อธิบายแบบจำลอง HAR-RV: พยากรณ์ความผันผวนรายวัน รายสัปดาห์ และรายเดือน

แบบจำลองอัตถดถอยแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันสำหรับความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงมักเรียกย่อว่า HAR-RV โดยพยากรณ์ค่าความผันผวนในอนาคตจากค่าล่าสุดที่สรุปตามช่วงเวลาต่าง ๆ แบบจำลองรายวันที่ใช้กันทั่วไปอาจนำวันซื้อขายที่สิ้นสุดแล้วหนึ่งวัน ค่าเฉลี่ยห้าวันซื้อขาย และค่าเฉลี่ย 22 วันซื้อขายมาเป็นตัวแปร ค่าเฉลี่ยเหล่านี้เป็นข้อมูลนำเข้าของสมการถดถอย ดังนั้นการพยากรณ์ HAR-RV สำหรับวันถัดไปก็ยังเป็นการพยากรณ์ระยะหนึ่งวัน

แบบจำลองนี้เป็นเกณฑ์พื้นฐานที่เข้าใจได้ง่ายสำหรับอธิบายความคงทนของความผันผวนที่เกิดขึ้นจริง โครงสร้างแบบบวกทำให้ประมาณค่าด้วยการถดถอยเชิงเส้นและเปรียบเทียบกับแบบจำลองจากผลตอบแทน เช่น GARCH ได้สะดวก ทั้งนี้เป็นรูปแบบการพยากรณ์ ไม่ใช่กฎสำหรับกำหนดจังหวะเข้าซื้อขาย ขนาดสถานะ หรือความน่าสนใจของสินทรัพย์

บทความต้นฉบับของ Corsi อธิบายแบบจำลองนี้ว่าเป็นลำดับต่อเนื่องแบบบวกขององค์ประกอบความผันผวนในช่วงเวลาหลายขนาด แนวคิดเรื่องผู้มีส่วนร่วมในตลาดที่มีกรอบเวลาต่างกันเป็นแรงจูงใจของแบบจำลอง แต่สมการถดถอยไม่ได้ระบุตัวผู้ซื้อขายแต่ละรายหรือพิสูจน์ว่ากลุ่มใดเป็นสาเหตุของความคงทนที่สังเกตได้ ควรมององค์ประกอบรายวัน รายสัปดาห์ และรายเดือนเป็นค่าสรุปเชิงสถิติของความผันผวนในอดีต

สำหรับช่วงซื้อขาย \(t\) ที่สิ้นสุดแล้ว ค่าความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงแบบหนึ่งคำนวณจากผลรวมกำลังสองของผลตอบแทนระหว่างวัน:

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

ในที่นี้ \(r_{t,i}\) คือผลตอบแทนของช่วงย่อยระหว่างวันลำดับที่ \(i\) และ \(M\) คือจำนวนช่วงที่นำมารวม ผลรวมนี้มีหน่วยเป็นผลตอบแทนยกกำลังสอง คู่มือนี้ตั้งใจใช้ความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงในสเกลกำลังสองของผลตอบแทนนี้กับทุกองค์ประกอบของ HAR และตัวอย่างการพยากรณ์ ส่วน HAR-RV ต้นฉบับของ Corsi (2009) ใช้มาตรวัดความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงในสเกลรากที่สอง แนวทางทั้งสองเกี่ยวข้องกัน แต่ห้ามผสมกันในสมการถดถอยเดียวกัน ให้คงข้อมูลรายวัน รายสัปดาห์ รายเดือน และเป้าหมายการพยากรณ์ไว้ในสเกลเดียวกัน คู่มือการคำนวณความผันผวนที่เกิดขึ้นจริง อธิบายทางเลือกในการวัด

