อธิบาย Realized GARCH: จำลองผลตอบแทนและความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงร่วมกัน

แบบจำลอง ARCH และ GARCH อนุมานการเปลี่ยนแปลงของความแปรปรวนจากลำดับผลตอบแทน Engle เสนอ ARCH และ Bollerslev พัฒนารูปแบบทั่วไปของแบบจำลองดังกล่าว (Engle, 1982; Bollerslev, 198690063-1)) ผลตอบแทนเป็นสัญญาณที่มี noise เกี่ยวกับขนาดการเคลื่อนไหวในช่วงนั้น ผลตอบแทนจากปิดถึงปิดที่ต่ำผิดปกติไม่ได้แปลว่าช่วงซื้อขายสงบ และผลตอบแทนขนาดใหญ่เพียงค่าเดียวก็ไม่บอกเส้นทางที่ทำให้เกิดการเคลื่อนไหว ราคาภายในวันช่วยสร้างตัววัดที่เกิดขึ้นจริงอีกแบบ เช่น realized variance ซึ่งให้ข้อมูลเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวระหว่างช่วงซื้อขายมากขึ้น

Realized GARCH นำตัววัดนี้มาเป็นส่วนหนึ่งของพลวัตความแปรปรวน ในสเปกพื้นฐาน ทั้งความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของวันก่อนและตัววัดที่เกิดขึ้นจริงช่วยปรับปรุงความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของวันนี้ แบบจำลองยังมีสมการสำหรับตัววัดที่เกิดขึ้นจริงด้วย สมการเพิ่มเติมนี้เป็นหัวใจสำคัญ เพราะอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัววัดกับความแปรปรวนแฝงและช็อกของผลตอบแทน แทนที่จะปล่อยให้ตัววัดเป็นอินพุตภายนอกที่ไม่มีคำอธิบาย

งานวิจัยต้นฉบับรายงานความพอดีเชิงประจักษ์ที่ดีกว่า GARCH ซึ่งใช้เฉพาะผลตอบแทนรายวัน ในตัวอย่างหุ้น Dow Jones และกองทุน ETF หนึ่งกอง นี่เป็นผลเฉพาะตัวอย่างดังกล่าว ไม่ใช่หลักประกันว่า Realized GARCH จะพยากรณ์ได้ดีกว่าสำหรับทุกสินทรัพย์หรือทุกช่วงเวลา ดู คู่มือ GARCH สำหรับแบบจำลองพื้นฐานที่ใช้เฉพาะผลตอบแทน

ให้ rₜ เป็นผลตอบแทนของช่วงเวลา t หลังหักค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข หากแบบจำลองรวมค่าเฉลี่ยดังกล่าวไว้ ให้ hₜ เป็นความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของ rₜ เมื่อกำหนดข้อมูล Fₜ₋₁ ที่มีอยู่ตอนเริ่มช่วง และให้ xₜ เป็นตัววัดที่เกิดขึ้นจริงซึ่งมีค่าเป็นบวกและสังเกตได้ระหว่างหรือเมื่อสิ้นสุดช่วง t ตัวอย่างเช่น xₜ อาจเป็นผลรวมกำลังสองของผลตอบแทนระหว่างวัน โดยใช้หน่วยกำลังสองของผลตอบแทนเดียวกับ hₜ

ลำดับเวลามีความสำคัญ การพยากรณ์ hₜ ใช้ข้อมูลที่มีอยู่ก่อนช่วง t; หลังจากสังเกต rₜ และ xₜ แล้ว แบบจำลองจึงปรับการพยากรณ์ความแปรปรวนของช่วงถัดไป hₜ₊₁ อย่าใช้ xₜ เพื่อกล่าวว่าได้พยากรณ์ hₜ ไว้ก่อนช่วง t จะเกิดขึ้น

Realized GARCH เป็นแบบจำลองพลวัตของผลตอบแทนและตัวแทนความผันผวนที่วัดได้ แบบจำลองนี้ไม่ใช่สิ่งเดียวกับ การถดถอย MIDAS ซึ่งใช้ฟังก์ชันน้ำหนักของค่าล่าช้าที่มีโครงสร้างเพื่อเชื่อมข้อมูลต่างความถี่ ทั้งสองแบบจำลองใช้ข้อมูลระหว่างวันได้ แต่ต้องระบุสมการ เป้าหมายการพยากรณ์ และเวลาที่ข้อมูลพร้อมใช้ก่อนนำมาเปรียบเทียบ

