Gerçekleşen Yarı Varyans: Yukarı ve Aşağı Yönlü Volatiliteyi Ayrı Ölçmek

Sabit bir aralıkta gözlenen gün içi log getiriler \(r_i\) olsun. Gerçekleşen varyans, getirilerin kareleri toplamıdır: \(RV=\sum_i r_i^2\). Kare alma hem kazançları hem kayıpları pozitif yapar ve büyük hareketlere daha fazla ağırlık verir. Bu istatistik aralık boyunca biriken değişimi ölçer, ancak hareketin yukarı mı aşağı mı olduğunu göstermez.

Gerçekleşen yarı varyans, kare almadan önce getirinin işaretini korur. Pozitif bileşen sıfırdan büyük getirilerin karelerini, negatif bileşen sıfırdan küçük getirilerin karelerini toplar. Aynı gözlemler ve tanımlar kullanıldığında iki bileşenin toplamı gerçekleşen varyansa eşittir. Sıfır getiri iki tarafa da katkı sağlamaz. Bu bir hesap özdeşliğidir; iki tarafın ayrı nedensel risk kaynakları olduğunu kanıtlamaz.

Bu ayrım, araştırma sorusu yönlü değişimle ilgiliyse yararlıdır; örneğin geçmiş negatif getiri değişiminin gelecekteki volatilite hakkında geçmiş pozitif getirilerden farklı bilgi taşıyıp taşımadığı incelenebilir. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock ve Shephard gerçekleşen yarı varyansı aşağı yönlü değişimin yüksek frekanslı ölçüsü olarak önerdi. Çalışma makaleleri, ölçünün kuadratik varyasyon ve negatif sıçramalarla ilişkisini geliştirir.

Getiriler \(r_1,\ldots,r_n\) için:

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

burada \(\mathbf{1}(\cdot)\), koşul doğruysa bir, değilse sıfırdır. Böylece

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Bazı çalışmalar farklı etiketler veya üst indisler kullanır. Bu yüzden rapor, hangi terimin pozitif hangisinin negatif getirileri gösterdiğini belirtmelidir. Yukarıdaki formül sıfıra göre merkezlenmemiş getiriler kullanır: örneklem ortalaması, hedef getiri veya risksiz faiz çıkarılmaz. Bir hedefe ya da ortalamaya göre hesaplanan örneklem yarı varyansı farklı bir istatistiktir.

Birimler getiri biriminin karesidir. Getiriler baz puan cinsindeyse bileşenler \(\text{bp}^2\) olur; ondalık log getirilerde birim ondalık getiri karesidir. Yüzde getiriden baz puana geçmek, kareli ölçünün sayısal değerini 10.000 ile çarpar; bu nedenle sayı birimiyle birlikte verilmelidir.

Varsayımsal bir seansta baz puan cinsinden altı getiri bulunduğunu varsayın:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

Pozitif getirilerin katkısı \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\) olur. Negatif getirilerin katkısı \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\) olur. Sıfır getiri katkı yapmaz. Dolayısıyla gerçekleşen varyans

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

Bu küçük örnekte negatif tarafın payı \(21/34\), yaklaşık %61,8; pozitif tarafın payı yaklaşık %38,2’dir. Bunlar uydurulmuş bir toplamın paylarıdır; gelecekte kayıp olasılığı veya istikrarlı uzun dönem asimetrisi tahmini değildir. Altı getiri istatistiksel çıkarım için çok azdır. Hesap yalnızca tanımları doğrular.

Gerçekleşen volatilite rehberi ayrıştırılmamış kare getiri toplamını ele alır. Bipower variation rehberi, seyrek sıçramaların bulunabileceği durumda sürekli değişimi tahmin etme gibi farklı bir soruyu inceler. Yönlü yarı varyans ve sıçramalara dayanıklı değişim birlikte araştırılabilir; biri diğerinin yerini tutmaz.

