QLIKE เทียบกับความคลาดเคลื่อนกำลังสองในการพยากรณ์ความผันผวน: ตัวแทนที่มีสัญญาณรบกวน

แบบจำลองความผันผวนพยากรณ์ว่าผลตอบแทนในอนาคตอาจกระจายกว้างเพียงใด ไม่ได้พยากรณ์ว่าผลตอบแทนจะเป็นบวกหรือลบ ก่อนประเมินให้กำหนดเป้าหมายก่อน เช่น conditional variance ของผลตอบแทนวันถัดไปในหน่วยจุดฐานยกกำลังสอง การพยากรณ์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน การพยากรณ์ variance และค่าประมาณ realized variance ระหว่างวันเกี่ยวข้องกัน แต่ใช้แทนกันไม่ได้หากไม่ระบุการแปลงค่าและช่วงเวลาที่ต้องการพยากรณ์

คำถามนี้แยกจากวิธีที่แบบจำลองสร้างการพยากรณ์ คู่มือ GARCH อธิบายวิธีหนึ่งที่ใช้ผลตอบแทนในอดีตอัปเดต conditional variance ส่วนบทความนี้เริ่มหลังจากมีแบบจำลองตั้งแต่สองแบบขึ้นไปออกการพยากรณ์แล้ว และพิจารณาว่าควรให้คะแนนเมื่อเทียบกับค่าที่วัดความแปรปรวนซึ่งเกิดขึ้นจริงแต่ไม่สมบูรณ์อย่างไร

คำว่า “การพยากรณ์ที่ดีที่สุด” ไม่มีความหมายเดียวจนกว่าจะกำหนดเป้าหมาย ตัวอย่างประเมิน และฟังก์ชัน loss แบบจำลองเดียวกันอาจอยู่อันดับแรกภายใต้ loss หนึ่งและอันดับถัดไปภายใต้อีก loss เพราะแต่ละแบบให้น้ำหนักกับความคลาดเคลื่อนต่างกัน

ให้ vₜ เป็น conditional variance ที่สังเกตไม่ได้ของผลตอบแทนเป้าหมาย hₜ เป็นค่าพยากรณ์ที่จัดทำจากข้อมูลซึ่งมีอยู่ก่อนผลตอบแทนนั้น และ xₜ เป็นตัวแทนที่สังเกตได้สำหรับการประเมิน ตัวแทนที่พบได้บ่อยคือผลตอบแทนยกกำลังสอง ซึ่งเป็นตัวแทนของความแปรปรวนที่ไม่เอนเอียงแบบมีเงื่อนไขก็ต่อเมื่อค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขของผลตอบแทนเป็นศูนย์ หากค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขไม่เป็นศูนย์ ผลตอบแทนยกกำลังสองดิบจะประมาณค่าโมเมนต์อันดับสองแบบมีเงื่อนไข ไม่ใช่ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข อีกทางเลือกหนึ่งคือสร้างตัวแทนจากผลตอบแทนหลังหักค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขออกแล้ว ส่วน realized variance ที่คำนวณจากผลตอบแทนระหว่างวันอาจให้ข้อมูลการเคลื่อนไหวภายในช่วงซื้อขายได้มากกว่า แต่ก็ยังเป็นการวัดช่วงเวลาหนึ่งและขึ้นกับกติกาการสุ่มตัวอย่างและข้อมูลราคา

การหักค่าเฉลี่ยไม่ได้ขจัดอคติของ proxy โดยอัตโนมัติเมื่อมีการประมาณค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข หาก mₜ = E[rₜ | Fₜ₋₁], hₜ = Var(rₜ | Fₜ₋₁) และกำหนดค่าเฉลี่ยประมาณ m̂ₜ จากข้อมูลที่มี ณ จุดเริ่มพยากรณ์ จะได้ E[(rₜ − m̂ₜ)² | Fₜ₋₁] = hₜ + (mₜ − m̂ₜ)² ดังนั้น ความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่าเฉลี่ยที่พยากรณ์ได้จะเพิ่มพจน์ที่ไม่เป็นลบให้ proxy ระบุวิธีประมาณค่าเฉลี่ยและว่า proxy มุ่งวัด variance หรือโมเมนต์อันดับสอง ก่อนอ้างผลเรื่องการไม่เอนเอียงแบบมีเงื่อนไข

