Realized GARCH: Getirileri ve Gerçekleşen Volatiliteyi Birlikte Modelleme

ARCH ve GARCH modelleri değişen varyansı getiri dizisinden çıkarır. Engle ARCH'ı, Bollerslev ise bunun genelleştirilmiş biçimini geliştirmiştir (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)). Bir getiri, dönem içindeki hareket miktarı hakkında gürültülü bir sinyaldir: kapanıştan kapanışa olağan dışı küçük bir getiri seansın sakin geçtiğini göstermez; büyük bir getiri de bu hareketin hangi yolu izlediğini açıklamaz. Gün içi fiyatlar, seans içindeki hareket hakkında daha fazla bilgi taşıyan gerçekleşen varyans gibi ayrı bir ölçüm sağlayabilir.

Realized GARCH bu ölçümü varyans dinamiğinin parçası olarak kullanır. Temel belirtimde hem önceki koşullu varyans hem de önceki gerçekleşen ölçüm, bugünkü koşullu varyansın güncellenmesine katkıda bulunur. Model ayrıca gerçekleşen ölçümün kendisi için de bir denklem kurar. Bu ek denklem temel bir fark yaratır: ölçümü açıklanmamış dışsal bir girdi olarak bırakmak yerine gizil varyansla ve getiri şokuyla ilişkisini modeller.

Özgün çalışma, Dow Jones hisseleri ve borsa yatırım fonu olan tek bir endeks fonundan oluşan örnekleminde, günlük getirilere dayalı GARCH'a kıyasla daha iyi ampirik uyum bildirir. Bu, o örnekleme özgü bir sonuçtur; Realized GARCH'ın her varlıkta veya dönemde daha iyi tahmin yapacağını garanti etmez. Yalnızca getirilere dayanan temel model için GARCH rehberine bakın.

rₜ, model koşullu ortalamayı hesaba katıyorsa bu ortalama çıkarıldıktan sonraki t dönemi getirisini göstersin. hₜ, dönemin başında kullanılabilir olan Fₜ₋₁ bilgisi koşuluyla rₜ'nin varyansı; xₜ ise t döneminde veya dönem sonunda gözlenen pozitif bir gerçekleşen ölçüm olsun. Örneğin xₜ, gün içi getirilerin kareleri toplamı olabilir ve hₜ ile aynı getiri karesi birimleriyle ifade edilmelidir.

Zaman sırası önemlidir. hₜ tahmini, t dönemi başlamadan önce kullanılabilir bilgilerle yapılır. rₜ ve xₜ gözlendikten sonra model bir sonraki dönemin varyans tahmini hₜ₊₁'i günceller. Dönem t başlamadan hₜ tahmininiz varmış gibi konuşurken xₜ'yi kullanmayın.

Realized GARCH, getirilerin ve ölçülen bir volatilite vekilinin dinamik modelidir. Farklı frekanslarda gözlenen verileri yapılandırılmış bir gecikme ağırlık işleviyle ilişkilendiren MIDAS regresyonuyla aynı şey değildir. İkisi de gün içi bilgiden yararlanabilir; ancak karşılaştırmadan önce denklemler, tahmin hedefleri ve zamanlama belirlenmelidir.

Yaygın bir Realized GARCH(1,1) modelinde getiri, varyans ve ölçüm denklemleri bulunur:

\[ rₜ = \sqrt{hₜ}\,zₜ \]

\[ \log hₜ = ω + β\log hₜ₋₁ + γ\log xₜ₋₁ \]

\[ \log xₜ = ξ + φ\log hₜ + τ(zₜ) + uₜ \]

Burada zₜ standartlaştırılmış getiri yeniliği, uₜ ölçüm gürültüsü, τ(zₜ) ise gözlenen ölçümün getiri şokuna bağlı olmasını sağlayan işlevdir. İlk denklem birim varyanslı şoku koşullu standart sapmayla ölçeklendirir. İkinci denklem log varyansı önceki log varyans ve önceki gerçekleşen ölçümün log değeriyle günceller. Üçüncü denklem gözlenen log ölçümü mevcut gizil log varyans, getiri şoku ve ölçüm yeniliğine bağlar.

