檢定迴歸穩定性與結構變化的 CUSUM 方法

迴歸在全樣本看起來合理，關係仍可能在中途改變。某個期間的正預測誤差和之後的負預測誤差，可能在一般全樣本摘要中互相抵銷。迴歸 CUSUM 保留先後順序：它累積遞迴預測誤差，檢查路徑是否偏離係數穩定時的預期範圍。

Brown、Durbin 和 Evans 使用遞迴殘差發展出一系列迴歸穩定性工具，包括 CUSUM 和平方 CUSUM。這些檢定依據模型假設，評估樣本期間的迴歸關係是否符合維持不變的設定。它們不會說明變化的原因，也不同於工業製程管制中累積相對於另行指定目標平均值之偏差的 CUSUM 規則。

本指南聚焦於 Brown–Durbin–Evans 迴歸 CUSUM。軟體可能以「CUSUM」指稱多種統計量，因此報告應寫明殘差序列、縮放方式、界線和參考分布，不能只依賴名稱。

將迴歸寫成 \(y_t=x_t'\beta+u_t\)。如果模型包含截距，\(x_t\) 也包含截距，而 \(k\) 是係數數量。先用足夠且設計矩陣滿列秩的初始觀測估計模型。後續每筆觀測只用截至 \(t-1\) 的資料擬合迴歸，再預測 \(y_t\)。

若 \(X_{t-1}\) 包含截至前一筆觀測的解釋變數，遞迴殘差為

\[ w_t=\frac{y_t-x_t'\hat\beta_{t-1}}{\sqrt{1+x_t'(X_{t-1}'X_{t-1})^{-1}x_t}},\qquad t=k+1,\ldots,T. \]

分子是一步預測誤差。分母依 \(x_t\) 對應的槓桿值調整預測不確定性，本身並不是市場波動度估計。在固定解釋變數適當、誤差獨立且變異數相等的古典穩定線性模型下，遞迴殘差的平均數為零、彼此不相關，且具有相同的誤差變異數。這些性質是累加殘差的理由，但只用最小平方法估計迴歸並不能保證它們成立。

初始觀測用來估計係數，不是這套遞迴程序產生的一連串樣本外殘差。如果初始設計矩陣接近奇異，後續預測也可能不穩定。請說明初始樣本、解釋變數和轉換方式，因為每項選擇都會改變殘差路徑和檢定問題。

令 \(\hat\sigma\) 表示所選實作使用的尺度估計。直到觀測 \(r\) 的累積路徑可寫成

\[ C_r=\frac{1}{\hat\sigma}\sum_{t=k+1}^{r}w_t. \]

在穩定性虛無假設下，除抽樣變異外，正負創新應大致平衡。將路徑圖與該檢定虛無分布導出的臨界界線比較。越界表示在假設適用的前提下，以選定顯著水準拒絕參數恆定。不同實作的縮放方式和界線建構可能不同，手繪固定帶不能取代相符的臨界值。

路徑方向有助於解讀模式。正遞迴誤差持續出現時，觀測結果一再高於先前的擬合值，總和便會上升。負誤差持續出現則會使它下降。正負誤差交替時，即使單筆殘差不小，路徑也可能留在先前水準附近。因此，CUSUM 同時利用預測誤差的大小和順序。

在其他條件相近時，截距變化較容易產生同方向殘差。斜率變化則可能因 \(x_t\) 所在位置和正負不同，使預測誤差朝不同方向。如果解釋變數在平均值附近波動，單一累積路徑可能抵銷部分誤差，即使斜率確實改變。因此路徑留在界線內，不足以證明所有迴歸係數都沒變；還應檢視遞迴係數路徑、交互作用檢定和檢定力。

假設六個經過尺度調整的遞迴殘差都是 \(+0.4\)，累積增加量為 \(2.4\)。若順序是 \(+0.4,-0.4,+0.4,-0.4,+0.4,-0.4\)，最後總和是零。兩組的殘差絕對值相同，但只有第一組持續朝同一方向。這些加總只用來說明機制，不是臨界值、p 值或真實資產的證據。

平方 CUSUM 累加遞迴殘差的平方，而不是殘差的正負。簡單的累積占比形式為

\[ Q_r=\frac{\sum_{t=k+1}^{r}w_t^2}{\sum_{t=k+1}^{T}w_t^2}. \]

如果誤差過程穩定且變異數相等，累積占比應大致與觀測數成正比成長。大量平方殘差集中出現時，路徑會變陡；平靜期間則會放緩。Brown、Durbin 和 Evans 將它與有符號 CUSUM 一併討論，後續研究也分析了使用普通最小平方法殘差的平方 CUSUM 檢定。

不要把平方殘差路徑視為純粹的波動度檢定，或係數變化的明確替代方法。極端觀測、變異數轉變、條件平均數設定錯誤和迴歸係數變化都可能影響結果。反過來說，即使正負誤差仍平衡，變異數改變也可能使有符號 CUSUM 的參考分布失準。ARCH-LM 檢定更具體地詢問平方殘差是否可預測，但仍無法診斷所有波動模式。

