กฎจำนวนมากเทียบกับทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง

สำหรับการสังเกต X_1,…,X_n ที่มีค่าเฉลี่ย μ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ X̄_n=n^(−1)Σ_iX_i

LLN ถามว่า X̄_n เข้าใกล้ μ หรือไม่เมื่อ n โตขึ้น ขณะที่ CLT ถามการแจกแจงลิมิตของความแตกต่างที่ปรับสเกล เช่น √n(X̄_n−μ)

การลู่เข้าสู่ค่าที่ถูกต้องไม่ได้ให้ rate ของข้อผิดพลาด รูปร่าง ช่วงความเชื่อมั่น หรือค่าประมาณที่มีประโยชน์สำหรับตัวอย่างขนาดจำกัดโดยตัวมันเอง

LLN แบบ weak ระบุว่า P(|X̄_n−μ|>ε)→0 สำหรับทุก ε>0 ภายใต้สมมติฐานที่ระบุ

มันบอกว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดขนาดคงที่หายไป ไม่ได้บอกว่าเส้นทางจริงทุกเส้นจะอยู่ใกล้ตลอดไปในท้ายที่สุด

สำหรับการสังเกต iid ค่าคาดหมายจำกัดเพียงพอสำหรับ weak law ในวงกว้าง ขณะที่การพิสูจน์ด้วยความแปรปรวนแบบง่ายมักสมมติให้ความแปรปรวนจำกัด

LLN แบบ strong ระบุว่า X̄_n→μ เกือบแน่นอน หมายความว่าการลู่เข้าเกิดกับผลลัพธ์ทุกแบบนอกเซตที่มีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์หนึ่งเซต

การลู่เข้าเกือบแน่นอนบ่งชี้การลู่เข้าในความน่าจะเป็น แต่ทางกลับกันไม่จริงหากไม่มีโครงสร้างเพิ่มเติม

กฎ strong ยังคงเป็นเรื่อง asymptotic และไม่ได้ระบุว่า n ต้องใหญ่เท่าไรสำหรับ tolerance ของการตัดสินใจหนึ่งค่า

สำหรับตัวแปร iid ที่มีความแปรปรวนบวกจำกัด σ², √n(X̄_n−μ)/σ ลู่เข้าใน distribution ไปยัง N(0,1)

ตัวคูณ √n ป้องกันไม่ให้ข้อผิดพลาดที่หดลงยุบเป็นศูนย์ และเผยให้เห็นรูปร่างลิมิตที่ไม่เสื่อม

LLN อาจเป็นจริงในกรณีที่ classical CLT ล้มเหลว รวมถึงบริบท heavy-tail ที่ค่าเฉลี่ยมีอยู่แต่ความแปรปรวนไม่มี

กระบวนการ stationary ergodic อาจเป็นไปตาม LLN ขณะที่ CLT ยังต้องการการควบคุม dependence และการแกว่งที่เพียงพอ

อนุกรมเวลาทางการเงินอาจเปลี่ยนค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน exposure สภาพคล่อง และ regime ดังนั้นประวัติยาวหนึ่งชุดไม่จำเป็นต้องมีพฤติกรรมเหมือนการสุ่มซ้ำจากกฎเดียว

การสังเกตเพิ่มจากกลุ่มวิกฤตเดียวกันหรือ regime เก่าอาจเพิ่มข้อมูลที่มีประสิทธิผลน้อยกว่าจำนวนแถวที่บอก

แรงกระแทก idiosyncratic เฉลี่ยอาจเสถียรขึ้นในสถานะจำนวนมากที่มี dependence อ่อนพอ สะท้อนผลแบบ LLN

ปัจจัยร่วม tail dependence น้ำหนักที่กระจุก และการผิดนัดที่สัมพันธ์กันไม่ได้หายไปเพียงเพราะพอร์ตถือหลายชื่อ

เช่นเดียวกัน ผลตอบแทนเฉลี่ยระยะยาวไม่ได้รับประกันว่าจะเผย expected return ถาวรเมื่อชุดโอกาสเองเปลี่ยน

พล็อตค่าเฉลี่ยสะสมและค่าประมาณจากตัวอย่างย่อย จากนั้นตรวจ dependence structural break tail moment และ effective sample size

ใช้ standard error ที่มี CLT หรือวิธี resampling รองรับ แทนการถือว่าการลู่เข้าของค่าเฉลี่ยคือค่าประมาณความไม่แน่นอน

รายงาน estimand สมมติฐานการลู่เข้า horizon แถบข้อผิดพลาด และ sensitivity ต่อหน้าต่างหรือ regime ก่อนเรียกใช้ทฤษฎีบทใด