xₜ และ hₜ ต้องตรงกันทั้งสินทรัพย์ นิยามผลตอบแทน ช่วงเวลา ระยะพยากรณ์ และหน่วย หาก xₜ วัดเป็น bp² ค่า hₜ ก็ต้องเป็น bp² และ squared-error loss จะมีหน่วย bp⁴ อย่านำการพยากรณ์ conditional variance แบบปิดวันถึงปิดวันไปประเมินด้วย realized measure ที่ตัดช่วงข้ามคืนออก เว้นแต่นั่นคือเป้าหมายที่ตั้งใจไว้

เก็บค่าตัวแทนและการพยากรณ์ของทุกแบบจำลองไว้สำหรับจุดเริ่มพยากรณ์เดียวกัน หากแบบจำลองใดไม่มีค่าพยากรณ์ในบางวัน ให้กำหนดตัวอย่างร่วมกันหรือกติกาจัดการข้อมูลหายล่วงหน้า การเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยจากคนละวันอาจปะปนประสิทธิภาพของแบบจำลองกับสภาวะตลาดที่แตกต่างกัน

สำหรับตัวแทน variance ที่ไม่เป็นลบ xₜ และการพยากรณ์ variance ที่เป็นบวก hₜ, squared-error loss คือ

L_MSE(xₜ, hₜ) = (xₜ − hₜ)²

QLIKE loss คำนวณได้ดังนี้

L_QLIKE(xₜ, hₜ) = log(hₜ) + xₜ / hₜ

คะแนนยิ่งต่ำยิ่งดี เมื่อ xₜ เป็นบวกอย่างเคร่งครัด อาจเขียน QLIKE ในรูปอัตราส่วนที่สมมูลกันได้เป็น xₜ/hₜ − log(xₜ/hₜ) − 1 ทั้งสองสูตรต่างกันเพียงพจน์ที่ขึ้นกับตัวแทนที่สังเกตได้แต่ไม่ขึ้นกับการพยากรณ์ จึงจัดอันดับเหมือนกันเมื่อใช้ข้อมูลตัวอย่างเดียวกัน รูป log(hₜ) ยังนิยามได้เมื่อ xₜ เป็นศูนย์ ตราบใดที่ hₜ เป็นบวก Patton ให้นิยาม loss สำหรับ variance เหล่านี้และศึกษาพฤติกรรมเมื่อใช้ตัวแทนที่ไม่สมบูรณ์ (Patton, 2011)

QLIKE สอดคล้องกับคะแนน quasi-likelihood แบบเกาส์เซียนสำหรับการพยากรณ์ variance (Hansen และ Lunde, 2005) ความเชื่อมโยงนี้ไม่ได้พิสูจน์ว่าผลตอบแทนมีการแจกแจงแบบเกาส์เซียน และคะแนนต่ำก็ไม่ได้ยืนยันสมมติฐานการแจกแจงของแบบจำลอง Squared error วัดกำลังสองของช่องว่างสัมบูรณ์ระหว่างตัวแทนกับการพยากรณ์ สิ่งสำคัญคือเลือก scoring rule ให้ตรงกับเป้าหมายการเปรียบเทียบและสมมติฐานเกี่ยวกับตัวแทน

Squared error มีหน่วยเป็น variance ยกกำลังสองและเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อค่าตัวแทนกับการพยากรณ์ห่างกันมาก ตัวแทนที่มีค่าสูงมากเพียงไม่กี่จุดจึงอาจครอบงำคะแนนเฉลี่ยได้ วิธีนี้อาจเหมาะเมื่อความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ขนาดใหญ่ในหน่วย variance ควรถูกลงโทษมากกว่า แต่ผลลัพธ์จะไวต่อค่าสังเกตสุดขั้ว