แบบจำลอง Realized GARCH(1,1) ที่ใช้กันทั่วไปมีสมการผลตอบแทน สมการความแปรปรวน และสมการการวัด:

\[ rₜ = \sqrt{hₜ}\,zₜ \]

\[ \log hₜ = ω + β\log hₜ₋₁ + γ\log xₜ₋₁ \]

\[ \log xₜ = ξ + φ\log hₜ + τ(zₜ) + uₜ \]

ในที่นี้ zₜ คือ innovation ของผลตอบแทนที่ปรับมาตรฐานแล้ว uₜ คือ noise จากการวัด และ τ(zₜ) ทำให้ตัววัดที่สังเกตได้ขึ้นอยู่กับช็อกของผลตอบแทน สมการแรกปรับสเกลช็อกที่มีความแปรปรวนหนึ่งด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบมีเงื่อนไข สมการที่สองปรับปรุง log ความแปรปรวนโดยใช้ log ความแปรปรวนก่อนหน้าและ log ของตัววัดที่เกิดขึ้นจริงก่อนหน้า สมการที่สามเชื่อม log ของตัววัดที่สังเกตได้กับ log ความแปรปรวนแฝงปัจจุบัน ช็อกผลตอบแทน และ innovation จากการวัด

รูปแบบ log สะดวกเพราะ hₜ และ xₜ ที่เป็นบวกสามารถแสดงบนสเกล log ที่ไม่จำกัด และเมื่อนำค่าพยากรณ์ความแปรปรวนไปยกกำลังด้วยฟังก์ชัน exp ก็จะได้ค่าบวก ดังนั้น ω เป็นค่าคงที่ของสมการ log ความแปรปรวน ไม่ใช่ความแปรปรวนระยะยาวโดยตัวมันเอง ในแบบจำลองพื้นฐานจะประมาณค่าพารามิเตอร์ร่วมกัน แทนที่จะอ่านแต่ละตัวเป็นมาตรวัดแยกจากกัน

การแทนสมการการวัด ณ t−1 ลงในสมการปรับปรุงความแปรปรวนแสดงให้เห็นว่าตัววัดที่เกิดขึ้นจริงป้อนกลับเข้า log ความแปรปรวนอย่างไร:

\[ \log hₜ = (ω + γξ) + (β + γφ)\log hₜ₋₁ + γτ(zₜ₋₁) + γuₜ₋₁ \]

สำหรับสเปก (1,1) นี้ ค่าความคงทนของ log ความแปรปรวนสรุปด้วย β + γφ ไม่ใช่ β เพียงตัวเดียว ความสัมพันธ์ในการวัดมีส่วนในวงจรป้อนกลับ เพราะความแปรปรวนก่อนหน้าที่สูงขึ้นสัมพันธ์กับตัววัดที่เกิดขึ้นจริงที่สูงขึ้น แล้วตัววัดนั้นจะเข้าสู่การปรับปรุงครั้งถัดไป พีชคณิตนี้ช่วยตีความค่าสัมประสิทธิ์ที่ประมาณได้ แต่ไม่ได้พิสูจน์ภาวะคงตัวของ Realized GARCH ทุกรูปแบบขยาย การอนุมานต้องใช้ข้อจำกัดที่ตรงกับสเปกที่ประมาณจริง

Hansen, Huang และ Shek เสนอรูปแบบเชิงเส้นและ log-linear ของแบบจำลองร่วมนี้ พร้อมแสดงโครงสร้างสามสมการไว้ในบทความ (2012) ลำดับค่าล่าช้า ตัววัดที่เกิดขึ้นจริง ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข และสมมติฐานของ innovation ที่แน่นอน ต้องอ้างอิงจากสเปกที่กำลังประมาณ

สมการการวัดช่วยอธิบายว่าทำไมตัววัดที่เกิดขึ้นจริงจึงเคลื่อนไหวไปพร้อมกับทั้งความแปรปรวนแฝงและช็อกของผลตอบแทน ฟังก์ชัน leverage ที่ใช้กันทั่วไปคือ

\[ τ(zₜ) = τ₁zₜ + τ₂(zₜ² − 1) \]

