อธิบายกระบวนการ Lévy และตัวชดเชยการกระโดด
ทำความเข้าใจการเพิ่มขึ้นแบบอิสระและคงที่ตามเวลา, Lévy triplet, การแยกส่วนแบบ Lévy–Itô, การกระโดดที่ชดเชยแล้ว, การใช้งานทางการเงิน และข้อจำกัดของแบบจำลอง
คำตอบโดยตรง
กระบวนการ Lévy มีการเพิ่มขึ้นแบบอิสระและคงที่ตามเวลา รวมถึงเส้นทางแบบ càdlàg ค่าดริฟต์ ความแปรปรวนแบบบราวเนียน และมาตรวัด Lévy อธิบายพฤติกรรมต่อเนื่องและการกระโดด ส่วนการชดเชยช่วยแยกความเข้มข้นของการกระโดดที่คาดการณ์ได้ออกจากสิ่งที่เกิดขึ้นอย่างไม่คาดคิด
การเพิ่มขึ้นแบบอิสระและคงที่ตามเวลากำหนดนาฬิกา
สำหรับกระบวนการ Lévy X การเพิ่มขึ้นบนช่วงที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นอิสระต่อกัน และการแจกแจงของ X_{t+h}-X_t ขึ้นอยู่กับ h เท่านั้น
ความต่อเนื่องเชิงสุ่มตัดความไม่ต่อเนื่องคงที่ออกไปในเชิงความน่าจะเป็น ขณะที่เวอร์ชันแบบ càdlàg ให้เส้นทางที่ต่อเนื่องทางขวาและมีลิมิตทางซ้าย
ดังนั้นแบบจำลองจึงมีการแจกแจงของการเพิ่มขึ้นที่เป็นเนื้อเดียวกันตามเวลา ซึ่งเป็นสมมติฐานที่มีประโยชน์ในเชิงวิเคราะห์ แต่สามารถทดสอบเชิงประจักษ์ได้
Lévy triplet ระบุกระบวนการ
ข้อตกลงการตัดทอนหนึ่งแบบให้ triplet (b, σ², ν): ดริฟต์ ความแปรปรวนแบบบราวเนียน และมาตรวัดการกระโดดของ Lévy
มาตรวัด ν บันทึกความเข้มข้นที่คาดหมายของการกระโดดตามขนาด และต้องเป็นไปตาม ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞
การเปลี่ยนฟังก์ชันตัดทอนอาจเปลี่ยนค่าดริฟต์ b ที่รายงาน แต่ไม่เปลี่ยนกฎการแจกแจงเมื่อแปลงพจน์ทั้งหมดใน triplet อย่างสอดคล้องกัน
Lévy–Khintchine ทำงานในปริภูมิฟูริเยร์
ฟังก์ชันลักษณะมีรูป E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)) โดย ψ ถูกกำหนดจาก triplet
การเพิ่มขึ้นที่เป็นอิสระและคงที่ตามเวลาทำให้การคอนโวลูชันข้ามเวลาเปลี่ยนเป็นการคูณ ซึ่งกลายเป็นการปรับสเกลเชิงเส้นของเลขชี้กำลังเชิงลักษณะ
โครงสร้างนี้รองรับวิธีฟูริเยร์สำหรับออปชัน แต่การอินเวิร์ตเชิงตัวเลขยังต้องควบคุมการทำให้ลดทอน กริด และการตัดทอน
Lévy–Itô แยกแหล่งที่มาของการเคลื่อนไหว
การแยกส่วนเขียน X เป็นดริฟต์ องค์ประกอบแบบบราวเนียน การกระโดดขนาดใหญ่ และการกระโดดขนาดเล็กที่ชดเชยแล้ว
การกระโดดขนาดใหญ่มีความเข้มข้นการมาถึงแบบจำกัดเหนือค่าขีดจำกัดคงที่ใด ๆ ส่วนการกระโดดขนาดเล็กจำนวนนับไม่ถ้วนอาจเกิดขึ้นภายในเวลาจำกัด
กิจกรรมอนันต์และความแปรผันอนันต์เป็นคุณสมบัติคนละอย่าง จึงต้องตรวจสอบอินทิกรัลของ ν แทนการอนุมานอย่างหนึ่งจากอีกอย่างหนึ่ง