Log biçimi kullanışlıdır: pozitif hₜ ve xₜ değerleri sınırlandırılmamış bir log ölçeğinde gösterilebilir; varyans tahmininin üssü alındığında sonuç pozitif olur. Bu nedenle ω, uzun dönem varyansının değil log varyans denkleminin sabit terimidir. Temel modelde parametreler tek tek ölçülermiş gibi değil, birlikte tahmin edilir.

(t−1) döneminin ölçüm denklemini varyans güncellemesine yerleştirmek, gerçekleşen ölçümün log varyansa nasıl geri beslendiğini gösterir:

\[ \log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ)\log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁ \]

Bu (1,1) belirtiminde log varyansın kalıcılığını yalnızca β değil, β + γφ özetler. Önceki varyans yükseldiğinde ölçüm ilişkisinin gerçekleşen ölçüm için beklediği değer de yükselir ve bu ölçüm sonraki güncellemeye girer. Bu cebir, tahmin edilen katsayıların yorumlanmasına yardımcı olur; ancak Realized GARCH'ın her uzantısı için durağanlığı kanıtlamaz. Çıkarımda tahmin edilen belirtime özgü kısıtlar kullanılmalıdır.

Hansen, Huang ve Shek bu ortak modelin doğrusal ve log-doğrusal biçimlerini tanıtır ve makalelerinde üç denklemli yapıyı gösterir (2012). Kullanılan tam gecikme dereceleri, gerçekleşen ölçüm, koşullu ortalama ve yenilik varsayımları tahmin edilen belirtimden alınmalıdır.

Ölçüm denklemi, gerçekleşen ölçümün hem gizil varyansla hem de getiri şokuyla birlikte neden değişebileceğini açıklar. Yaygın bir kaldıraç işlevi şöyledir:

\[ τ(zₜ) = τ₁zₜ + τ₂(zₜ² − 1) \]

Doğrusal ve merkezlenmiş karesel terimler, getiri şokları ile gerçekleşen ölçüm arasındaki asimetrik ilişkiyi temsil edebilir. İlişkinin şeklini katsayılar belirler; formül tek başına negatif getirilerin gelecekteki volatiliteye neden olduğunu kanıtlamaz.

Makalenin temel formülasyonunda zₜ ile uₜ ayrı yenilikler olarak modellenir; zₜ standartlaştırılır ve bu iki yenilik birbirinden bağımsızdır. Bu, hesaplamayı kolaylaştıran bir istatistiksel belirtimdir; piyasa getirilerinin veya ölçüm hatalarının her örneklemde belirli bir dağılıma sahip olduğuna dair kanıt değildir. Normalliği gerçekmiş gibi öne sürmeden tahminde Gaussian quasi-likelihood kullanılabilir.

Bu denklem Realized GARCH'ı GARCH-X'ten de ayırır. GARCH-X gözlenen ölçümü varyans güncellemesine ekleyebilir, ancak ölçümün kendi dinamiklerini belirtmeyebilir. Realized GARCH gerçekleşen ölçümü de modeller; böylece gelecekteki ölçümler henüz gözlenmemişken tek adımdan uzun tahminler üretilebilir. Model ortak bir istatistiksel ilişkiyi açıklar; gerçekleşen ölçümü dışsal bir nedene dönüştürmez.

Tahmin edilen log-doğrusal modelde ω = −0.7824, β = 0.75 ve γ = 0.15 olsun. t dönemi sonunda mevcut koşullu varyansın hₜ = 0.0004, gözlenen gerçekleşen ölçümün xₜ = 0.0009 olduğunu varsayalım. Tüm değerler varsayımsal, pozitif ve günlük ondalık getiri varyansı ölçeğinde aynı birimdedir.

