Volatilite Tahminlerinde QLIKE ve Kare Hata: Gürültülü Vekil Ölçümler

Bir volatilite modeli, gelecekteki getirilerin ne kadar geniş dağılabileceğini tahmin eder; getirinin pozitif mi negatif mi olacağını değil. Değerlendirmeye başlamadan önce hedefi belirleyin: örneğin, yarının getirisinin koşullu varyansını baz puanın karesiyle ölçmek. Standart sapma tahmini, varyans tahmini ve gün içi gerçekleşen varyans ölçümü birbiriyle ilişkili olsa da dönüşüm ve tahmin ufku açıkça belirtilmeden birbirinin yerine kullanılamaz.

Bu soru, modelin tahminini nasıl ürettiğinden ayrıdır. GARCH rehberi, geçmiş getirilerden koşullu varyansı güncellemenin bir yolunu açıklar. Bu yazı ise iki veya daha fazla model tahmin ürettikten sonra, bunları gerçekleşen varyansın kusurlu bir ölçümüne karşı nasıl puanlayacağımıza odaklanır.

Hedef, değerlendirme örneklemi ve kayıp fonksiyonu belirlenmeden “en iyi tahmin”in tek bir anlamı yoktur. Her kayıp fonksiyonu tahmin hatalarına farklı bir maliyet verdiğinden, bir model bir fonksiyona göre ilk sıradayken başka bir fonksiyona göre ikinci olabilir

vₜ, hedef getirinin gözlemlenemeyen koşullu varyansı; hₜ, bu getiri gerçekleşmeden önce mevcut bilgilerle üretilen tahmin; xₜ ise değerlendirmede kullanılan gözlemlenebilir vekil ölçüm olsun. Getirinin karesi yaygın bir vekildir, ancak varyans için koşullu olarak yansız olması yalnızca getirinin koşullu ortalaması sıfır olduğunda geçerlidir. Koşullu ortalama sıfır değilse, ham getiri karesi koşullu varyansı değil koşullu ikinci momenti tahmin eder; alternatif olarak koşullu ortalama çıkarıldıktan sonraki getirilerden vekil ölçüm oluşturulabilir. Gün içi getirilerden hesaplanan gerçekleşen varyans, seans boyunca oluşan değişime dair daha fazla bilgi sağlayabilir; ancak yine belirli bir aralığı ölçer ve örnekleme ile fiyat verisi kurallarına bağlıdır.

Koşullu ortalamanın tahmin edilmesi, ortalamayı çıkarmanın vekil değişken yanlılığını otomatik olarak giderdiği anlamına gelmez. mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁) olsun ve tahmini ortalama m̂ₜ tahmin başlangıcında mevcut bilgilerle sabitlensin; bu durumda E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)² olur. Dolayısıyla ortalama tahminindeki öngörülebilir her hata, vekil değişkene negatif olmayan bir terim ekler. Koşullu yansızlık sonucuna başvurmadan önce ortalamanın nasıl tahmin edildiğini ve vekil değişkenin varyansı mı yoksa ikinci momenti mi hedeflediğini belirtin.

xₜ ve hₜ aynı varlık, getiri tanımı, zaman aralığı, tahmin ufku ve birimlerle eşleşmelidir. xₜ bp² ile ölçülüyorsa hₜ de bp² olmalı, kare hata kaybının birimi de bp⁴ olmalıdır. Hedefiniz özellikle bu değilse, gece aralığını dışarıda bırakan gerçekleşen bir ölçümle kapanıştan kapanışa günlük koşullu varyans tahminini puanlamayın.

Vekil değerleriyle tüm modellerin tahminlerini aynı tahmin başlangıçları için saklayın. Bir modelin bir tarihte tahmini yoksa ortak örneklemi veya gerekçeli eksik veri kuralını önceden belirleyin. Farklı tarihlerdeki ortalamaları karşılaştırmak, model performansı ile her modelin karşılaştığı piyasa koşulları arasındaki farkı birbirine karıştırabilir

Negatif olmayan varyans vekili xₜ ve pozitif varyans tahmini hₜ için kare hata kaybı şöyledir:

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

QLIKE kaybı ise şöyledir:

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

Düşük puan daha iyidir. xₜ kesin olarak pozitifken QLIKE, eşdeğer bir oran biçiminde xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1 olarak da yazılabilir. İki formül yalnızca gözlenen vekile bağlı, tahmine bağlı olmayan bir terim kadar farklıdır; bu nedenle ortak bir örneklemde aynı sıralamayı verir. log(hₜ) biçimi, hₜ pozitif olduğu sürece xₜ sıfır olduğunda da tanımlıdır. Patton, bu varyans kayıplarını tanımlar ve kusurlu vekiller altındaki davranışlarını inceler (Patton, 2011).