Gizil log fiyat sürekli bir semimartingale izliyorsa ve ilgili düzenlilik koşulları altında örnekleme giderek sıklaşıyorsa, pozitif ve negatif getiri yarı varyanslarının her biri sürekli kuadratik varyansın yarısına yakınsar. Bu durumda, temel sürekli değişimde kalıcı bir yön ayrımı olmasa bile sonlu örneklemdeki iki toplam farklı olabilir; örnekleme rastlantısallığı önemlidir.

Sıçramalar gerçekleştiğinde sıçrama büyüklüğünün karesi işaretine göre pozitif veya negatif bileşene atanır. Bu, toplam gerçekleşen varyansın attığı bilgiyi korur; ancak her negatif getirinin sıçrama ya da her pozitif getirinin zararsız olduğu anlamına gelmez. Büyük bir sürekli hareket de sıçrama da büyük bir kare getiri oluşturabilir. İşaret, gözlenen artışı sınıflandırır; ekonomik nedenini belirlemez.

Aşağıdaki kavramsal çizim pozitif ve negatif artışları görsel olarak iki gruba ayırır. Bu bir veri grafiği veya test sonucu değildir ve temel süreçte kalıcı yönlü bir yanlılık olduğunu iddia etmez.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Gerçekleşen yarı varyanslar gelecekteki volatilite modelinde ayrı tahmin değişkenleri olabilir. Patton ve Sheppard S&P 500 ve tekil hisseler üzerine çalışmalarında, kendi örneklem ve model tanımlarında geçmiş negatif getiri değişiminin gelecekteki volatiliteyle pozitif getiri değişiminden daha güçlü ilişkili olduğunu buldu. Bu, belirli tasarımlarına ait ampirik bir bulgudur; tüm piyasalar için evrensel bir yasa veya yeni bir stratejinin iyi tahmin yapacağının garantisi değildir.

Tahmin iddiası için hedef ve ufku tanımlayın, uygun bir kıyas modeli seçin ve örneklem dışı değerlendirme yapın. Bir gündeki \(RS^-\) ve \(RS^+\) farkı betimleyicidir; tahmin gücünü kanıtlamaz. Regresyonda volatilite kalıcılığı, örtüşen ufuklar, parametre belirsizliği ve veri seçimi de hesaba katılabilir. Tahmin hataları karara uygun kayıp fonksiyonuyla değerlendirilmelidir.

Çok değişkenli genişletmede Bollerslev, Li, Patton ve Quaedvlieg eşlenmiş yüksek frekanslı getirilerin işaretlerine göre gerçekleşen kovaryansı ayıran gerçekleşen yarı kovaryansları geliştirir. Econometrica makaleleri, aynı işaretli ve karma işaretli bileşenlerin neden farklı bilgiler taşıyabileceğini gösterir. Tek değişkenli pozitif/negatif ayrımı daha basittir ve tam bir kovaryans ya da portföy riski ayrıştırması olarak sunulmamalıdır.

“Aşağı yönlü yarı varyans” ifadesi birden fazla tanımla kullanılır. Buradaki gerçekleşen ölçü sıfırın altındaki yüksek frekanslı getirileri kareler. Hedefe dayalı aşağı yönlü istatistik ise seçilmiş bir eşiğin, çoğunlukla hedef ya da kabul edilebilir asgari getirinin altındaki getirileri kareler. Örneklem hesabı gözlemleri ortalama etrafında da merkezleyebilir. Aynı getiri dizisinde bile bu tanımlar farklı sorulara yanıt verir ve farklı değerler üretebilir.

Gerçekleşen yarı varyansların hiçbiri Value-at-Risk ya da Expected Shortfall değildir. VaR, belirli bir kayıp dağılımının ve ufkun kantilini tanımlar; Expected Shortfall belirtilen kurala göre kantilin ötesindeki kayıpları özetler. Gün içi negatif getirilerin kareleri toplamı bu anlamlardan hiçbirini taşımaz. Getirilerin sırasına ve yoluna bağlı olan düşüşün de tam ölçüsü değildir.

