ครึ่งชีวิตของ Ornstein–Uhlenbeck: การกลับสู่ค่าเฉลี่ยในการเทรด

สมมติว่าสเปรดอยู่สูงกว่าค่าเฉลี่ยระยะยาวที่ประมาณไว้ แบบจำลองการกลับสู่ค่าเฉลี่ยระบุว่าสเปรดที่คาดหมายมีแนวโน้มเคลื่อนกลับไปหาค่านั้น ครึ่งชีวิตตอบคำถามที่มีขอบเขตชัดเจนว่า ภายใต้แบบจำลองที่ประมาณแล้ว ต้องใช้เวลานานเท่าใดกว่าส่วนเบี่ยงเบนที่คาดหมายจะเหลือครึ่งหนึ่ง หากส่วนเบี่ยงเบนเริ่มต้นเท่ากับ 100 เบซิสพอยต์ และครึ่งชีวิตเท่ากับสี่ช่วงเวลา ค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขของแบบจำลองจะอยู่ที่ประมาณ 50 เบซิสพอยต์หลังผ่านไปสี่ช่วงเวลา

ข้อความนี้กล่าวถึงค่าคาดหมายจากเส้นทางที่เป็นไปได้หลายแบบ สเปรดที่เกิดขึ้นจริงอาจเพิ่มขึ้นก่อน ตัดผ่านค่าเฉลี่ยอย่างรวดเร็ว หรืออยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยนานกว่ามาก ครึ่งชีวิตยังขึ้นอยู่กับหน่วยการสังเกตด้วย ค่าจากข้อมูลรายวันมีหน่วยเป็นวัน ส่วนค่าจากข้อมูลรายชั่วโมงมีหน่วยเป็นชั่วโมง ควรระบุช่วงเวลาระหว่างการสุ่มตัวอย่างและแบบจำลองที่ใช้ประมาณความเร็วเสมอ

กระบวนการ OU ปัจจัยเดียวเขียนได้ดังนี้

\[ dX_t = \kappa(\mu-X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \]

โดย \(\mu\) คือค่าเฉลี่ยระยะยาว \(\kappa>0\) คือความเร็วในการกลับสู่ค่าเฉลี่ย \(\sigma\) กำหนดขนาดของความผันผวนสุ่มฉับพลัน และ \(W_t\) คือบราวเนียนโมชัน แรงลอยตัวชี้เข้าหา \(\mu\): เมื่อค่าอยู่เหนือค่าเฉลี่ย ทิศทางแบบมีเงื่อนไขจะลดลง และเมื่ออยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยจะเพิ่มขึ้น

ส่วนเบี่ยงเบนคาดหมายแบบมีเงื่อนไขเป็นไปตาม

\[ \mathbb{E}[X_{t+\tau}-\mu\mid X_t] = e^{-\kappa\tau}(X_t-\mu). \]

กำหนดตัวคูณให้เท่ากับครึ่งหนึ่ง \(e^{-\kappa h}=1/2\) แล้วแก้หาช่วงเวลาที่ผ่านไป จะได้

\[ h_{1/2}=\frac{\ln 2}{\kappa}. \]

สูตรครึ่งชีวิตไม่มี \(\sigma\) อยู่ด้วย ความผันผวนมีผลต่อการกระจายของเส้นทางแต่ละเส้นรอบค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไข ส่วน \(\kappa\) กำหนดอัตราการลดลงที่คาดหมายในแบบจำลองนี้ งานวิเคราะห์บราวเนียนโมชันของ Uhlenbeck และ Ornstein วางรากฐานคลาสสิกให้กระบวนการสุ่มชนิดนี้ ต่อมา Vasicek ใช้กระบวนการแบบ OU เพื่อจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น

เมื่อการสังเกตแต่ละครั้งห่างกันเท่ากับ \(\Delta\) ตัวอย่างที่ได้อย่างตรงแบบจากกระบวนการ OU เขียนได้เป็น

\[ X_{t+\Delta}-\mu = \phi(X_t-\mu)+\eta_{t+\Delta}, \qquad \phi=e^{-\kappa\Delta}. \]