พจน์เชิงเส้นและพจน์กำลังสองที่จัดให้อยู่รอบศูนย์อาจใช้แทนความสัมพันธ์แบบไม่สมมาตรระหว่างช็อกของผลตอบแทนกับตัววัดที่เกิดขึ้นจริง สัมประสิทธิ์เป็นตัวกำหนดรูปร่างความสัมพันธ์; สูตรเพียงอย่างเดียวไม่ได้พิสูจน์ว่าผลตอบแทนติดลบทำให้เกิดความผันผวนในอนาคต

ในรูปแบบพื้นฐานของบทความ zₜ และ uₜ เป็น innovation คนละตัว zₜ ถูกปรับมาตรฐาน และ innovation ทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน นี่เป็นสเปกทางสถิติที่คำนวณได้สะดวก ไม่ใช่หลักฐานว่าผลตอบแทนตลาดหรือข้อผิดพลาดจากการวัดมีการแจกแจงแบบใดแบบหนึ่งในทุกตัวอย่าง สามารถใช้ Gaussian quasi-likelihood เพื่อประมาณค่าโดยไม่ยืนยันว่าการแจกแจงปกติเป็นข้อเท็จจริง

สมการนี้ยังแยก Realized GARCH ออกจาก GARCH-X ด้วย GARCH-X อาจใส่ตัววัดที่สังเกตได้ในสมการปรับปรุงความแปรปรวน แต่ไม่ระบุพลวัตของตัววัดเอง Realized GARCH จำลองตัววัดที่เกิดขึ้นจริงด้วย จึงรองรับการพยากรณ์หลายช่วงเมื่อยังไม่ทราบค่าตัววัดในอนาคต แบบจำลองอธิบายความสัมพันธ์ทางสถิติร่วมกัน ไม่ได้ทำให้ตัววัดที่เกิดขึ้นจริงกลายเป็นสาเหตุจากภายนอก

สมมติว่าแบบจำลอง log-linear ที่ประมาณได้มี ω = −0.7824, β = 0.75 และ γ = 0.15 เมื่อสิ้นสุดช่วง t ให้ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขปัจจุบัน hₜ = 0.0004 และตัววัดที่เกิดขึ้นจริงที่สังเกตได้ xₜ = 0.0009 ค่าทั้งหมดเป็นสมมติ เป็นบวก และใช้สเกลความแปรปรวนของผลตอบแทนทศนิยมรายวันเดียวกัน

ใช้สมการความแปรปรวนเพื่อปรับการพยากรณ์ของช่วง (t+1):

\[ \begin{aligned} \log hₜ₊₁ &= −0.7824 + 0.75\log(0.0004) + 0.15\log(0.0009) \\ &\approx −7.7024 \\ hₜ₊₁ &= \exp(−7.7024) \approx 0.0004517 \end{aligned} \]

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบมีเงื่อนไขที่ได้คือ √0.0004517 ≈ 0.02125 หรือประมาณ 2.13% สำหรับช่วงผลตอบแทนที่ระบุ ตัววัดที่เกิดขึ้นจริงส่งผลต่อการพยากรณ์ความแปรปรวนช่วงถัดไปผ่านสัมประสิทธิ์ที่ประมาณได้; การคำนวณนี้ไม่ได้ประมาณสัมประสิทธิ์ใหม่ และไม่ได้ใช้สมการการวัดเพื่อกล่าวว่า xₜ เท่ากับ hₜ

ตัวอย่างนี้แสดงเฉพาะการคำนวณ ไม่มีความไม่แน่นอนของพารามิเตอร์หรือข้อมูลนอกตัวอย่าง จึงไม่ได้บอกถึงนัยสำคัญทางสถิติหรือว่าแบบจำลองนี้ดีกว่าค่ามาตรฐานหรือไม่ <!-- learn:illustration -->

