日期都要對齊。樣本內概似比較的是模型配適程度，不能取代依時間順序進行的預測測試。

在預測實際可用的時間點保存每次預測；重新配適時只使用當時已知的資訊，並在共同樣本上與事先選定的基準比較。應在查看結果前選擇損失函數，並報告配對損失差與不確定性估計；必要時納入序列相依性。QLIKE 與平方誤差指南說明代理衡量特性與損失選擇如何影響比較結果。

模型的用途取決於它所使用的衡量與時間區間。由日內價格計算的實現衡量可能漏掉隔夜變動，即使 rₜ 是收盤到收盤報酬也一樣。原論文明確容許實現衡量的區間短於報酬區間；衡量方程不要求 xₜ 是 hₜ 的不偏估計。這種彈性不代表區間不一致無關緊要：φ 的解讀、預測目標及任何比較仍取決於時間區間。

論文提供一個具體例子：以約 6.5 個交易小時構造的衡量，可以搭配 24 小時收盤到收盤報酬的條件變異數。在這種設定下，作者預期 φ < 1，因為日內衡量只涵蓋完整報酬區間的一部分。因此，估計出的 φ 與所用衡量、交易時段和報酬定義有關，並不是可以不加調整地套用到其他資產或取樣設計的通用校準常數。

高頻資料也可能帶有買賣價反彈、非同步交易、價格離散、過時報價和記錄錯誤。雙尺度實現波動率指南介紹一種旨在處理部分高頻微觀結構噪音的估計量。Hansen 和 Lunde 記錄了市場微觀結構噪音可能對實現變異數衡量造成重大影響（2006 年論文）。更換代理衡量可能改變模型配適、預測和槓桿估計。

由於對數線性模型會使用 log xₜ，所選衡量必須嚴格為正。如果資料可能為零或負值，任何轉換、篩選或設置下限都會改變模型，應說明理由並揭露處理方式。請檢查實現衡量是否包含跳躍、涵蓋哪個交易時段、如何處理缺漏資料，以及單位是否與報酬變異數一致。增加日內觀察值不會自動消除衡量誤差。

一般 GARCH 使用落後報酬或平方創新，以及落後變異數。Realized GARCH 將實現衡量加入變異數動態，並用與潛在變異數及報酬衝擊相關的方程描述該衡量。GARCH-X 通常把新增衡量當成外部輸入。MIDAS 迴歸使用參數化的跨頻率落後期權重曲線；GARCH-MIDAS 是相關的混合模型，應另外閱讀它的方程。這些名稱不能互換。

在模型假設下，它預測的是定義明確的條件變異數或實現衡量。它不會預測報酬方向、不會證明日內衡量會造成下一期變異數，也不會證明策略能獲利。樣本內概似較佳不代表未來預測一定更好。交易結論需要另行定義訊號，並進行扣除成本後的評估，納入價差、費用、市場衝擊、融資和風險限制。

若要讓報告可重現，請說明資產與樣本、報酬定義與條件平均數、實現衡量的構造與交易時段、模型方程與落後期數、創新假設、估計期間、預測起點與期間、基準、評分損失和不確定性方法。也應報告結果對合理實現衡量選擇的敏感度，並揭露任何資料排除或正值調整。