HAR-RV 模型解析：日、週、月波動率預測

已實現波動率異質自迴歸模型通常簡稱 HAR-RV。它利用近期已實現波動率指標在不同期間的彙總值，預測未來的已實現波動率指標。常見的日頻設定使用一個已完成交易日、五個交易日的平均值，以及 22 個交易日的平均值。這些視窗是迴歸的輸入；預測下一個交易日的 HAR-RV 仍然是一天期預測。

HAR-RV 是說明已實現波動率持續性的透明基準。其加法結構方便用線性迴歸估計，也方便與依據報酬的模型（例如 GARCH）比較。這是預測規格，並非決定何時進場、部位多大或資產是否值得投資的規則。

Corsi 的原始論文將其描述為不同時間尺度波動率成分的加法級聯。市場參與者有不同時間跨度，是這個設計的動機；但迴歸不會識別個別交易者，也不能證明特定投資人群體造成觀察到的持續性。應將日、週、月項目視為過去波動率的統計彙總。

對於已完成的交易時段 \(t\)，一種常見的已實現變異數指標是將日內報酬平方後加總：

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

其中 \(r_{t,i}\) 是第 \(i\) 個日內區間的報酬，\(M\) 是納入計算的區間數。加總結果的單位是報酬平方。 本指南有意在所有 HAR 項與預測範例中都使用報酬平方尺度上的已實現變異數。Corsi（2009）的原始 HAR-RV 則使用平方根尺度上的已實現波動率指標。兩種慣例彼此相關，但不可在同一個迴歸中混用。每日、每週、每月輸入以及預測目標必須維持相同尺度。 已實現波動率計算指南說明相關測量選擇。

取樣間隔、價格來源、市場時段及隔夜報酬的處理方式，共同決定 \(RV_t\) 衡量的內容。例如，只加總正常交易時段的日內報酬，並不會自動包括收盤至開盤的變動。日內樣本也可能受到報價雜訊和其他市場微結構特徵影響。Hansen 和 Lunde（2006）研究市場微結構雜訊對已實現變異數測量的影響。Andersen、Bollerslev、Diebold 和 Labys 探討高頻觀察值、已實現波動率與較低頻率報酬變動之間的關係；他們的架構並不表示各種取樣規則可以互換。

歷史資料、預測變數和預測目標應採用一致定義。將五分鐘報酬改成一分鐘報酬，或將正常交易時段改為收盤到收盤資料，都可能改變所得序列。這不只是格式差異：估計係數和受評估的預測也可能跟著改變。

令 \(RV_t^{(d)}=RV_t\) 代表日指標。一種常見作法是用最近五個已完成日值的平均構成週成分，用最近 22 個值的平均構成月成分：

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

除以窗口長度後，會得到該期間的日平均已實現變異數。若改用加總，代表整個窗口累積的已實現變異數。明確定義的獨立模型可以採用任何一種慣例，但公式、目標和單位必須一致。

這些窗口彼此重疊。最新日值也包含在週、月平均內，週窗口中的觀察值也落在月窗口內。因此，預測變數彙整的是同一段歷史中彼此相關的部分，而非獨立測量；也不應將三個係數解讀為三個分開期限的因果效果。

五個和 22 個觀察值通常是指交易時段，而非日曆週和日曆月。市場假日、缺漏時段，或不同的期貨交易日曆都需要明確規則。比較不同資產的估計結果前，應記錄觀察日曆及不完整窗口的處理方式。

基本的一步日頻 HAR-RV 迴歸式如下：

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

左側是下一個已完成交易時段的已實現變異數。每個預測變數在時段 \(t\) 結束時都已知。截距 \(\beta_0\) 及係數 \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\) 由歷史觀察值估計；\(\varepsilon_{t+1}\) 是使用預測變數後仍留下的迴歸誤差。

普通最小平方法會選取使指定目標的樣本內預測誤差平方和最小的係數，因此能建立精簡的線性基準，不必為每一個日滯後值單獨估計係數。Corsi（2009）提出 HAR-RV 結構，並報告該文資料與規格的預測結果。這些結果不能保證其他資產、時期或已實現波動率指標也有相同係數或準確度。

不同論文的符號各異。部分 HAR 規格會使用對數、其他已實現波動率估計值、額外滯後值或不同窗口。請說明所選目標及轉換，而不要假設名稱含有「HAR」的模型都採用同一方程。

