算術平均與幾何平均報酬：平均10%不等於每年成長10%

使用同一投資或組合連續、等長的觀察期間。統一幣別，起始價值為正，並假設沒有外部資金進出。也要註明收益是否再投資，以及報酬是否包含成本。

各期報酬率r以小數表示：40%寫成0.40，虧損20%寫成−0.20。資金應乘以成長因子1 + r，而不是r本身。

算術平均 = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n。它概括觀察到的單期報酬平均值，卻不能直接重現持續投資帳戶的最終餘額。

連續期間應相乘成長因子：累積報酬率 = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1。

全程保持價格報酬與總報酬的標準一致。中途改變分配款的處理方式是另一個問題，不能只靠選擇平均公式來解決。

假設以同一幣別10,000投資完整兩年。第一年報酬為+40%，第二年為−20%。沒有手續費、分配款、追加投入或提款。

若把算術平均10%逐年複利計算，會得到10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100。多出的900並沒有在這個帳戶中出現，而是另一條報酬路徑的結果。

數字是獨立設定的假設算術範例，不是回測、實際投資績效或預測。更換貨幣符號不會改變這些百分比。

• 起始價值：10,000。
• 第一年末：10,000 × 1.40 = 14,000。
• 第二年末：14,000 × 0.80 = 11,200。
• 算術平均：(40% − 20%) ÷ 2 = 每年10%。
• 累積報酬率：11,200 ÷ 10,000 − 1 = 兩年12%。

幾何平均報酬率是能重現實際成長因子的固定單期報酬率g，滿足(1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)。

因此g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1。應對成長因子的乘積求n次方根，而非直接把報酬百分比相乘後開根號。

兩年範例中，g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 每年5.8301%。使用未四捨五入的數值，10,000 × (1 + g)^2 = 11,200。

期間單位為年時，這個幾何平均就等於年複合成長率CAGR。沒有外部資金進出時，CAGR = (期末價值 ÷ 期初價值)^(1/t) − 1，t為經過的年數。

另一個例子中，10,000在五年後變成15,000。累積獲利為50%，但CAGR是(1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%，不是50% ÷ 5 = 10%。

[FINRA的年化報酬說明](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained)也區分複利年化與將累積報酬除以年數的計算。

連續兩年+10%、+10%，與+40%、−20%的算術平均相同。但10,000在前一種情況變成12,100，後一種只到11,200。

成長因子為正時，幾何平均不會高於算術平均；各期報酬完全相同才會相等。這項性質比較同一組觀察值，不是直接替不同基金排名的規則。

兩個平均的差距不是應從餘額額外扣除的手續費。複利終值已包含每期報酬的影響。這也不能證明任何低波動投資都一定勝過另一項投資。

[CFA Institute對兩種平均的討論](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1)解釋複利為何是乘法而非加法。

沒有外部現金流時，調換這兩個固定報酬率的順序不會改變乘積。不過中間路徑與觀察到的回撤仍可能不同。

月度觀察值的幾何平均是月報酬率。如果連續十二個月每月恰好獲得1%，年度成長為(1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%，不是12%。

這個例子指定了全部十二個月。把單一已觀察月份的1%年化，只是假設相同結果重複，不是一整年的實際績效，也不是預測。

若觀察間隔不相等，每次觀察的幾何平均不會自動成為年率。符合期初、期末價值CAGR計算條件時，應用實際經過年數；未滿整年的部分也要說明天數計算標準。

年化數字平滑連接起點與終點。它不表示每年都賺到該比例，也不表示中間沒有大額虧損。

假設同一期間向資產A投入100、向B投入900。A上漲50%，B下跌10%，期末價值分別為150與810，合計960。

組合報酬率為(960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%。使用期初權重也相同：0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%。

將+50%和−10%不加權平均得到+20%，忽略了資金配置。相乘1.50與0.90也不對：這是同時持有的兩項投資，不是同一筆資金的兩個連續期間。

外部存提款也要分開看。追加5,000後餘額從10,000升至15,000，未必代表投資賺了50%。

[GIPS現金流計算原則](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/)區分時間加權績效與反映現金流時點、金額的報酬率。

小額選擇權權利金的獲利百分比，不等於整個帳戶的獲利百分比。交易規模不同、持有期間重疊與閒置現金，都使任意相乘單筆交易報酬率無法代表帳戶成長。

[OIC槓桿說明](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk)解釋權利金為何可能呈現放大的獲利與虧損百分比。

期貨保證金是擔保資金，不是買入整項曝險的價款。改變這個分母，不會讓標的資產產生新的報酬。

[CME保證金說明](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed)介紹了這些資金的功能。

比較交易可參考期貨報酬率的分母；組合複利則應使用一致的整體帳戶估值。納入未平倉部位，並讓每項成本只計入一次。

先確定要回答的是平均觀察值、一項投資的資金成長，還是同時持有的組合績效。三種問題需要不同計算方式。

正成長因子公式假設各期報酬率高於−100%。全數損失後沒有剩餘資金繼續複利。帳戶淨值為負時，應分析現金流和負債，而不是作一般CAGR比較。 [!TRYMARK] TryMark平均報酬查核 下次檢視績效時，以報告的期末價值為查核目標。用附日期的帳戶報酬率重現它；成本、再投資假設或外部現金流改變時，再檢查一次。 [!WARNING] 歷史平均不保證可重複的成長 算術平均與幾何平均都不能確定明年報酬。需要更高獲利或看到平滑的CAGR，都不是增加槓桿的理由。這些例子解釋衡量方法，不是投資建議。

• 記錄日期、期間長度、幣別、期初與期末價值。
• 識別收入、再投資、成本及外部資金進出。
• 年化之前，先用連續成長因子重建期末價值。
• 分別標示算術平均、累積報酬率、單期幾何平均與CAGR。