Large Deviations และ Option Smile อธิบาย
เรียนรู้ว่า rate function อธิบายการเคลื่อนไหวที่หายากแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลอย่างไร เข้ามาอยู่ใน asymptotics ของราคาออปชันและ implied volatility อย่างไร และค่าประมาณหยุดใช้ตรงไหน
คำตอบโดยตรง
หลักการ large deviations อธิบายว่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์หายากลดลงบนสเกลเอ็กซ์โพเนนเชียลอย่างไร ในทฤษฎีออปชัน rate function ของมันอาจกำหนดพฤติกรรมชั้นนำของราคาหางและ implied volatility ใน regime small-time, small-noise หรือ long-time ที่ระบุ
Large deviations ศึกษาสเกลอีกแบบ
ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางอธิบายการแกว่งทั่วไปใกล้ค่าเฉลี่ย โดยมักอยู่บนสเกลรากที่สอง
ทฤษฎี large deviations ถามแทนว่าความน่าจะเป็นของเซตที่ไกลจากศูนย์กลางหดลงอย่างไรเมื่อพารามิเตอร์สเกลเข้าใกล้ขีดสุด
มันมีประโยชน์เมื่อ payoff ของออปชันกระจุกอยู่ในผลลัพธ์ที่หายากเกินกว่าค่าประมาณ Gaussian ในท้องถิ่นจะอธิบายได้ดี
Rate function ตั้งราคาความหายากในเชิงเรขาคณิต
สำหรับตัวแปร X_ε ที่มี speed a_ε ซึ่งมุ่งไปสู่อนันต์ ชวเลข P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] สื่อแนวคิดหลัก
หลักการแบบเป็นทางการให้ขอบเขตล่างและบนแยกกันสำหรับเซตเปิดและปิด ไม่ใช่ความเท่าเทียม exact สำหรับเหตุการณ์ทุกแบบ
Rate function I เป็นค่าที่ไม่เป็นลบและมักเป็นศูนย์ที่สถานะทั่วไป rate function ที่ดีมี level sets แบบ compact
Cumulant อาจเปิดเผย rate
ภายใต้เงื่อนไขของ Gärtner–Ellis limiting scaled cumulant-generating function Λ(θ) อาจให้ I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)}
Legendre–Fenchel transform นี้เลือก exponential tilt ที่ทำให้ปลายทางหายากกลายเป็นค่าทั่วไปภายใต้ measure ที่เปลี่ยน
ข้อสรุปต้องตรวจสอบโดเมน differentiability และ steepness การมี transform ที่ finite เพียงไม่กี่ค่า θ ยังไม่พอ
Asymptotics ของออปชันสืบทอดเส้นทางหายากที่ถูกที่สุด
ออปชัน out-of-the-money จ่ายเฉพาะเกิน strike ดังนั้นราคาชั้นนำอาจถูกกำหนดโดยสถานะหรือเส้นทางที่มีต้นทุนต่ำสุดซึ่งไปถึงบริเวณ payoff นั้น
หลัก contraction ส่งต่อ rate function ผ่าน mapping เช่น กฎจากเส้นทางไปยังราคาปลายทาง หรือกฎการรวม basket
หลังจับคู่ asymptotic ของออปชันกับราคามาตรฐานแล้ว จะอนุมานพฤติกรรมชั้นนำของ implied volatility สำหรับ regime เดียวกันได้
ต้องระบุ regime อย่างชัดเจน
Maturity สั้น noise จาก volatility เล็ก maturity ใหญ่ และ strike สุดโต่งเป็นลิมิตคนละแบบ และอาจให้ rate function ต่างกัน
สูตรที่พิสูจน์โดยตรึง log-moneyness ไว้ขณะ maturity หดตัว ไม่จำเป็นต้องใช้ได้เมื่อ strike เคลื่อนไปพร้อม maturity
ลำดับเอ็กซ์โพเนนเชียลชั้นนำไม่ได้กำหนด prefactor ความโค้งของ maturity ที่มีค่าจำกัด หรือความเร็วที่ smile ที่เสนอจะเข้าใกล้ลิมิต
Rate function ไม่แทนที่ no-arbitrage
Smile แบบ asymptotic ยังละเมิด monotonicity ของราคา call ความนูนตาม strike การเรียงตามปฏิทิน หรือขอบเขตราคาได้เมื่อใช้นอกโดเมน
กฎปลายทางแบบ risk-neutral ต้องรักษาเงื่อนไข martingale ของสินทรัพย์ที่ discount แล้วด้วย ซึ่งค่าประมาณหางที่สะดวกอาจพลาด
ใช้ทฤษฎีเป็นข้อจำกัดเชิงโครงสร้างหรือแนวทาง extrapolation แล้วบังคับใช้ static arbitrage กับผิวราคาเต็มรูปแบบ
Validation ควรทดสอบทั้งสเกลและโครงสร้าง
ประมาณ log probability หรือราคาออปชันที่ค่า ε หรือ maturity หลายค่า และตรวจสอบว่า slope ทรงตัวที่ rate ที่คาดไว้หรือไม่
เปรียบเทียบกับราคา Monte Carlo, transform หรือ PDE เมื่อเป็นไปได้ รวมถึงบริเวณใกล้รอยต่อระหว่างพื้นที่ central และ rare-event
บันทึกสเกล measure ตัวแปรสถานะ โดเมนของ rate function การจัดการ prefactor และการตรวจสอบ arbitrage กับทุกการนำไปใช้
คำถามที่พบบ่อย
หลักการ large deviations คืออะไร
คือคู่ของขอบเขตความน่าจะเป็นบนและล่างแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล ซึ่งกำกับด้วย speed และ rate function เมื่อสเกลเข้าใกล้ขีดสุด
Rate function กระทบ option smile อย่างไร
มันอาจกำหนดต้นทุนชั้นนำของการไปถึงบริเวณ payoff ของออปชัน ซึ่งจากนั้นอาจอนุมานพฤติกรรมความผันผวนชั้นนำในลิมิตเดียวกัน
ทฤษฎี large deviations เหมือนแบบจำลองการแจกแจงหางหรือไม่
ไม่ใช่ มันให้การลดลงเชิงลอการิทึมแบบ asymptotic ภายใต้สมมติฐานที่ระบุ และอาจไม่ได้ระบุการแจกแจงที่ normalize แล้วในสเกลจำกัดหรือ prefactor
ใช้สูตร large-deviation เดียวกับทุก maturity และ strike ได้หรือไม่
ไม่ได้ Regime ของสเกลเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบท และการเปลี่ยนวิธีที่ maturity noise หรือ strike เคลื่อนอาจเปลี่ยนคำตอบ