QLIKE, varyans tahminleri için Gauss olabilirliğinden gelen bir yarı-olabilirlik puanına karşılık gelir (Hansen ve Lunde, 2005). Bu bağlantı getirilerin Gauss dağılımına sahip olduğunu kanıtlamaz; düşük puan da modelin dağılım varsayımlarını doğrulamaz. Kare hata, vekil ile tahmin arasındaki mutlak farkın karesini ölçer. Önemli olan, karşılaştırma amacına ve vekil hakkındaki varsayımlara uygun puanlama kuralını seçmektir

Kare hata, varyans biriminin karesiyle ölçülür ve vekil ile tahmin birbirinden uzaklaştıkça hızla büyür. Bu nedenle birkaç çok büyük vekil değeri ortalama puana hâkim olabilir. Büyük mutlak varyans hatalarına çok daha fazla ağırlık verilmesi gereken durumlarda bu uygun olabilir; ancak sonuç uç gözlemlere duyarlı hâle gelir.

xₜ ve hₜ aynı pozitif birim dönüştürme sabiti c ile çarpıldığında, log(hₜ) + xₜ/hₜ ifadesine log(c) eklenir. Bu ek terim, aynı vekil örnekleminde puanlanan tüm tahminler için aynıdır; dolayısıyla sıralama değişmez. Ancak log teriminin mutlak değeri seçilen birime bağlıdır. QLIKE, xₜ/hₜ ile tahminin vekile oranına ve log(hₜ) ile hₜ'nin ölçeğine tepki verir. Tahmin, büyük bir vekil değerinin çok altında kalırsa oran terimi hızla yükselir; tahmini yüksek tutmanın maliyeti de log(hₜ) ile artar, ancak benzer oransal hatalarda daha yavaş yükselir. QLIKE aykırı değerlere dayanıklı bir kayıp değildir: uç bir vekil değeri xₜ/hₜ terimine yine yansır.

Her karar için geçerli tek bir kazanan yoktur. Kare hata, varyans birimindeki büyük mutlak hatalara daha fazla ağırlık verirken QLIKE oransal hataları farklı biçimde değerlendirir. Patton'ın vekil gürültüsüne karşı sıralama dayanıklılığı bulgusu, bu kayıpların modelleri aynı şekilde sıraladığı ya da aykırı değerlerden etkilenmediği anlamına gelmez

Gözlenen varyans vekillerinin x = [1, 4] bp² olduğunu varsayalım. A modeli hᴬ = [1, 1] bp², B modeli ise hᴮ = [4, 2] bp² tahmin ediyor. Sayılar, kayıp seçiminin sıralamayı nasıl değiştirebileceğini göstermek üzere kurgulanmıştır.

MSE, ortalama puanı 4,5 bp⁴ olan A modelini, 6,5 bp⁴ alan B modeline tercih eder. QLIKE ise ortalama puanı yaklaşık 2,165 olan B'yi, 2,5 alan A'ya tercih eder. Bu iki satır yalnızca aritmetiği gösterir. Belirsizliği tahmin etmek veya bir tahminin daha iyi olduğunu kanıtlamak için yeterli değildir; bir alım satım stratejisi hakkında da hiçbir şey söylemez <!-- learn:illustration -->

Volatilite vekili gürültülü olabilir ama koşullu olarak yansız kalabilir. Fₜ₋₁ tahmin yapılırken mevcut bilgileri göstermek üzere E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ olsun. Bu bilgilerle oluşturulan hₜ tahmininin koşullu beklenen kare hata kaybı şöyledir:

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

Varyans terimi hangi tahminin puanlandığına bağlı değildir. Her iki tahminin beklenen MSE'sini aynı miktarda artırdığı için beklenen kayıplar karşılaştırılırken birbirini götürür. QLIKE için koşullu yansızlık şu sonucu verir:

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

Bu, vekil yerine gizli varyans kullanıldığında elde edilecek puanın aynısıdır. Bu koşullar altında her iki kayıp da rakip varyans tahminlerinin gizli hedefe göre beklenen sıralamasını korur. Patton (2011) bu özelliği vekile göre sıralama dayanıklılığı olarak adlandırır; buradaki anlamı, gürültü varken beklenen sıralamanın korunmasıdır, aykırı değerlere direnç değildir.

Sonuç; aynı koşullu bilgi kümesini, koşullu olarak yansız bir vekili, QLIKE için pozitif tahminleri ve sonlu beklenen kayıpları varsayar. MSE ile QLIKE'ın modelleri kendi aralarında aynı sıraya koyduğunu söylemez. Yukarıdaki iki dönemlik örnekte her iki kayıp da aynı gürültülü gözlemleri kullanır, ancak tahmin hatalarına farklı ağırlık verir

Beklenen sıralamanın değişmezliği, gözlenen her örneklemin gizli varyansa göre sıralamayla aynı olacağını garanti etmez. Vekil gürültüsü gözlenen kayıpların değişkenliğini artırır ve tahmin karşılaştırmasının gücünü düşürebilir. Kısa bir değerlendirme döneminde, koşullu yansızlık ortalamada geçerli olsa bile, tesadüfen çok yüksek veya düşük çıkan birkaç vekil değeri model sırasını değiştirebilir.