สำหรับแบบจำลอง OU สเกลาร์ที่ \(\kappa>0\) จะได้ \(0<\phi<1\) ครึ่งชีวิตแบบไม่ต่อเนื่องในหน่วยจำนวนครั้งที่สังเกตคือ

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(\phi)}, \]

ส่วนเวลาที่ผ่านไปจริงคำนวณได้โดยนำค่านี้คูณด้วย \(\Delta\) หากค่าสัมประสิทธิ์ AR(1) ที่ประมาณได้เป็นศูนย์หรือติดลบ หรือมีค่าตั้งแต่หนึ่งขึ้นไป การแปลงอย่างง่ายเป็นความเร็ว OU ที่เป็นบวกนี้ใช้ไม่ได้ อาจต้องใช้แบบจำลองพลวัตอื่น แทนการฝืนตีความให้เป็น OU

สเกลเวลาถูกกำหนดโดย \(\Delta\) สำหรับอนุกรมหุ้นรายวัน หนึ่งช่วงการสังเกตมักหมายถึงหนึ่งช่วงการซื้อขาย ไม่ใช่ 24 ชั่วโมงตามปฏิทิน ดังนั้นไม่ควรเรียกครึ่งชีวิตสี่ครั้งที่สังเกตว่าเป็นสี่วันตามปฏิทินโดยอัตโนมัติ หากช่วงนั้นคร่อมวันหยุดสุดสัปดาห์หรือวันหยุดตลาด หากแท่งข้อมูลมีระยะเวลาไม่สม่ำเสมอ เช่น สุ่มตัวอย่างตามเหตุการณ์หรือตามปริมาณซื้อขาย การแปลงที่สมมติช่วงคงที่อาจใช้ไม่ได้ ให้ระบุสินทรัพย์ ตารางการสุ่มตัวอย่าง และหน่วยที่รายงานว่าเป็นจำนวนครั้งที่สังเกต ช่วงการซื้อขาย หรือเวลาที่ผ่านไป แม้แต่แท่ง 15 นาทีสี่แท่งก็ไม่ได้หมายความว่าเวลานาฬิกาผ่านไปพอดีหนึ่งชั่วโมงเสมอ หากข้อมูลมีช่วงขาดหาย

สมมติว่าแบบจำลองสเปรดรายวันประมาณ \(\phi=0.84\) จากข้อมูลรายวันที่เว้นระยะเท่ากัน ค่านี้เป็นตัวเลขสมมติเพื่อการเรียนรู้ ไม่ใช่ค่าประมาณปัจจุบัน ความเร็วในการกลับสู่ค่าเฉลี่ยต่อวันคือ \(\kappa=-\ln(0.84)\approx0.1744\) ดังนั้น

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.84)}\approx3.98\text{ วันทำการ}. \]

หลังผ่านไปสี่วัน ช่องว่างที่คาดหมายจะเหลือ \(0.84^4\approx0.498\) เท่าของขนาดเริ่มต้น ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนเริ่มต้น 100 เบซิสพอยต์จะมีค่าคาดหมายแบบมีเงื่อนไขตามแบบจำลองประมาณ 49.8 เบซิสพอยต์หลังสังเกตสี่ครั้ง โดยยังไม่รวมความไม่แน่นอนของการประมาณหรือการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการ

ภาพด้านล่างแยกค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขที่ลดลงอย่างราบรื่นออกจากเส้นทางตัวอย่างที่ยังคงผันผวนรอบค่านั้น เป็นภาพแนวคิด ไม่ใช่ประวัติราคาจริงหรือคำกล่าวว่าสเปรดทุกชุดจะเคลื่อนไหวตามค่าเฉลี่ยที่แบบจำลองกำหนด