固定日期的 Chow 檢定比較事先指定日期兩側的迴歸係數。迴歸 CUSUM 則檢視依時間排列的遞迴路徑，不需要外部指定一個變化日期。越過界線不會指出某次突變開始的確切時間。緩慢漂移、多次變化、一連串離群值或變異數模型失效，都可能產生不同的路徑模式。

當變化日期未知且目標是正式檢定一次變化，Andrews 提出 supremum Wald、概似比和拉格朗日乘數程序。這些方法會搜尋候選日期，並使用已考量搜尋過程的非標準臨界值。其檢定統計量與臨界值不能和 Brown–Durbin–Evans CUSUM 界線互換。多個變化點需要額外程序與假設。指定日期比較請看 [Chow 檢定指南](/zh-TW/learn/chow-test-structural-break-regression-finance-explained)，更廣泛的搜尋問題請看 Andrews 未知變化點論文。

分析者執行多種診斷時，這個差異很重要。反覆嘗試 CUSUM、平方 CUSUM、候選日期、解釋變數和樣本區間會產生選擇問題。單一事先指定檢定的名目顯著水準，並不代表所有嘗試中至少一次誤報的機率。應在看結果前記錄要檢視的路徑或統計量，或使用有考量搜尋過程的推論方法。

回溯檢定評估固定的歷史樣本。監控規則則在基準期間之後，反覆評估新到資料。每新增一筆觀測就套用一次性界線，並不會自動維持名目誤報率；連續重複判斷有不同的機率結構。

Chu、Stinchcombe 和 White 發展了波動及 CUSUM 程序，用於先以歷史樣本估計穩定關係、再進行即時監控。這些監控界線在論文的漸近條件下考量反覆查看。基準樣本本身必須適用，監控設計也要說明警報後如何處理、何時更新參數及監控期間多長。沒有這些選擇，就不應把歷史迴歸 CUSUM 圖稱為線上程序。

對交易系統而言，警報代表模型關係可能已不再充分符合新資料，穩定性假設值得重新檢查。它可以觸發調查或事先定義的風險審查，但不會指出哪個係數變動、是否應下單，或降低曝險能否提高報酬。若持續監控，也要評估偵測延遲和誤報成本，而不只是統計門檻。

古典遞迴殘差推導假設線性關係設定正確、誤差變異數穩定且誤差沒有序列相關。金融時間序列可能因波動叢聚、厚尾、過時或不同步價格、重疊報酬期間和市場結構變化而違反這些條件。殘差連續同方向可能反映真實係數變化，也可能源於遺漏動態、時間戳錯誤，或改變參考分布的波動事件。

在普通最小平方法擬合後只替換共變異數估計量，不會自動得到有效的 CUSUM 界線。異質變異或相依下的穩健推論需要依這些條件設計的統計量與參考分布。迴歸 CUSUM 圖是穩定性診斷，不能取代殘差相依檢查、條件異質變異檢定或模型規格驗證。相關問題請參閱 [ARCH-LM 波動叢聚檢定指南](/zh-TW/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained)及[穩健標準誤指南](/zh-TW/learn/robust-standard-errors-heteroskedasticity-hac-finance-explained)。

建立殘差前，先決定取樣間隔和市場日曆。跨越長假期的收盤到收盤報酬，不等於一般交易時段的報酬。公司行動、期貨轉倉、貨幣換算和缺失觀測也可能產生看似不穩定的預測誤差。若沒有說明模型中時間 \(t\) 的觀測代表什麼，就不要填補缺口或機械式對齊資產價格。

列出結果變數、解釋變數、截距、轉換、樣本日期、頻率、初始估計期間和遞迴殘差數量。說明殘差是否依遞迴預測變異數縮放，以及 \(\hat\sigma\) 如何估計。指出使用的 CUSUM 或平方 CUSUM 版本、參考分布、臨界水準、界線規則，以及影響結果的軟體預設值。

將路徑或統計量與擬合係數、殘差診斷一併呈現。越界是在所檢驗模型下反對係數恆定的證據，不是經濟原因或特定事件因果效果的估計值。如果目的是預測或交易，使用依時間排序的留出期間，說明警報何時能取得，並計入價差、市場衝擊、手續費、借券、融資與周轉。將應對方式和固定模型基準比較。穩定性警示可以促使檢視模型，但不能證明自適應規則具有優勢。

Brown、Durbin 和 Evans 在1975 年論文介紹遞迴殘差 CUSUM 與平方 CUSUM 穩定性程序。McCabe 和 Harrison 研究了使用普通最小平方法殘差的平方 CUSUM 檢定。未知變化點請看 Andrews（1993），序列監控請看 Chu、Stinchcombe 和 White（1996）。相關指南包括 [OLS 迴歸](/zh-TW/learn/ols-regression-coefficients-assumptions-finance-explained)、[Chow 檢定](/zh-TW/learn/chow-test-structural-break-regression-finance-explained)及[波動叢聚](/zh-TW/learn/volatility-clustering-garch-explained)。