การประมาณค่าต้องใช้ข้อมูลผลตอบแทนและตัววัดที่เกิดขึ้นจริงซึ่งสอดคล้องกันตามเวลา likelihood หรือ quasi-likelihood จะรวมสมการผลตอบแทนกับสมการการวัดไว้ด้วยกัน ดังนั้น การเปลี่ยนสมมติฐานเกี่ยวกับการแจกแจงหรือโครงสร้างการพึ่งพากันของ innovation จึงอาจเปลี่ยนพารามิเตอร์ที่ประมาณได้ ควรระบุวิธีประมาณค่า สมมติฐานของ innovation วิธีจัดการค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข ตัววัดที่เกิดขึ้นจริง และกฎทำความสะอาดข้อมูล ไม่ใช่แสดงเพียงสมการเวียนเกิดโดยไม่ใส่แบบจำลองการวัด

เมื่อแต่ละช่วงปิดแล้ว แบบจำลองใช้ผลตอบแทนและตัววัดที่เกิดขึ้นจริงรายการใหม่เพื่อปรับสถานะและสร้างการพยากรณ์ความแปรปรวนช่วงถัดไปได้ สำหรับการพยากรณ์หลายช่วง ค่า x ในอนาคตยังไม่ทราบ สเปก Realized GARCH ที่สมบูรณ์มีพลวัตของตัววัดที่เกิดขึ้นจริง ดังนั้นการพยากรณ์ต้องคำนึงถึงการแจกแจงหรือค่าคาดหมายในอนาคต แทนการนำค่าที่เกิดขึ้นจริงในอนาคตจากตัวอย่างทดสอบมาใส่

เป้าหมายของการประเมินต้องตรงกับการพยากรณ์ เช่น ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของผลตอบแทนช่วงถัดไป หรือตัววัดที่เกิดขึ้นจริงในช่วงเวลาเดียวกัน จัดเป้าหมาย ตัวแทน หน่วย ช่วงพยากรณ์ และวันประเมินให้ตรงกัน likelihood ในตัวอย่างใช้เปรียบเทียบความพอดีของแบบจำลอง แต่ใช้แทนการทดสอบพยากรณ์ตามลำดับเวลาไม่ได้

บันทึกการพยากรณ์แต่ละครั้ง ณ เวลาที่สามารถสร้างได้ ประมาณค่าใหม่ด้วยข้อมูลที่มีอยู่ ณ จุดเริ่มพยากรณ์นั้นเท่านั้น แล้วเปรียบเทียบกับแบบจำลองฐานที่เลือกไว้ล่วงหน้าบนตัวอย่างร่วม เลือก loss ก่อนดูผลและรายงานผลต่าง loss แบบจับคู่พร้อมค่าประมาณความไม่แน่นอนที่คำนึงถึงการพึ่งพากันเมื่อจำเป็น คู่มือ QLIKE และ squared error อธิบายว่าคุณสมบัติของตัวแทนและการเลือก loss ส่งผลต่อการเปรียบเทียบอย่างไร

ประโยชน์ของแบบจำลองขึ้นอยู่กับตัววัดและช่วงเวลาที่ป้อนเข้า ตัววัดที่สร้างจากราคาระหว่างวันอาจไม่รวมการเคลื่อนไหวข้ามคืน แม้ rₜ จะเป็นผลตอบแทนจากปิดถึงปิด บทความต้นฉบับอนุญาตให้หน้าต่างของตัววัดที่เกิดขึ้นจริงสั้นกว่าช่วงของผลตอบแทน และสมการการวัดไม่ได้บังคับให้ xₜ เป็นตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงของ hₜ ความยืดหยุ่นนี้ไม่ได้ทำให้ช่วงเวลาที่ไม่ตรงกันไม่มีผล: การตีความ φ เป้าหมายการพยากรณ์ และการเปรียบเทียบยังขึ้นอยู่กับช่วงเวลาที่ใช้

บทความยกตัวอย่างที่ชัดเจน: ตัววัดจากเวลาซื้อขายประมาณ 6.5 ชั่วโมงจับคู่กับความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของผลตอบแทนจากปิดถึงปิดในช่วง 24 ชั่วโมง ในการตั้งค่านี้ ผู้เขียนคาดว่า φ < 1 เพราะตัววัดระหว่างวันครอบคลุมเพียงบางส่วนของช่วงผลตอบแทนทั้งหมด ค่า φ ที่ประมาณได้จึงผูกกับตัววัด ช่วงซื้อขาย และนิยามผลตอบแทน ไม่ใช่ค่าปรับเทียบสากลที่ย้ายไปใช้กับสินทรัพย์หรือการสุ่มตัวอย่างแบบอื่นได้โดยไม่เปลี่ยนแปลง