เริ่มจากระบุว่า \(X_t\) คืออะไร ส่วนเหลือจากการถดถอยคอยน์ทิเกรชัน ผลต่างราคา สเปรดของลอการิทึมราคา สัญญาณที่ปรับด้วยความผันผวน และสเปรดอัตราผลตอบแทนเป็นอนุกรมคนละชุด มีหน่วยและพลวัตต่างกัน ผลคอยน์ทิเกรชันอาจสนับสนุนว่าองค์ประกอบเชิงเส้นนิ่งภายใต้สมมติฐานที่กำหนด แต่ไม่ได้พิสูจน์ว่าส่วนเหลือนั้นเป็นกระบวนการ OU ที่มีพารามิเตอร์คงที่

กำหนดความถี่การสุ่มตัวอย่าง ช่วงข้อมูลสำหรับสร้างสเปรด ข้อกำหนดของค่าเฉลี่ย และโครงสร้างแล็กก่อนประมาณการลดลง AR(1) แบบธรรมดาอาจซ่อนสหสัมพันธ์อนุกรม ความผันผวนที่เปลี่ยนไป การกระโดด ผลจากจุลโครงสร้างตลาดระหว่างวัน หรือการเปลี่ยนระบอบ ตรวจสอบพฤติกรรมของส่วนเหลือและความเสถียรของพารามิเตอร์ พร้อมรายงานหากค่าประมาณขึ้นอยู่กับตัวอย่างเฉพาะ การเปรียบเทียบเชิงประจักษ์ของ Chan, Karolyi, Longstaff และ Sanders แสดงให้เห็นว่าแม้แต่อัตราดอกเบี้ยระยะสั้นก็อาจมีหลักฐานการกลับสู่ค่าเฉลี่ยที่อ่อนและขึ้นกับแบบจำลอง

สำหรับสเปรดที่ใช้เทรด ให้ประมาณพารามิเตอร์ด้วยข้อมูลที่มีอยู่ ณ วันสร้างสัญญาณเท่านั้น การคำนวณสเปรดหรือค่าเฉลี่ยใหม่โดยใช้ข้อมูลอนาคตทำให้เกิดอคติจากการมองไปข้างหน้า หากปรับเทียบความสัมพันธ์ใหม่ตามเวลา ให้อธิบายกำหนดการอัปเดตและประเมินกระบวนการทั้งหมดกับข้อมูลในภายหลัง แทนการถือว่าสัมประสิทธิ์ที่ประมาณได้เป็นค่าที่ทราบแน่นอน

การแปลงจาก \(\phi\) เป็นครึ่งชีวิตไม่เป็นเชิงเส้น เมื่อ \(\phi\) เข้าใกล้หนึ่งจากด้านล่าง \(\ln(\phi)\) จะเข้าใกล้ศูนย์ และครึ่งชีวิตโดยนัยจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของสัมประสิทธิ์ที่ประมาณได้จึงอาจทำให้เวลาที่รายงานเปลี่ยนไปมาก ตัวอย่างเช่น ค่า \(\phi=0.80\), \(0.84\) และ \(0.88\) ที่สมมติขึ้นให้ครึ่งชีวิตประมาณ 3.11, 3.98 และ 5.42 ครั้งที่สังเกต

รายงานความไม่แน่นอนของความเร็วหรือครึ่งชีวิตที่แปลงแล้ว โดยใช้วิธีอนุมานที่เหมาะกับตัวประมาณและตัวอย่าง หากช่วงความเชื่อมั่นของ \(\phi\) แตะหรือคร่อมหนึ่ง ช่วงดังกล่าวอาจไม่สนับสนุนครึ่งชีวิต OU แบบนิ่งที่เป็นบวกและมีค่าจำกัด อย่ารายงานเฉพาะค่าประมาณจุด และอย่าเลือกอนุกรมที่ดูเหมือนกลับเร็วที่สุดจากการค้นหาจำนวนมากโดยไม่คำนึงถึงการคัดเลือก ความคลาดเคลื่อนของการประมาณใกล้รากหนึ่งอาจมีผลมากกว่าความแม่นยำที่ตัวเลขครึ่งชีวิตค่าเดียวดูเหมือนจะบอก

