QLIKE與平方誤差：含雜訊代理變數下的波動率預測評估

波動率模型預測未來報酬可能有多分散，而不會預測報酬將上漲還是下跌。評估前先定義目標，例如以平方基點表示下一日報酬的條件變異數。標準差預測、變異數預測與盤中實現變異數估計彼此相關，但如果沒有說明轉換方式和預測期間，就不能互換使用。

這個問題與模型如何產生預測是兩回事。GARCH指南說明一種根據過去報酬更新條件變異數的方法。本文從兩個或更多模型已產生預測後開始，討論如何以對實際變異數的不完美測量為預測評分。

在目標、評估樣本和損失函數尚未確定前，「最佳預測」沒有單一含義。由於各種損失函數對預測誤差賦予不同成本，同一模型可能在一種損失下排名第一，在另一種損失下排名第二

設 vₜ 為目標報酬無法觀察的條件變異數，hₜ 為使用報酬發生前可用資訊製作的預測，xₜ 則為評估時採用的可觀察代理變數。平方報酬是常見的代理變數，但只有在報酬的條件平均數為零時，它才是變異數的條件不偏代理變數。如果條件平均數不為零，原始報酬平方估計的是條件二階動差，而非條件變異數；也可以先扣除條件平均數，再用去均值後的報酬建立代理變數。由盤中報酬計算的實現變異數可提供較豐富的交易時段波動資訊，但它仍只衡量特定時間區間，也受抽樣方法和價格資料規則影響。

估計並扣除條件平均值，不會自動消除代理變數偏誤。若 mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁]、hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁)，且估計平均值 m̂ₜ 根據預測起點可用的資訊決定，則 E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)²。因此，可預測的平均值估計誤差會為代理變數增加一個非負項。在引用條件不偏結果前，應說明平均值如何估計，以及代理變數的目標是變異數還是二階矩。

xₜ 與 hₜ 必須使用相同的資產、報酬定義、時間區間、預測期間和單位。如果 xₜ 以 bp² 衡量，hₜ 也必須是 bp²；平方誤差損失的單位則是 bp⁴。除非這正是設定的目標，否則不要用省略隔夜區間的實現指標評估收盤至收盤的日條件變異數預測。

請保留相同預測起點的代理變數值和所有模型預測。如果某個模型在特定日期缺少預測，應事先訂好共同樣本或有理據的缺失資料處理規則。比較不同日期的平均值，可能會把模型表現與各模型面對的市場狀況差異混在一起

對於非負的變異數代理變數 xₜ 和正的變異數預測 hₜ，平方誤差損失為

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

QLIKE損失為

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

分數越低越好。當 xₜ 嚴格大於零時，QLIKE也常寫成等價的比率形式：xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1。兩個公式只相差一個取決於觀測代理變數、但不取決於預測的項目，所以在共同樣本上會得到相同排序。只要 hₜ 為正，log(hₜ) 形式在 xₜ 為零時仍有定義。Patton定義了這些變異數損失，並研究它們在不完美代理變數下的表現（Patton，2011）。

QLIKE對應高斯準概似所隱含的變異數預測評分（Hansen與Lunde，2005）。這種關聯不能證明報酬服從高斯分布，分數較低也不能驗證模型的分布假設。平方誤差則衡量代理變數和預測之間絕對差距的平方。重點是選擇符合比較目標與代理變數假設的評分規則

平方誤差的單位是變異數單位的平方；代理值與預測差距愈大，分數上升得愈快。因此，少數極大的代理值可能主導平均分。如果較大的變異數絕對誤差應該受到更重懲罰，這種做法可能適合，但結果也會較受極端觀測影響。

將 xₜ 和 hₜ 同時乘以相同的正單位換算常數 c，會使 log(hₜ) + xₜ/hₜ 增加 log(c)。對於在同一代理變數樣本上評分的所有預測，這個增量都相同，因此排名不變；但對數項的絕對值取決於所選單位。QLIKE透過 xₜ/hₜ 反映預測相對代理值的比率，並透過 log(hₜ) 反映 hₜ 的尺度。如果預測遠低於一個很大的代理值，比率項會快速上升；預測過高也會隨 log(hₜ) 增加而付出代價，但對比例誤差相近的情況，上升較慢。QLIKE並非抗離群值的損失：極大的代理值仍會推高 xₜ/hₜ。

沒有一種損失適用所有決策。平方誤差較著重變異數單位下較大的絕對誤差，QLIKE則以不同方式評估相對誤差。Patton關於代理變數排名穩健性的結果，不代表兩種損失會為模型排出相同排名，也不代表它們不受離群值影響

假設觀測到的變異數代理變數為 x = [1, 4] bp²。模型A預測 hᴬ = [1, 1] bp²，模型B預測 hᴮ = [4, 2] bp²。以下是為展示損失選擇如何改變排名而設定的假設數值。