Varyans denklemiyle (t+1) dönemi tahminini güncelleyelim:

\[ \begin{aligned} \log hₜ₊₁ &= −0.7824 + 0.75\log(0.0004) + 0.15\log(0.0009) \\ &\approx −7.7024 \\ hₜ₊₁ &= \exp(−7.7024) \approx 0.0004517 \end{aligned} \]

Buna karşılık gelen koşullu standart sapma √0.0004517 ≈ 0.02125, yani belirtilen getiri dönemi için yaklaşık %2,13'tür. Gerçekleşen ölçüm, tahmin edilen katsayısı üzerinden bir sonraki varyans tahminini etkiler; bu hesap katsayıları yeniden tahmin etmez ve xₜ = hₜ olduğunu ileri sürmek için ölçüm denklemini kullanmaz.

Örnek yalnızca aritmetiği gösterir. Parametre tahmini belirsizliği ve örneklem dışı gözlemler bulunmadığından istatistiksel anlamlılık ya da modelin bir kıyas ölçütünden daha iyi olup olmadığı hakkında sonuç vermez <!-- learn:illustration -->

Tahmin için zaman bakımından eşleşen getiri ve gerçekleşen ölçüm gözlemleri gerekir. Olabilirlik ya da quasi-likelihood, getiri denklemi ile ölçüm denklemini birlikte kullanır. Bu yüzden yeniliklerin dağılımları veya bağımlılık yapısına ilişkin varsayımlar tahmin edilen parametreleri değiştirebilir. Yalnızca ölçüm modeli olmadan varyans yinelemesini vermek yerine tahmin yöntemini, yenilik varsayımlarını, koşullu ortalamanın nasıl ele alındığını, gerçekleşen ölçümü ve veri temizleme kurallarını açıklayın.

Her dönem kapandıktan sonra model yeni getiri ve gerçekleşen ölçümü kullanarak durumunu güncelleyip sonraki varyans tahminini üretebilir. Birden fazla adım ileri tahminde gelecekteki x değerleri bilinmez. Eksiksiz bir Realized GARCH belirtimi gerçekleşen ölçümün dinamiklerini içerir; bu nedenle tahmin, test örneklemindeki geleceğe ait gerçekleşen değerleri yerine koymamalı, bunların gelecekteki dağılımını ya da beklenen değerini hesaba katmalıdır.

Değerlendirme hedefi tahminle eşleşmelidir: örneğin sonraki dönemin koşullu getiri varyansı ya da aynı aralığa ait gerçekleşen ölçüm. Hedefi, vekil ölçümü, birimleri, ufku ve değerlendirme tarihlerini hizalayın. Örneklem içi olabilirlik model uyumunu karşılaştırır; kronolojik tahmin testinin yerini tutmaz.

Her tahmini kullanılabilir olacağı anda kaydedin, yalnızca o tahmin başlangıcında mevcut bilgilerle yeniden tahmin edin ve önceden seçilmiş bir temel modelle ortak örneklemde karşılaştırın. Sonuçları gördükten sonra kayıp fonksiyonu seçmeyin; gerektiğinde bağımlılığı hesaba katan bir belirsizlik tahminiyle eşleştirilmiş kayıp farkını raporlayın. Varyans tahminlerinin karşılaştırılmasında proxy özellikleri ve kayıp seçiminin rolü QLIKE ve kare hata rehberinde açıklanır.

Modelin yararı, aldığı ölçüme ve zaman aralığına bağlıdır. Gün içi fiyatlardan oluşturulan bir gerçekleşen ölçüm gece hareketini dışarıda bırakırken rₜ kapanıştan kapanışa getiriyi temsil edebilir. Özgün makale, getiri aralığından daha kısa bir ölçüm penceresine izin verir; ölçüm denklemi xₜ'nin hₜ için yansız bir tahmin olmasını şart koşmaz. Ancak bu esneklik farklı pencereleri önemsiz kılmaz: φ'nın yorumu, tahmin hedefi ve karşılaştırma yine aralıklara bağlıdır.