การชดเชยสร้างพจน์การกระโดดแบบมาร์ติงเกล
ให้ N(dt,dx) นับการกระโดดขนาด x สำหรับกระบวนการ Lévy ตัวชดเชยของมันคือ dtν(dx)
มาตรวัดที่ชดเชยแล้ว Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) หักการมาถึงของการกระโดดที่คาดการณ์ได้ และรวมสิ่งที่ไม่คาดคิดที่เหมาะสมเข้าเป็นโลคัลมาร์ติงเกล
ผลรวมการกระโดดดิบและอินทิกรัลที่ชดเชยแล้วมีดริฟต์ต่างกัน ดังนั้นการสลับระหว่างสองแบบโดยไม่ปรับความแปรผันจำกัดจะเปลี่ยนแบบจำลอง
แบบจำลอง Lévy แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลต้องแก้ไขดริฟต์
แบบจำลองสินทรัพย์มักกำหนด S_t = S_0e^{X_t} หรือใช้เอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงสุ่ม แต่ความเป็นบวกเพียงอย่างเดียวไม่ได้ทำให้ราคาที่คิดลดแล้วเป็นมาร์ติงเกล
เลขชี้กำลังเชิงลักษณะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขโมเมนต์เอ็กซ์โพเนนเชียลและเงื่อนไขมาร์ติงเกลที่เกี่ยวข้องภายใต้มาตรวัดกำหนดราคาที่เลือก
การกระโดดสร้างความเสี่ยงที่ไม่สามารถทำให้ครอบคลุมได้ ดังนั้นมาตรวัดมาร์ติงเกลสมมูลอาจไม่เป็นเอกลักษณ์ และการกำหนดราคาต้องมีกฎสำหรับเลือกเพิ่มเติม
ความยืดหยุ่นไม่ได้ลบความเสี่ยงของแบบจำลอง
การกระโดดของ Lévy สามารถจับความเบ้ หางหนา และ smile ระยะสั้นได้ดีกว่าดิฟฟิวชันล้วน
การเพิ่มขึ้นแบบอิสระและคงที่ตามเวลาตัดความผันผวนแบบจับกลุ่ม พลวัตเลเวอเรจ และความเข้มข้นของการกระโดดที่เปลี่ยนตามเวลาออกไป เว้นแต่จะขยายแบบจำลอง
ตรวจสอบการมีอยู่ของโมเมนต์ การตัดทอนการกระโดดขนาดเล็ก การแก้ไขมาร์ติงเกล เสถียรภาพของการคาลิเบรต การขยายหาง และความคลาดเคลื่อนจากการเฮดจ์นอกตัวอย่าง
คำถามที่พบบ่อย
กระบวนการ Lévy ในคำง่าย ๆ คืออะไร?
คือการเคลื่อนไหวสุ่มที่เป็นเนื้อเดียวกันตามเวลา ซึ่งการเพิ่มขึ้นบนช่วงที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นอิสระต่อกัน และอาจมีทั้งดิฟฟิวชันและการกระโดด
มาตรวัด Lévy อธิบายอะไร?
อธิบายความเข้มข้นของการมาถึงของการกระโดดตามขนาดการกระโดด รวมถึงกิจกรรมที่อาจเป็นอนันต์ใกล้ศูนย์
ทำไมต้องชดเชยมาตรวัดการกระโดด?
การลบความเข้มข้นที่คาดการณ์ได้ออกจะเหลือสิ่งที่ไม่คาดคิดของการกระโดดแบบมีศูนย์กลาง ซึ่งใช้เป็นตัวอินทิเกรตของมาร์ติงเกลได้
แบบจำลอง Lévy ทุกแบบเป็นแบบจำลองที่มีการกระโดดหรือไม่?
ไม่ใช่ การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนที่มีดริฟต์เป็นกระบวนการ Lévy ที่มีมาตรวัด Lévy เป็นศูนย์ การกระโดดจะปรากฏเมื่อ ν ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น