MSE較偏好模型A：其平均分為4.5 bp⁴，低於模型B的6.5 bp⁴。QLIKE則較偏好模型B：其平均分約為2.165，低於A的2.5。這兩個期間只用來示範計算，數量太少，不足以估計不確定性或證明某個預測較佳，也不能說明任何交易策略的表現 <!-- learn:illustration -->

波動率代理變數可以含有雜訊，但仍條件不偏。設 E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ，其中 Fₜ₋₁ 是作出預測時可用的資訊。根據這些資訊建立的預測 hₜ，其平方誤差損失的條件期望為

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

變異數項不取決於正在評估哪個預測，因此會以相同幅度增加所有預測的期望MSE，並在比較期望損失時互相抵銷。對QLIKE而言，條件不偏會得出

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

這與用潛在變異數取代代理變數時得到的分數相同。在這些條件下，兩種損失各自都會保留競爭變異數預測相對於潛在目標的期望排名。Patton（2011）將此稱為代理變數雜訊下的排名穩健性；意思是雜訊不會改變期望排名，並非抵抗離群值。

這項結果假設條件資訊集相同、代理變數條件不偏、QLIKE所用預測為正，而且期望損失有限。它不表示MSE和QLIKE會為模型排出相同次序。如前面的兩期範例所示，兩種損失使用相同的含雜訊觀測值，但會以不同方式評估預測誤差

期望排名不變，不保證每個觀測樣本的排名都和使用潛在變異數時相同。代理變數雜訊會增加觀測損失的變動，也可能降低預測比較的檢定力。評估期間較短時，即使條件不偏在平均意義上成立，少數偶然偏高或偏低的代理值仍可能改變模型排名。

如果代理變數相對於指定目標有條件偏差，這項保證也會失效。高頻實現變異數可能受買賣報價跳動、過時或不同步的報價、抽樣頻率，以及遺漏隔夜報酬影響。以盤中積分變異數為目標的代理變數，未必是收盤至收盤條件變異數的不偏測量。實現波動率計算指南介紹指標建構的選擇；雙尺度實現波動率指南介紹一種旨在處理部分高頻市場微結構雜訊的估計量。Hansen與Lunde（2006）討論市場微結構雜訊對實現變異數測量的影響。

此處的「穩健」有狹義含義：代理變數條件不偏時，期望排名會保留。它不代表樣本分數會忽略離群值、每種實現波動率測量都不偏，或目標不相符時比較仍然可靠。請說明代理變數測量什麼，以及它在什麼假設下與 vₜ 相連

對於在同一預測起點確定的兩個預測 hᴬₜ 和 hᴮₜ，期望 MSE 差為 E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)²。在相同的代理變數條件下，期望 QLIKE 差為 log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ。這些式子說明代理變數排名穩健性消除的是什麼：代理變數期望評分中的額外雜訊。兩種預測比較仍然不同，因為 MSE 和 QLIKE 對誤差賦予不同代價。

選定分數後，請在每個共同預測起點計算配對損失差。設 dₜ = L_A,ₜ − L_B,ₜ，平均值為正代表B的損失較低。Diebold–Mariano檢定利用配對差值的時間序列，評估其期望值是否為零。它不會替你選擇QLIKE或MSE，也不會決定應該關注哪個目標。Diebold–Mariano指南介紹較一般的推論架構。

若多期預測期間重疊，或分數差因其他原因存在序列相關，請使用能考慮相依性的標準誤，例如合適的HAC估計。Newey與West（1987）提出正半定的HAC共變異數估計量。請報告預測期間、評估起點、損失差的正負方向、共變異數方法，以及適用時的核函數和頻寬。檢定得到較低的p值，並不能補救代理變數有偏或與目標不相符的問題

採用按時間排序的樣本外設計，並保存每個模型在各個預測起點實際會產生的預測。在查看哪個模型分數較佳之前，先固定目標、代理變數建構方法、預測期間、單位、共同樣本和損失函數。記錄估計視窗、重新估計規則、缺失觀測處理方式，以及評估期間是否被反覆用來調整模型。如果同時比較MSE和QLIKE但只報告勝者，請揭露這項選擇，不要把結果描述成唯一且預先指定的檢定。

報告各模型的平均損失、配對差值、樣本數、代理變數定義和推論方法。QLIKE要求 hₜ > 0；如要為預測設定下限，應在評估前確定，因為下限可能改變分數。檢查結果對合理的代理變數和抽樣選擇是否敏感，同時指出嘗試多種選擇本身也會造成結果挑選問題。

較低的波動率損失只代表在指定評分和代理變數下的表現。它不能證明預測因子造成波動率變化、報酬服從常態分布，或使用該預測的策略在扣除價差、費用、滑價、融資成本並考慮風險限制後仍會獲利。預測能力和交易結果是兩項不同主張，應分開評估