ข้อมูลความถี่สูงอาจมี bid–ask bounce การซื้อขายไม่พร้อมกัน ความไม่ต่อเนื่องของราคา ราคาที่เสนอไว้แต่ล้าสมัย และข้อผิดพลาดในการบันทึก คู่มือ realized volatility แบบสองสเกล อธิบายตัวประมาณค่าแบบหนึ่งที่ออกแบบมาเพื่อจัดการกับ noise จาก market microstructure ความถี่สูงบางส่วน Hansen และ Lunde แสดงว่า noise จาก market microstructure อาจส่งผลอย่างมีนัยสำคัญต่อการวัด realized variance (2006) การใช้ตัวแทนที่ต่างกันอาจเปลี่ยนความพอดี ค่าพยากรณ์ และค่าประมาณ leverage

เนื่องจากแบบจำลอง log-linear ใช้ log xₜ ตัววัดที่เลือกจึงต้องเป็นบวกอย่างเคร่งครัด หากข้อมูลมีค่าเป็นศูนย์หรือติดลบ การแปลง การกรอง หรือการกำหนดค่าขั้นต่ำจะเปลี่ยนแบบจำลองและต้องให้เหตุผลพร้อมเปิดเผย ตรวจสอบว่าตัววัดรวม jump หรือไม่ ครอบคลุมช่วงซื้อขายใด จัดการช่วงข้อมูลที่หายไปอย่างไร และหน่วยตรงกับความแปรปรวนผลตอบแทนหรือไม่ การมีข้อมูลระหว่างวันมากขึ้นไม่ได้ขจัดข้อผิดพลาดในการวัดโดยอัตโนมัติ

GARCH ทั่วไปใช้ผลตอบแทนล่าช้าหรือ innovation ยกกำลังสองและความแปรปรวนล่าช้า Realized GARCH เพิ่มตัววัดที่เกิดขึ้นจริงเข้าไปในพลวัตความแปรปรวนและจำลองตัววัดนั้นด้วยสมการที่เชื่อมกับความแปรปรวนแฝงและช็อกผลตอบแทน GARCH-X มักปฏิบัติต่อตัววัดที่เพิ่มเข้ามาเป็นอินพุตภายนอก การถดถอย MIDAS ใช้เส้นโค้งน้ำหนักค่าล่าช้าที่มีพารามิเตอร์กับข้อมูลต่างความถี่ ส่วน GARCH-MIDAS เป็นแบบจำลองผสมที่เกี่ยวข้องกันแต่ต้องอ่านสมการแยกต่างหาก ชื่อเหล่านี้ใช้แทนกันไม่ได้

แบบจำลองพยากรณ์ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขหรือตัววัดที่เกิดขึ้นจริงตามนิยาม ภายใต้สมมติฐานของแบบจำลอง ไม่ได้พยากรณ์ทิศทางผลตอบแทน พิสูจน์ว่าตัววัดระหว่างวันเป็นสาเหตุของความแปรปรวนวันถัดไป หรือแสดงว่ากลยุทธ์จะทำกำไร likelihood ในตัวอย่างที่สูงไม่รับประกันว่าการพยากรณ์ในอนาคตจะดีกว่า ข้อสรุปเกี่ยวกับการซื้อขายต้องมีสัญญาณที่กำหนดแยกต่างหากและการประเมินหลังหักต้นทุน รวมถึง spread ค่าธรรมเนียม ผลกระทบต่อตลาด ต้นทุนเงินทุน และข้อจำกัดความเสี่ยง

รายงานที่ทำซ้ำได้ควรระบุสินทรัพย์และตัวอย่าง นิยามผลตอบแทนและค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข วิธีสร้างตัววัดที่เกิดขึ้นจริงและช่วงซื้อขาย สมการแบบจำลองและลำดับค่าล่าช้า สมมติฐานของ innovation ช่วงประมาณค่า จุดเริ่มต้นและช่วงเวลาพยากรณ์ แบบจำลองฐาน loss ที่ใช้ให้คะแนน และวิธีประเมินความไม่แน่นอน ตรวจสอบความไวต่อทางเลือกของตัววัดที่สมเหตุผลและเปิดเผยการตัดข้อมูลหรือการปรับเพื่อให้ค่าเป็นบวก