เพื่อให้เห็นขนาดโดยประมาณ สมมติว่าช่วงความเชื่อมั่น 95% ของสัมประสิทธิ์แบบสุ่มตัวอย่างอยู่ที่ \( [0.78,0.92] \) ในช่วง OU แบบนิ่ง ครึ่งชีวิตที่แปลงแล้วจะเพิ่มขึ้นตาม \(\phi\) ดังนั้นช่วงนี้จึงแปลงเป็นประมาณ 2.79–8.31 ครั้งที่สังเกต แม้ค่าประมาณจุด \(0.84\) จะให้ 3.98 ตัวอย่างนี้เป็นเพียงภาพประกอบ ไม่ใช่ผลเชิงประจักษ์ หากช่วงสัมประสิทธิ์แตะหนึ่ง ขอบเขตบนของครึ่งชีวิตอาจไม่มีขีดจำกัด ส่วนค่าที่เท่ากับหรือมากกว่าหนึ่งอยู่นอกการแปลงแบบนิ่งนี้ อย่าตัดค่าเหล่านั้นออกเพื่อสร้างช่วงที่มีขอบเขตจำกัด วิธีประเมินความไม่แน่นอนควรสะท้อนการพึ่งพากันตามลำดับเวลาและการสร้างสเปรดที่ประมาณไว้ ส่วนการค้นหาจากคู่สินทรัพย์หรือช่วงข้อมูลจำนวนมากควรคำนึงถึงขั้นตอนการคัดเลือกด้วย

ครึ่งชีวิตติดตามขนาดคาดหมายแบบมีเงื่อนไขของส่วนเบี่ยงเบน ส่วนเวลาที่ตัดผ่านถามว่าเส้นทางสุ่มจะไปถึงระดับหนึ่ง เช่น ค่าเฉลี่ยที่ประมาณไว้หรือเกณฑ์ออก เมื่อใดเป็นครั้งแรก การแจกแจงของเวลาผ่านครั้งแรกขึ้นอยู่กับทั้งแรงลอยตัวและความผันผวน และอาจกระจายกว้าง งานวิเคราะห์การเก็งกำไรทางสถิติที่เหมาะที่สุดของ William Bertram พิจารณาระยะเวลาถือและผลตอบแทนผ่านการคำนวณเวลาผ่านครั้งแรก ซึ่งเป็นคนละสิ่งกับสูตรครึ่งชีวิตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

ระบบเทรดยังต้องมีกฎเข้าและออก ขนาดสถานะ ขีดจำกัดความเสี่ยง และแนวทางรับมือเมื่อความสัมพันธ์เดิมเสียไป สเปรดอาจเคลื่อนห่างจากค่าเฉลี่ยมากขึ้นก่อนจะกลับมา หรืออาจไม่กลับมาภายในช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง การคำนวณการลดลงที่คาดหมายไม่ได้กำหนดระดับตัดขาดทุน ไม่ได้ให้ความน่าจะเป็นที่จะถึงเป้ากำไรก่อนจุดตัดขาดทุน และไม่ได้ประมาณผลตอบแทนหลังหักค่าธรรมเนียม

ในการเทรดคู่สินทรัพย์ สิ่งที่นำมาสร้างแบบจำลองมักเป็นสเปรดที่ประกอบขึ้น ไม่ใช่สินทรัพย์ใดสินทรัพย์หนึ่งโดยลำพัง อัตราส่วนป้องกันความเสี่ยง สกุลเงิน การปรับตามเหตุการณ์ของบริษัท ต้นทุนเงินทุน ความพร้อมในการยืมหลักทรัพย์ และนโยบายปรับสมดุล ล้วนมีผลต่อสถานะที่เกิดขึ้นจริง ตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ระยะยาวของสเปรดยังสมเหตุสมผลในช่วงตรวจสอบที่เรียงตามเวลา เพราะครึ่งชีวิตที่ประมาณได้เร็วไม่สามารถแก้การเปลี่ยนแปลงเชิงโครงสร้าง