การคูณ xₜ และ hₜ ด้วยค่าคงที่สำหรับแปลงหน่วย c ที่เป็นบวกค่าเดียวกัน จะเพิ่ม log(c) เข้าไปใน log(hₜ) + xₜ/hₜ ค่าที่เพิ่มนี้เหมือนกันสำหรับการพยากรณ์ทุกแบบที่ประเมินจากชุดตัวแทนเดียวกัน อันดับจึงไม่เปลี่ยน แต่ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ลอการิทึมขึ้นอยู่กับหน่วยที่เลือก QLIKE ตอบสนองต่ออัตราส่วนระหว่างการพยากรณ์กับตัวแทนผ่าน xₜ/hₜ และต่อขนาดของ hₜ ผ่าน log(hₜ) หากการพยากรณ์ต่ำกว่าตัวแทนขนาดใหญ่ไปมาก พจน์อัตราส่วนจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว การพยากรณ์สูงเกินไปก็มีต้นทุนจาก log(hₜ) ที่เพิ่มขึ้น แต่จะเพิ่มช้ากว่าเมื่อเทียบกับความคลาดเคลื่อนเชิงสัดส่วนที่ใกล้เคียงกัน QLIKE ไม่ได้ทนต่อ outlier: ตัวแทนที่สูงมากยังทำให้ xₜ/hₜ เพิ่มขึ้น

ไม่มี loss ใดชนะสำหรับทุกการตัดสินใจ Squared error ให้น้ำหนักมากกับความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ขนาดใหญ่ในหน่วย variance ส่วน QLIKE มีรูปแบบการให้น้ำหนัก relative error ที่ต่างออกไป ผลเรื่อง proxy-robustness ของ Patton ไม่ได้หมายความว่า loss สองแบบนี้จะจัดอันดับแบบจำลองเหมือนกันหรือไม่มีแบบใดได้รับผลจาก outlier

สมมติว่าตัวแทน variance ที่สังเกตได้คือ x = [1, 4] bp² แบบจำลอง A พยากรณ์ hᴬ = [1, 1] bp² ส่วนแบบจำลอง B พยากรณ์ hᴮ = [4, 2] bp² ตัวเลขเป็นตัวอย่างสมมติที่ตั้งขึ้นเพื่อแสดงว่าการเลือก loss อาจเปลี่ยนอันดับได้

MSE เลือกแบบจำลอง A เพราะคะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 4.5 bp⁴ เทียบกับ 6.5 bp⁴ สำหรับ B ส่วน QLIKE เลือกแบบจำลอง B เพราะคะแนนเฉลี่ยประมาณ 2.165 เทียบกับ 2.5 สำหรับ A สองช่วงเวลานี้แสดงเพียงการคำนวณ ไม่เพียงพอสำหรับประมาณความไม่แน่นอนหรือพิสูจน์ว่าการพยากรณ์หนึ่งดีกว่า และไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับกลยุทธ์ซื้อขาย <!-- learn:illustration -->

ตัวแทนความผันผวนอาจมี noise แต่ยังไม่เอนเอียงเมื่อกำหนดเงื่อนไขตามข้อมูล ให้ E[xₜ | Fₜ₋₁] = vₜ โดย Fₜ₋₁ คือข้อมูลที่มีอยู่เมื่อทำการพยากรณ์ สำหรับค่าพยากรณ์ hₜ ที่สร้างจากข้อมูลนั้น ค่า squared-error loss แบบมีเงื่อนไขที่คาดหมายคือ

E[(xₜ − hₜ)² | Fₜ₋₁] = (vₜ − hₜ)² + Var(xₜ | Fₜ₋₁)

พจน์ variance ไม่ได้ขึ้นกับว่ากำลังให้คะแนนค่าพยากรณ์ใด จึงเพิ่ม MSE ที่คาดหมายให้ทุกแบบจำลองเท่ากันและหักล้างกันเมื่อเปรียบเทียบ loss ที่คาดหมาย สำหรับ QLIKE ความไม่เอนเอียงแบบมีเงื่อนไขให้ผลดังนี้

E[log(hₜ) + xₜ/hₜ | Fₜ₋₁] = log(hₜ) + vₜ/hₜ

นี่คือคะแนนเดียวกับเมื่อใช้ latent variance แทนตัวแทน ภายใต้เงื่อนไขนี้ loss แต่ละแบบรักษาอันดับที่คาดหมายของการพยากรณ์ variance ที่แข่งขันกันเมื่อเทียบกับเป้าหมายแฝง Patton (2011) เรียกคุณสมบัตินี้ว่าการจัดอันดับที่ robust ต่อตัวแทน ซึ่งหมายถึงการรักษาอันดับที่คาดหมายเมื่อมี noise ไม่ใช่ความทนทานต่อ outlier

ผลนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่ามีข้อมูลแบบมีเงื่อนไขชุดเดียวกัน ตัวแทนไม่เอนเอียงแบบมีเงื่อนไข ค่าพยากรณ์สำหรับ QLIKE เป็นบวก และ loss ที่คาดหมายมีค่าจำกัด ไม่ได้หมายความว่า MSE กับ QLIKE จะจัดอันดับแบบจำลองเหมือนกัน ดังตัวอย่างสองช่วงเวลา loss ทั้งคู่คำนวณจากข้อมูล noise ชุดเดียวกัน แต่ให้น้ำหนักกับความคลาดเคลื่อนต่างกัน

การรักษาอันดับที่คาดหมายไม่ได้รับประกันว่าทุกตัวอย่างที่สังเกตได้จะจัดอันดับเหมือนการใช้ latent variance noise ของตัวแทนเพิ่มความผันผวนของ loss ที่สังเกตได้และอาจลด power ของการเปรียบเทียบการพยากรณ์ หากช่วงประเมินสั้น ค่าตัวแทนที่บังเอิญสูงหรือต่ำเพียงไม่กี่จุดอาจสลับอันดับแบบจำลองได้ แม้ความไม่เอนเอียงแบบมีเงื่อนไขจะเป็นจริงโดยเฉลี่ย

การรับประกันยังใช้ไม่ได้หากตัวแทนมีอคติแบบมีเงื่อนไขเมื่อเทียบกับเป้าหมายที่กำหนด Realized variance ความถี่สูงอาจได้รับผลจาก bid–ask bounce ราคาเสนอซื้อขายที่ล้าสมัยหรือไม่ตรงเวลา ความถี่การสุ่มตัวอย่าง และการไม่รวมผลตอบแทนข้ามคืน ตัวแทนที่มุ่งวัด intraday integrated variance อาจไม่ใช่ตัวแทนไม่เอนเอียงของ conditional variance แบบปิดวันถึงปิดวัน คู่มือการคำนวณ realized volatility อธิบายการเลือกวิธีสร้างตัววัด ส่วน คู่มือ realized volatility แบบสองสเกล อธิบายตัวประมาณค่าแบบหนึ่งที่ออกแบบมาเพื่อจัดการกับ noise จาก market microstructure ความถี่สูงบางส่วน ข้อมูลของ Hansen และ Lunde (2006) แสดงว่า noise จาก market microstructure อาจมีผลต่อการวัด realized variance (Hansen and Lunde, 2006)。

“Robust” ในที่นี้มีความหมายจำกัด: เมื่อ proxy ไม่เอนเอียงแบบมีเงื่อนไข อันดับที่คาดหมายจะคงเดิม ไม่ได้หมายความว่าคะแนนในตัวอย่างจะละเลย outlier ตัววัด realized volatility ทุกชนิดไม่เอนเอียง หรือการเปรียบเทียบปลอดจากปัญหาเป้าหมายไม่ตรงกัน ระบุว่า proxy วัดอะไรและสมมติฐานใดเชื่อมมันกับ vₜ

สำหรับการพยากรณ์สองค่า hᴬₜ และ hᴮₜ ที่กำหนด ณ จุดเริ่มเดียวกัน ผลต่าง MSE ที่คาดหมายคือ E[L_MSE(xₜ,hᴬₜ) − L_MSE(xₜ,hᴮₜ) | Fₜ₋₁] = (vₜ − hᴬₜ)² − (vₜ − hᴮₜ)² ภายใต้เงื่อนไข proxy เดียวกัน ผลต่าง QLIKE ที่คาดหมายคือ log(hᴬₜ) + vₜ/hᴬₜ − log(hᴮₜ) − vₜ/hᴮₜ สมการเหล่านี้แสดงว่าสิ่งที่ proxy robustness ตัดออกคือ noise ส่วนเกินในคะแนนคาดหมายของ proxy อย่างไรก็ตาม การเปรียบเทียบการพยากรณ์ยังต่างกัน เพราะ MSE และ QLIKE กำหนดต้นทุนให้ความคลาดเคลื่อนไม่เหมือนกัน