Makalede somut bir örnek verilir: yaklaşık 6,5 işlem saatini kapsayan bir ölçüm, 24 saatlik kapanıştan kapanışa getirinin koşullu varyansıyla eşleştirilir. Bu düzende gün içi ölçüm, getiri aralığının yalnızca bir bölümünü yakaladığı için yazarlar φ < 1 bekler. Dolayısıyla tahmin edilen φ; ölçüme, seansa ve getiri tanımına bağlıdır. Başka bir varlığa veya örnekleme düzenine değişmeden aktarılabilecek evrensel bir kalibrasyon sabiti değildir.

Yüksek frekanslı veriler alış-satış kotasyonu sıçramaları, eşzamanlı olmayan işlemler, fiyat adımları, eski kotasyonlar ve kayıt hataları da içerebilir. İki ölçekli gerçekleşen volatilite rehberi, yüksek frekanslı mikro yapı gürültüsünün bir kısmını ele almak üzere tasarlanmış bir tahmin ediciyi açıklar. Hansen ve Lunde piyasa mikro yapı gürültüsünün gerçekleşen varyans ölçümünü önemli ölçüde etkileyebileceğini gösterir (2006). Farklı bir vekil ölçüm model uyumunu, tahminleri ve kaldıraç tahminlerini değiştirebilir.

Log-doğrusal modelde log xₜ kullanıldığından seçilen ölçüm kesinlikle pozitif olmalıdır. Veriler sıfır ya da negatif değer alabiliyorsa dönüşüm, filtre veya taban değer modeli değiştirir; gerekçelendirilip açıklanmalıdır. Ölçümün sıçramaları içerip içermediğini, hangi seansı kapsadığını, eksik çubukların nasıl ele alındığını ve birimlerinin getiri varyansıyla eşleşip eşleşmediğini kontrol edin. Gün içi gözlem sayısının artması ölçüm hatasını kendiliğinden ortadan kaldırmaz.

Standart GARCH gecikmeli getirileri veya kare yenilikleri ve gecikmeli varyansı kullanır. Realized GARCH, gerçekleşen ölçümü varyans dinamiğine ekler ve onu gizil varyansla ve getiri şoklarıyla bağlantılı bir denklemle modeller. GARCH-X genellikle ek ölçümü dışsal bir girdi olarak ele alır. MIDAS regresyonu farklı frekanslardaki gecikmelere parametreli bir ağırlık eğrisi uygular; GARCH-MIDAS, denklemleri ayrıca incelenmesi gereken ilişkili bir hibrittir. Bu adlar birbirinin yerine kullanılamaz.

Model, varsayımları altında tanımlanmış bir koşullu varyans veya gerçekleşen ölçüm için tahmin üretir. Getirinin yönünü tahmin etmez, gün içi ölçümün ertesi günkü varyansa neden olduğunu kanıtlamaz ve kârlı bir strateji ortaya koymaz. Örneklem içi olabilirliğin güçlü olması gelecekte daha iyi tahmin garantisi değildir. İşlem sonuçları için ayrıca bir sinyal tanımlanmalı ve spread, ücretler, piyasa etkisi, finansman ile risk limitlerini içeren maliyet sonrası bir değerlendirme yapılmalıdır.

Tekrarlanabilir bir raporda varlığı ve örneklemi, getiri tanımı ile koşullu ortalamayı, gerçekleşen ölçümün yapısını ve seans penceresini, model denklemlerini ve gecikme derecelerini, yenilik varsayımlarını, tahmin penceresini, tahmin başlangıcını ve ufkunu, kıyas modelini, puanlama kaybını ve belirsizlik yöntemini belirtin. Makul gerçekleşen ölçüm seçeneklerine duyarlılığı kontrol edin; veri dışlamalarını ve pozitiflik düzeltmelerini açıklayın