รวมส่วนต่างราคาเสนอซื้อและเสนอขาย ผลกระทบต่อตลาด ค่าธรรมเนียม ต้นทุนเงินทุนหรือการยืม และเวลาที่ต้องใช้ส่งคำสั่งทั้งสองขา ต้นทุนเหล่านี้เกิดขึ้นตามเส้นทางที่เกิดจริง ไม่ได้เกิดเฉพาะตลอดครึ่งชีวิตที่คาดหมาย การคัดเลือกจากคู่สินทรัพย์ ช่วงมองย้อน และความถี่การสุ่มตัวอย่างจำนวนมาก อาจทำให้ค่าประมาณสั้นที่บังเอิญได้ดูน่าเชื่อถือเกินจริง ผลเชิงประจักษ์ของ Chan และผู้ร่วมงานเกี่ยวกับแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยเตือนว่า รูปแบบการกลับสู่ค่าเฉลี่ยที่คุ้นเคยไม่ได้รับประกันว่าจะมีหลักฐานหนักแน่นในชุดข้อมูลใดชุดหนึ่ง

กรอบ OU ช่วยจัดระเบียบสมมติฐานเกี่ยวกับพลวัตที่คาดหมายของสเปรด ส่วนคำถามว่ากฎเทรดใช้ได้ผลหรือไม่เป็นคำถามเชิงประจักษ์อีกข้อหนึ่ง ซึ่งขึ้นอยู่กับความเสถียร ความไม่แน่นอน การส่งคำสั่ง และผลนอกตัวอย่าง

ระบุนิยามอนุกรม วิธีคำนวณราคาหรือผลตอบแทน ช่วงเวลาระหว่างการสุ่มตัวอย่าง ช่วงข้อมูล ค่าเฉลี่ยที่ประมาณได้ พารามิเตอร์ความเร็ว และพารามิเตอร์ความผันผวน บอกด้วยว่าสมการ OU เป็นแบบเวลาต่อเนื่องหรืออนุมานจากแบบจำลอง AR แบบไม่ต่อเนื่อง รายงานค่าสัมประสิทธิ์และความไม่แน่นอน อธิบายการแปลงเป็นครึ่งชีวิต และแสดงความไวต่อช่วงข้อมูลหรือช่วงสุ่มตัวอย่างทางเลือกที่สมเหตุสมผล

สำหรับการนำไปใช้เทรด ให้อธิบายวิธีประกอบสเปรด การอัปเดตพารามิเตอร์ ข้อมูลที่มี ณ แต่ละการตัดสินใจ และวิธีจัดการต้นทุนธุรกรรมกับกรณีที่สเปรดไม่ลู่เข้า นำเสนอครึ่งชีวิตในฐานะสรุปการลดลงที่คาดหมายตามแบบจำลอง พร้อมความไม่แน่นอนและหน่วย อย่าใช้ค่านี้เป็นสัญญาณเข้าออกหรือคำกล่าวอ้างความสามารถทำกำไรโดยลำพัง

บทความเรื่องบราวเนียนโมชันของ Uhlenbeck และ Ornstein ในปี 1930 วางพื้นฐานของกระบวนการสุ่มที่กลับสู่ค่าเฉลี่ย แบบจำลองโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยของ Vasicek90016-2) ใช้กระบวนการอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นแบบ OU Chan, Karolyi, Longstaff และ Sanders เปรียบเทียบ ข้อกำหนดของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นแบบเวลาต่อเนื่อง และรายงานว่าหลักฐานกับความเหมาะสมขึ้นอยู่กับการเลือกแบบจำลอง Bertram อนุมาน ผลลัพธ์ของการเก็งกำไรทางสถิติที่เหมาะที่สุดโดยใช้เวลาผ่านครั้งแรก ซึ่งแสดงว่าระยะเวลาการเทรดเป็นปริมาณอีกประเภทหนึ่ง อ่านเพิ่มเติมเรื่อง คอยน์ทิเกรชันกับสหสัมพันธ์ในการเทรดคู่สินทรัพย์, รากหนึ่งกับการกลับสู่ค่าเฉลี่ย และ การทดสอบคอยน์ทิเกรชัน Engle–Granger