Kolmogorov İleri ve Geri Denklemleri Açıklaması

Bir Markov süreci, P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] geçiş operatörünü kullanarak gelecekteki bir fonksiyonu cari duruma taşır

Chapman–Kolmogorov ilişkisi P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u}, araya bir zaman eklemenin geçişi değiştirmediğini söyler

İleri ve geri denklemler aynı yarı-grubun veya iki parametreli evrim ailesinin diferansiyel görünümleridir

dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t için üreteç L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ ve a = σ² olur

Durumun test fonksiyonlarına etki eder ve bunların anlık koşullu değişimini özetler

Üreteç sürece, durum uzayına, tanım kümesine ve sınır davranışına bağlıdır; tek başına biçimsel bir diferansiyel ifade eksiktir

Terminal fonksiyon g için s ≤ t olmak üzere u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] tanımlayın

Uygun düzenlilik altında u, ∂_s u + L_su = 0 ve u(t,x) = g(x) terminal koşulunu sağlar

Son nokta fonksiyonu sabit, koşullama zamanı s bugüne doğru hareket ettiği için geridir

Eşlenik L_t†, sınır terimleri ele alındıktan sonra ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx ilişkisiyle tanımlanır

Tek boyutlu bir difüzyonda L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ) olur

Eşlenik, integrasyonla parçalama gerektiğinde türevleri tersine çevirerek üreteci test fonksiyonlarından yoğunluklara taşır

ρ(t,x) durum yoğunluğuysa, başlangıç dağılımından itibaren ∂_tρ = L_t†ρ denklemini sağlar

Aynı denklem, başlangıç noktası sabit tutulurken varış değişkenini evriltmek için bir geçiş yoğunluğuna uygulanabilir

Normalizasyon, negatif olmama, akı ve sınır koşulları biçimsel bir çözümün geçerli olasılık yasası olup olmadığını belirler

Türev değerlemesi genellikle terminal getiriden geriye doğru bir denklem çözer; iskonto bir öldürme terimi ekler

Dağılım tahmini, maruziyet profilleri, yoğunluk kalibrasyonu ve bazı risk hesapları bugünkü durum yasasından ileri denklemi çözer

İki çıktı integrasyon yoluyla uyuşmalıdır: geri değer, gelecekteki getirinin ileri geçiş yoğunluğuna göre integrali olmalıdır

Emici, yansıtıcı, giriş ve erişilemez sınırlar farklı değer ve olasılık-akısı koşulları getirir

Izgara genişlerken korunumu veya amaçlanan kütle kaybını, pozitifliği, terminal ve başlangıç verilerini, eşlenik ayrıklaştırmayı ve yakınsamayı kontrol edin

Bağımsız bir Monte Carlo tahmini, her iki PDE çözücüsündeki işaret, drift, sınır ve zaman yönü hatalarını ortaya çıkarabilir