การแจกแจงเสถียรและความแปรปรวนอนันต์ในทางการเงิน

การแจกแจงจะเสถียรถ้าสำหรับสำเนาอิสระ X_1 และ X_2 และ a,b ที่เป็นบวก aX_1+bX_2 มีการแจกแจงเดียวกับ cX+d สำหรับ c>0 และ d บางค่า

คุณสมบัติการปิดนี้ทำให้ตระกูลดังกล่าวเหมาะกับการรวมข้อมูล เพราะผลรวมยังอยู่ในชั้นรูปร่างการแจกแจงเดิม

การแจกแจงปกติเป็นสมาชิก stable ที่ α=2 ส่วนคำว่า stable ไม่ได้หมายความโดยอัตโนมัติว่าหางหนักหรือมีความแปรปรวนอนันต์

เลขชี้กำลังความเสถียร α อยู่ใน (0,2] ความเบ้ β อยู่ใน [−1,1] ส่วนสเกลและตำแหน่งกำหนดขนาดและจุดศูนย์กลางภายใต้การกำหนดพารามิเตอร์ที่ระบุไว้

เมื่อ α<2 หางจะแปรผันสม่ำเสมอด้วยเลขชี้กำลัง α ภายใต้เงื่อนไขที่ไม่เสื่อมสภาพ และค่าที่สุดโต่งมีโอกาสเกิดสูงกว่ากฎปกติมาก

ความหนาแน่นของ stable มักไม่มีรูปปิดแบบฟังก์ชันมูลฐาน และการกำหนดพารามิเตอร์จะแตกต่างกัน โดยเฉพาะใกล้ α=1 ดังนั้นต้องใส่ใจกับข้อตกลงของซอฟต์แวร์

กฎ stable ที่ไม่ใช่เกาส์และมี α<2 มีความแปรปรวนของประชากรเป็นอนันต์ แม้ชุดข้อมูลจำกัดทุกชุดจะมีความแปรปรวนของตัวอย่างเป็นค่าจำกัด

โมเมนต์สัมบูรณ์อันดับแรกมีค่าจำกัดก็ต่อเมื่อ α>1; สำหรับ α≤1 ค่าเฉลี่ยของประชากรแบบทั่วไปก็มักไม่มีอยู่

ความแปรปรวนของตัวอย่างที่เพิ่มขึ้นหรือค่าเฉลี่ยที่ไม่เสถียรสอดคล้องกับหางหนัก แต่เพียงเท่านี้ยังไม่ใช่หลักฐานว่ามีโมเมนต์อนันต์

ถ้าผลรวมที่ทำให้เป็นมาตรฐานของตัวแปรอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกันลู่เข้าเป็นขีดจำกัดที่ไม่เสื่อมสภาพ ขีดจำกัดที่เป็นไปได้คือกฎ stable

อินพุตที่มีความแปรปรวนจำกัดจะนำไปสู่กรณีเกาส์ α=2 ขณะที่อินพุตที่แปรผันสม่ำเสมออย่างเหมาะสมอาจนำไปสู่ขีดจำกัด stable ที่ α<2

สเกลของการรวมข้อมูลคือ n^(1/α) ไม่ใช่ √n และการจัดศูนย์กลางขึ้นอยู่กับ α และการกำหนดพารามิเตอร์

Mandelbrot เสนอกฎ stable Paretian สำหรับการเปลี่ยนแปลงราคาสินทรัพย์เก็งกำไร หลังสังเกตว่าการเคลื่อนไหวขนาดใหญ่เกิดขึ้นมากกว่าที่แบบจำลองเกาส์อนุญาตอย่างมาก

Fama ศึกษาการวิเคราะห์พอร์ตภายใต้ผลตอบแทนแบบ stable Paretian และศึกษาว่าการกระจายความเสี่ยงทำงานอย่างไรเมื่อไม่มีความแปรปรวนจำกัด

หลักฐานภายหลังเกี่ยวกับการจับกลุ่มของความผันผวน หางที่ถูกตัด และระบอบที่เปลี่ยนแปลง ทำให้ความเสถียรแบบ iid อย่างเคร่งครัดไม่ใช่คำอธิบายเดียวของผลตอบแทนที่มีหางหนัก

แบบจำลอง α<2 ที่แน่นอนบอกว่าไม่มีความแปรปรวนของประชากรที่จำกัดในทุกช่วงเวลา ไม่ใช่เพียงความแปรปรวนที่มีขนาดใหญ่หรือประมาณได้ยาก

แบบจำลอง tempered stable, truncated stable, mixture, jump, GARCH และ stochastic-volatility สามารถเลียนแบบตัวอย่างจำกัดที่มีหางหนักได้ ขณะที่ยังคงมีโมเมนต์จำกัด

ชุดข้อมูลจำกัดแทบไม่สามารถแยกหางอนันต์ที่แท้จริงออกจากจุดตัดที่มีค่าจำกัดแต่ใหญ่มากได้ ดังนั้นข้ออ้างนี้ไม่ควรตั้งอยู่บนช่วงเส้น log-log ตรงเพียงอย่างเดียว

ประมาณค่า α พร้อมความไม่แน่นอนด้วยหลายวิธี และตรวจสอบความพอดีของฟังก์ชันลักษณะ ควอนไทล์ ค่าที่เกินเกณฑ์ และเสถียรภาพของพารามิเตอร์

ตรวจว่าผลรวมข้ามช่วงเวลาปรับสเกลตามที่คาดหรือไม่ และหลังฟิตแล้วเหลือการพึ่งพากันหรือการจับกลุ่มของความผันผวนหรือไม่

เปรียบเทียบความครอบคลุมของหางเชิงพยากรณ์และการตัดสินใจกับทางเลือกที่มีความแปรปรวนจำกัด พร้อมรายงานว่าโมเมนต์ใดบ้างที่แบบจำลองที่ฟิตบอกว่าไม่มีอยู่