金融事件採樣的 CUSUM 濾波器完整解析

固定時間間隔的採樣，可能讓平靜時段與劇烈波動時段取得相同數量的樣本。事件採樣只留下達到預先設定價格變動條件的時點，讓研究者聚焦在累積移動發生之後的資料。改變樣本的時間軸，不代表已經找到交易機會。

Page 在 1954 年探討持續檢查過程中的累積和方法；金融機器學習使用的 CUSUM 濾波器，則把「持續累積偏差，達到門檻便觸發事件」的概念套用到價格變動。Page 的論文和 《Advances in Financial Machine Learning》第 2 章可作為方法背景。mlfinpy 過濾文件說明如何選出供後續標記或建模使用的事件時點。

過濾器與後續工作必須分開：它決定何時開始觀察；特徵與模型決定使用哪些資訊；標籤規則才描述事件之後的結果。每根 K 線各建立一個預測樣本，和只在事件觸發時建立樣本，代表不同的採樣問題。

令 (P_t) 為時間 (t) 的收盤價，兩個相鄰收盤價之間的對數報酬為：

\[ r_t=\ln(P_t/P_{t-1}). \]

令 (S^+_t) 和 (S^-_t) 分別表示非負的正向累積值，以及非正的負向累積值：

\[ S^+_t=\max(0,S^+_{t-1}+r_t),\qquad S^-_t=\min(0,S^-_{t-1}+r_t). \]

採用對稱門檻 (h>0) 時，本文使用嚴格觸發條件：(S^+_t>h) 或 (S^-_t<-h) 才記錄事件，並將觸發側重設為零。另一側仍依照各自的遞迴式更新；發生事件不表示兩側狀態一律同時歸零。

濾波器通常輸出事件時間戳或觸發事件的收盤資料列。它不是每個事件的方向標籤，也不是價格目標。實作還能支援隨時間變動的 (h_t)；門檻固定或動態都一樣，累積值與門檻必須使用相同的報酬單位。

假設收盤價依序為 100.00、100.20、100.40、100.60、100.40、100.20、100.00，且 (h=0.005) 個對數報酬單位。以下價格只是說明規則的假設例子，並非實際市場行情或成交資料。

前三段正向對數報酬約為 0.001998、0.001994、0.001992。因三段都往同一方向累積，到 100.60 時正向總量為

\[ \ln(100.60/100.00)=0.005982\text{（約 }0.598\%\text{）}. \]

這個數值大於 0.005，因此 100.60 收盤時觸發正向事件，接著將 (S^+) 重設為零。價格之後回跌，向下累積從重設後的狀態開始；從 100.60 回到 100.00 的總對數變化為

\[ \ln(100.00/100.60)=-0.005982. \]

所以 100.00 收盤時觸發負向事件，並重設 (S^-)。此前曾經上漲，不會妨礙回跌後再次形成事件。兩次事件之間有多少根 K 線，取決於實際價格路徑，不是固定間隔。

此處 (r_t) 與 (h) 都是無單位的對數報酬。以百分比表示，0.005 約相當於 0.5% 的連續複利報酬幅度；它不是貨幣價格，也不能直接和其他單位的指標比較。價格變動很小時，對數報酬接近簡單報酬，但兩者並不完全相同。

教學文字有時將觸發條件寫成達到或超過門檻（(\geq h)）；mlfinpy 目前的對稱濾波程式則使用嚴格大於與小於（(S^+>h)、(S^-<-h)）。請同時參考文件和實作程式碼。連續價格剛好落在邊界的情況可能少見，但資料四捨五入後，恰好等於門檻時是否觸發會影響可重現性；研究時應明確選定並固定比較方式。

固定門檻容易理解和重現，但不同波動狀態下的事件密度會改變。動態方案可以依歷史波動尺度調整 (h_t)，例如將歷史報酬波動估計乘上預先選定的常數。估計必須符合因果順序：處理時間 (t) 的報酬時，只能使用當時已取得的資料，並記錄估計視窗、更新頻率與門檻所屬時間。用全樣本估計波動後再回填歷史門檻會洩漏未來資料。動態門檻會讓事件間隔隨尺度變化，但不保證預測未來波動或找到最佳門檻。

(\ln(P_t/P_{t-1})) 要求兩期價格都大於零。遇到零價、負價或不適合對數報酬的序列時，公式沒有定義，或已不再具有原來的解釋。不要只為了讓程式繼續執行，就默默取價格絕對值或任意平移價格；這會改變測量對象。應選擇適合資料的報酬或價格變動定義，並相應調整門檻、說明單位及檢查資料清理規則。

用於事件採樣的價格序列也要定義清楚：交易價、買賣中間價、結算價，還是還原收盤價？不同序列可能產生不同觸發時點。股票分割等造成的機械式跳價、報價缺漏或時間戳錯置，也可能產生不是市場變動訊號的累積值。

資料可以取自每分鐘、每小時或每日收盤價；CUSUM 只在越過門檻的 K 線留下事件，因此相鄰事件的時間間隔通常不規則。事件時間不是等速時鐘：有些時段不會出現事件，也可能在短時間內連續觸發。下游模型若使用時間間隔、波動或持有期間，應明確將間隔納入處理，不能假設每兩個樣本就相隔一個固定交易日。

若 (r_t) 使用收盤價，必須等收盤價形成且可見後，才能計算該根 K 線的報酬和觸發結果。因此以該收盤價偵測訊號，又假設能零延遲地以同一價格成交，並不符合實際時序。回測應依資料可取得的時間安排決策，並用下一個可執行報價或成交價模擬下單；若使用盤中資料，也要說明當時實際可見的價格，以及資料和下單延遲。

門檻較低時，累積路徑較容易觸發，事件數通常增加；這能留下更多小幅移動，也會增加雜訊樣本、手續費和執行負擔。門檻較高時，事件較少，只有較大的移動才會被記下，但小幅或快速反轉可能遭到忽略。調整門檻不只影響樣本數，也會改變事件分布、重疊情況及模型接收的資料，因此不能只挑回測績效最高的門檻，再把它當成事前就定好的設計。

先在訓練期間或研究設計階段決定候選門檻，再以依時間排序的樣本外區間評估事件率、事件間隔和後續任務。如果嘗試過多個門檻、資產和日期區間，應說明篩選過程；只呈現最佳結果會誇大證據。門檻沒有脫離預測目標、市場和資料頻率仍通用的最佳值。

驗證時要保留時間順序，每個訓練折只能用當時已知資料估計動態門檻。若後續標籤會用到多個未來時間點，訓練和測試事件的結果區間可能重疊，應依標籤區間採用剔除重疊樣本或隔離期間的規則。評估模型也要納入買賣價差、手續費、滑價、資金費率、借券費用和實際成交條件；事件愈頻繁，成本愈可能改變淨結果。

價格事件濾波器必須與回歸穩定性檢定區分。回歸 CUSUM 通常累積遞迴殘差，並以統計界限檢驗回歸係數是否穩定；它檢驗的是模型殘差和相關假設，不是本篇以價格對數報酬設定雙側門檻的事件濾波器。延伸閱讀：回歸 CUSUM 結構穩定性檢定指南。

事件濾波器也不會代替三重障礙法建立結果標籤。先由 CUSUM 選出事件開始時點，再依研究者預先訂定的停利、停損與時間期限規則，從之後的價格路徑計算 (y)。請參閱三重障礙法金融事件標記指南。觸發只代表指定的累積變動越過門檻；它不預測方向、不保證平穩性或流動性，也不能證明扣除交易成本後有獲利優勢。