估計係數後，代入最新的日、週、月數值，計算下一個時段的點預測。未來迴歸誤差在預測時尚未知，因此不放進預測式：

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

假設一個估計截距為 \(0.10\ \mathrm{bp}^2\)，三個估計係數依序是 \(0.50\)、\(0.30\)、\(0.15\)。假設最新日指標為 \(4\ \mathrm{bp}^2\)，五日平均為 \(3\ \mathrm{bp}^2\)，22 日平均為 \(2\ \mathrm{bp}^2\)，則

\[ 0.10 + 0.50(4) + 0.30(3) + 0.15(2) = 3.30\ \mathrm{bp}^2 \]

這是虛構的算術例子，不是市場資料、估計結果或績效主張。它是在指定目標與單位下對下一個時段的預測。開平方後可得到同一時段以基點表示的波動率；年化需要另行說明所採用的慣例。

若要預測整週或整月，不要只是把下一日預測改名。一個選擇是直接估計模型，令左側為未來窗口累積或平均的已實現變異數。另一個選擇是逐步迭代一天期預測，但必須清楚說明如何更新未來日、週、月預測變數。評分前先固定預測期間。 <!-- learn:illustration -->

波動率往往在多個滯後期持續。長期自迴歸可以表示這種依賴，但需要許多參數。HAR-RV 將歷史濃縮成少數重疊平均值，以較少係數重現一些類似長期記憶的經驗模式。

「近似」一詞很重要。Corsi 的論文明確指出 HAR-RV 沒有真正的長期記憶性質，同時展示模擬可以重現與長期記憶金融報酬相關的部分特徵。因此，HAR-RV 是特定模式的實用近似，不會只因資料依賴緩慢衰減就成為分數積分過程。

日、週、月成分也不是對恰好按這些頻率交易之投資人的直接調查。不同時間跨度的概念啟發了級聯結構，但估計迴歸不會識別投資人類型或其意圖，也無法確立因果機制。解讀應限制在觀察到的輸入和預測行為。

大型價格跳躍可能包含單一總變異數指標無法呈現的未來波動率資訊。Corsi、Pirino 和 Reno（2010）以門檻雙冪方法分離連續與不連續變動，並研究跳躍資訊對波動率預測的影響。他們報告的預測改善，尤其是跳躍後的改善，適用於該研究採用的估計量、資料與實證設計。

考慮跳躍的 HAR 規格可分別納入連續成分與跳躍相關指標，或其滯後彙總值。這會帶來新選擇：如何偵測跳躍、如何估計連續成分，以及預測時是否能取得跳躍指標。「連續」和「跳躍」描述的是模型下估計量的成分，不代表分解沒有誤差。

更多項目可能改善某個樣本的預測，也可能在另一個樣本增加估計雜訊。比較跳躍擴展與簡單 HAR-RV 基準時，應使用相同預測時點、期間、目標和資訊集合。不要推論每次跳躍都會預測更高波動率，或擴展模型在所有市場都會勝出。

HAR-RV 係數取決於估計時使用的已實現波動率序列。取樣頻率、交易時段邊界、價格清理和缺漏觀察值都可能改變序列。週、月預測變數是已測量日值的平均，因此也承襲這些選擇。

應區分預測時點和目標區間。如果模型在交易時段收盤時估計，下一時段目標就應與歷史目標採用相同資產、報酬慣例、時段涵蓋範圍及單位。如果指標排除隔夜報酬，未經調整就不要將預測說成完整的收盤至收盤變異數。日曆窗口、重疊的多日期間和不同假日規則都需要獨立定義。

將 HAR-RV 與其他模型比較也有相同問題。GARCH 的日條件變異數預測與 HAR-RV 的已實現變異數預測，必須先對齊目標區間和單位才可比較。MIDAS 迴歸提供連接不同頻率觀察的另一種方式，但仍須界定每個預測時點可使用的資訊。

已實現變異數非負，但不受限制的線性迴歸不會強制係數或預測值非負。某些資料上的普通最小平方法估計可能產生負的樣本外預測。對數規格或受限制估計可以用另一種方式處理正值要求，但會改變模型及係數的意義。預測下限也是建模選擇；應在評估前設定，而不是看到哪個模型勝出後才調整。

在估計樣本以外評估預測，並保存每個預測時點實際可用的數值。讓代理指標、預測目標、期間、時段範圍、單位和共同評估日期相互對齊。說明預測如何估計或更新，並與指定基準比較。如果已實現指標只是有誤差的代理，預期排名取決於代理與目標的關係及損失函數。Patton（2011）說明代理雜訊不會讓每種比較自動可靠。QLIKE 與平方誤差指南討論這些評估假設。

較低的預測損失只代表模型在選定的目標、代理、樣本和損失函數下得分較佳。它無法證明模型造成波動率、日預測是交易訊號，或策略在扣除執行成本和遵守風險限制後可以獲利。