Vekil tanımlanan hedefe göre koşullu olarak yanlıysa garanti de geçerli olmaz. Yüksek frekanslı gerçekleşen varyans ölçümü alış-satış kotasyon sıçramalarından, eski veya eşzamanlı olmayan kotasyonlardan, örnekleme sıklığından ve dışarıda bırakılan gece getirilerinden etkilenebilir. Gün içi bütünleşik varyansı hedefleyen bir vekil, kapanıştan kapanışa koşullu varyansın yansız ölçümü olmayabilir. Gerçekleşen volatilite hesaplama rehberi ölçüm kurallarını açıklar; iki ölçekli gerçekleşen volatilite rehberi yüksek frekanslı verilerdeki mikro yapı gürültüsünün bir kısmını ele almak üzere tasarlanmış bir tahmin ediciyi açıklar. Hansen ve Lunde (2006), piyasa mikro yapısı gürültüsünün gerçekleşen varyans ölçümünü nasıl etkileyebileceğini inceler.

Buradaki “dayanıklılık” dar anlamda kullanılır: vekil koşullu olarak yansızsa beklenen sıralama korunur. Örneklem puanının aykırı değerleri yok saydığı, her gerçekleşen volatilite ölçümünün yansız olduğu veya hedef uyumsuzluğuna karşılaştırmanın korunduğu anlamına gelmez. Vekilin neyi ölçtüğünü ve vₜ ile hangi varsayımlar altında ilişkilendirildiğini belirtin

Aynı tahmin başlangıcında sabitlenen hᴬₜ ve hᴮₜ tahminleri için beklenen MSE farkı E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)² olur. Aynı vekil koşulu altında beklenen QLIKE farkı log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ şeklindedir. Bu ifadeler vekile karşı sıralama dayanıklılığının neyi ortadan kaldırdığını gösterir: vekilin beklenen skorundaki ek gürültüyü. MSE ve QLIKE hatalara farklı maliyetler yüklediğinden tahmin karşılaştırmaları yine de farklıdır.

Puanı seçtikten sonra, her ortak tahmin başlangıcı için eşleştirilmiş kayıp farkını hesaplayın. dₜ = L_A,ₜ − L_B olsun; ortalamanın pozitif olması B'nin kaybının daha düşük olduğunu gösterir. Diebold–Mariano testi, bu eşleştirilmiş fark dizisini kullanarak beklenen farkın sıfır olup olmadığını değerlendirir. QLIKE ile MSE arasında seçim yapmaz veya hangi hedefin önemli olduğunu belirlemez. Daha geniş çıkarım çerçevesi Diebold–Mariano rehberinde açıklanır.

Çok dönemli tahmin ufukları örtüşüyorsa veya puan farkları başka nedenlerle zaman içinde korelasyonluysa, uygun bir HAC tahmini gibi bağımlılığı hesaba katan standart hata kullanın. Newey ve West (1987), pozitif yarı tanımlı bir HAC kovaryans tahmincisi sunar. Tahmin ufkunu, değerlendirme başlangıçlarını, kayıp farkının işaretini, kovaryans yöntemini ve gerekiyorsa çekirdek ile bant genişliğini belirtin. Testte düşük p değeri çıkması, yanlı veya hedefle uyuşmayan vekil sorununu ortadan kaldırmaz

Kronolojik bir örneklem dışı tasarım kullanın ve her modelin her tahmin başlangıcında gerçekten üretmiş olacağı tahminleri kaydedin. Hedefi, vekilin oluşturulma yöntemini, tahmin ufkunu, birimi, ortak örneklemi ve kaybı hangi modelin daha iyi puan aldığını incelemeden sabitleyin. Tahmin pencerelerini, yeniden tahmin kurallarını, eksik gözlemleri ve değerlendirme döneminin modelleri tekrar tekrar ayarlamak için kullanılıp kullanılmadığını kaydedin. Hem MSE hem QLIKE'ı karşılaştırıp yalnızca kazananı raporluyorsanız, bu seçimi açıklayın; sonucu önceden belirlenmiş tek bir test gibi sunmayın.

Her modelin ortalama kaybını, eşleştirilmiş farkı, örneklem büyüklüğünü, vekil tanımını ve çıkarım yöntemini raporlayın. QLIKE için hₜ > 0 gerekir; tahminlere bir alt sınır uygulanacaksa puanı değiştirebileceğinden bu sınırı değerlendirmeden önce belirleyin. Savunulabilir vekil ve örnekleme tercihlerine duyarlılığı kontrol edin; çok sayıda tercih denemenin de sonuç seçimi sorunu yarattığını belirtin.

Daha düşük volatilite kaybı, seçilen puan ve vekile göre performansı ölçer. Bir tahmin değişkeninin volatiliteye neden olduğunu, getirilerin normal dağıldığını veya tahmini kullanan stratejinin spread, ücret, kayma, finansman ve risk kısıtlarından sonra kâr edeceğini göstermez. Tahmin becerisi ile alım satım sonuçlarını ayrı iddialar olarak değerlendirin