Bir grafik veya model \(RS^-\) değerini “aşağı yönlü risk” diye adlandırıyorsa terimi hemen yanında tanımlayın. Getirilerin sıfıra mı hedefe mi göre ölçüldüğünü, örnekleme sıklığını ve değerin aralık istatistiği, tahmin girdisi ya da portföy ölçüsü olup olmadığını belirtin. GARCH volatilite rehberi koşullu varyans dinamiklerini anlatır; gerçekleşen yarı varyans ise model girdisi olarak düşünülebilecek yönlü, yüksek frekanslı bir ölçüm sağlar.

İşaret ayrımı gözlenen getiri dizisine bağlıdır. Daha sık örnekleme bid-ask salınımı, fiyat kesikliliği, güncelliğini yitirmiş kotasyonlar ve zaman damgası etkileri ekleyebilir. Fiyat proxy’si veya örnekleme ızgarası değişince kaydedilen küçük bir hareketin işareti dönebilir. Mikro yapı gürültüsü hem kare büyüklüğü hem de getirinin hangi tarafa yazılacağını değiştirebilir. Seçilen seri için \(RV=RS^++RS^-\) özdeşliği geçerlidir, fakat bu örnekleme tasarımını doğrulamaz.

Sağlam karşılaştırma için fiyat alanını, örnekleme aralığını, seans sınırını, sıfır getirilerin ve aykırı değerlerin nasıl ele alındığını ve varlık getirilerinin eşzamanlı olup olmadığını belgeleyin. Savunulabilir örnekleme seçenekleri arasında duyarlılığı kontrol edin. Sıçrama belirleme veya gürültüye dayanıklılık temel sorunsa işaret ayrımını düzeltme gibi yorumlamak yerine hedefe uygun tahminci ya da test kullanın. İki ölçekli gerçekleşen volatilite rehberi gürültü düzeltmesi için bir alternatifi açıklar.

İstatistiksel çıkarım örnekleme dağılımı veya uygun yeniden örnekleme tasarımı da gerektirir. Pozitif ve negatif bileşenler aynı yoldan gelir ve bağımlı olabilir. Örtüşen pencereler ek bağımlılık yaratabilir. Güven aralığı veya tahmin karşılaştırması bu özellikleri yansıtmalıdır; iki nokta tahmini karşılaştırmak, tahmin rollerinin farklı olduğunu tek başına test etmez.

Açık bir rapor varlığın veya portföyün getiri dizisini, gözlem penceresini, getiri tanımını, örnekleme ızgarasını ve birimleri belirtir. \(RS^+\) ve \(RS^-\) formüllerini verir, toplamlarının gerçekleşen varyansı yeniden oluşturduğunu doğrular ve sıfır ile eksik gözlemlerin nasıl işlendiğini açıklar. Ölçü bir tahmin modeline giriyorsa tahmin ufku, kıyas modeli, değerlendirme dönemi ve kayıp fonksiyonu da raporlanmalıdır.

Toplulaştırma varsayımlarını belirtmeden gerçekleşen yarı varyansı yıllıklandırılmış volatiliteye çevirmeyin. Günlük yarı varyanslar seçilen bir kurala göre betimleyici yıllık toplam için toplanabilir, ancak karekökü bilinen dağılıma sahip aşağı yönlü standart sapma olmaz. Yıllıklandırma yanlı fiyat girdilerini, seyrek örneklemeyi veya seçim etkilerini düzeltmez.

Temel amaç disiplinli ölçümdür: gerçekleşen değişimin kare ağırlığını korurken gözlenen her getirinin yönünü de muhafaza etmek. Sonuç incelenmeye değer bir örüntü gösterebilir. Ancak tek başına nedeni belirleyemez, kuyruk olasılığını ölçemez veya geçmiş asimetriyi işlem sinyaline dönüştüremez.