หลังเลือกคะแนนแล้ว ให้คำนวณผลต่าง loss แบบจับคู่สำหรับจุดเริ่มพยากรณ์ที่ตรงกันทุกจุด เมื่อ dₜ = L_A,ₜ − L_B,ₜ ค่าเฉลี่ยเป็นบวกหมายถึง B ได้เปรียบ เพราะ loss ของ B ต่ำกว่า การทดสอบ Diebold–Mariano ใช้อนุกรมเวลาของผลต่างแบบจับคู่เพื่อตรวจว่าค่าคาดหมายของผลต่างเป็นศูนย์หรือไม่ โดยไม่ได้เลือกว่าจะใช้ QLIKE หรือ MSE และไม่ได้กำหนดว่าเป้าหมายใดสำคัญ คู่มือ Diebold–Mariano อธิบายกรอบการอนุมานที่กว้างขึ้น

หากช่วงพยากรณ์หลายงวดซ้อนทับกัน หรือผลต่างคะแนนมีสหสัมพันธ์ตามเวลา ให้ใช้ค่าคลาดเคลื่อนมาตรฐานที่คำนึงถึงการพึ่งพากัน เช่น ค่าประมาณ HAC ที่เหมาะสม Newey และ West (1987) เสนอค่าประมาณเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม HAC แบบ positive semi-definite ระบุช่วงพยากรณ์ จุดเริ่มประเมิน เครื่องหมายของผลต่าง loss วิธีประมาณความแปรปรวนร่วม และ kernel กับ bandwidth เมื่อเกี่ยวข้อง ค่า p ที่ต่ำไม่ได้แก้ปัญหา proxy ที่มีอคติหรือไม่ตรงกับเป้าหมาย

ใช้การประเมินนอกตัวอย่างตามลำดับเวลา และบันทึกค่าพยากรณ์ที่แต่ละแบบจำลองจะสร้างขึ้นจริง ณ จุดเริ่มแต่ละจุด กำหนดเป้าหมาย วิธีสร้าง proxy ช่วงพยากรณ์ หน่วย ตัวอย่างร่วม และ loss ก่อนดูว่าแบบจำลองใดได้คะแนนดีกว่า บันทึกช่วงประมาณค่า กฎการประมาณค่าใหม่ การจัดการข้อมูลที่หายไป และช่วงประเมินถูกนำกลับไปใช้ปรับแบบจำลองซ้ำหรือไม่ หากเปรียบเทียบทั้ง MSE และ QLIKE แต่รายงานเฉพาะผู้ชนะ ให้เปิดเผยการเลือกนี้แทนการนำเสนอเสมือนเป็นการทดสอบเดียวที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

รายงานค่าเฉลี่ย loss ของแต่ละแบบจำลอง ผลต่างแบบจับคู่ ขนาดตัวอย่าง นิยาม proxy และวิธีอนุมาน QLIKE ต้องใช้ hₜ > 0; หากกำหนดค่าขั้นต่ำให้การพยากรณ์ ต้องกำหนดก่อนประเมินเพราะอาจเปลี่ยนคะแนน ตรวจสอบความไวต่อวิธีสร้าง proxy และการสุ่มตัวอย่างที่สมเหตุผล พร้อมระบุว่าการลองหลายตัวเลือกทำให้เกิดปัญหาการคัดเลือกได้เช่นกัน

loss ความผันผวนที่ต่ำกว่าวัดผลตามคะแนนและ proxy ที่เลือกไว้ ไม่ได้พิสูจน์ว่าตัวพยากรณ์เป็นสาเหตุของความผันผวน ผลตอบแทนมีการแจกแจงปกติ หรือกลยุทธ์ที่ใช้การพยากรณ์จะทำกำไรหลังหัก spread ค่าธรรมเนียม slippage ต้นทุนเงินทุน และข้อจำกัดความเสี่ยง ประเมินทักษะการพยากรณ์และผลการซื้อขายเป็นคนละข้อกล่าวอ้าง