ช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง แหล่งข้อมูลราคา ช่วงเวลาตลาด และวิธีจัดการผลตอบแทนข้ามคืนเป็นตัวกำหนดว่า \(RV_t\) วัดอะไร ตัวอย่างเช่น ผลรวมที่ใช้เฉพาะผลตอบแทนระหว่างวันในช่วงเวลาซื้อขายปกติไม่ได้รวมการเปลี่ยนแปลงจากราคาปิดถึงราคาเปิดโดยอัตโนมัติ ข้อมูลระหว่างวันยังอาจได้รับผลจากสัญญาณรบกวนของราคาเสนอซื้อขายและลักษณะจุลโครงสร้างตลาดอื่น ๆ Hansen และ Lunde (2006) ศึกษาผลของสัญญาณรบกวนจากจุลโครงสร้างตลาดต่อการวัดความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริง ส่วน Andersen, Bollerslev, Diebold และ Labys เชื่อมโยงข้อมูลความถี่สูงกับความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงและความแปรปรวนของผลตอบแทนในความถี่ที่ต่ำกว่า กรอบการวิเคราะห์ของพวกเขาไม่ได้ทำให้กฎการสุ่มตัวอย่างทุกแบบใช้แทนกันได้

ใช้คำนิยามเดียวกันสำหรับข้อมูลย้อนหลัง ตัวแปรพยากรณ์ และเป้าหมายที่ต้องการพยากรณ์ การเปลี่ยนจากผลตอบแทนทุกห้านาทีเป็นทุกหนึ่งนาที หรือเปลี่ยนจากช่วงเวลาซื้อขายปกติเป็นช่วงราคาปิดถึงราคาปิด อาจทำให้อนุกรมข้อมูลเปลี่ยนไป นี่ไม่ใช่แค่รายละเอียดการเขียน เพราะสัมประสิทธิ์ที่ประมาณได้และผลพยากรณ์ที่นำมาประเมินก็อาจเปลี่ยนตาม

กำหนดให้ \(RV_t^{(d)}=RV_t\) เป็นค่ารายวัน วิธีหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปคือหาค่าเฉลี่ยของค่ารายวันที่สิ้นสุดแล้วห้าค่าล่าสุดเพื่อสร้างองค์ประกอบรายสัปดาห์ และหาค่าเฉลี่ยของ 22 ค่าล่าสุดเพื่อสร้างองค์ประกอบรายเดือน:

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

ตัวหารทำให้องค์ประกอบเหล่านี้เป็นค่าเฉลี่ยความแปรปรวนรายวันที่เกิดขึ้นจริงในแต่ละช่วง หากใช้ผลรวมก็จะได้ความแปรปรวนสะสมตลอดช่วงนั้น ทั้งสองวิธีใช้ได้ในแบบจำลองที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน แต่สูตร เป้าหมาย และหน่วยต้องสอดคล้องกัน

ช่วงเวลาทั้งสามซ้อนทับกัน ค่ารายวันล่าสุดรวมอยู่ในค่าเฉลี่ยรายสัปดาห์และรายเดือนด้วย และค่าที่อยู่ในช่วงรายสัปดาห์ก็อยู่ในช่วงรายเดือนเช่นกัน ดังนั้นตัวแปรพยากรณ์จึงสรุปส่วนที่เกี่ยวข้องกันของประวัติชุดเดียวกัน ไม่ใช่การวัดที่เป็นอิสระต่อกัน นอกจากนี้ไม่ควรอ่านสัมประสิทธิ์ว่าเป็นผลเชิงสาเหตุแยกกันของกรอบเวลาสามแบบ

โดยทั่วไปช่วงห้าและ 22 ค่าหมายถึงช่วงซื้อขาย ไม่ใช่สัปดาห์หรือเดือนตามปฏิทิน วันหยุดตลาด วันที่ไม่มีข้อมูล หรือปฏิทินซื้อขายสัญญาฟิวเจอร์สที่ต่างออกไปต้องมีกฎกำกับไว้อย่างชัดเจน ควรบันทึกปฏิทินของข้อมูลและวิธีจัดการช่วงที่มีข้อมูลไม่ครบก่อนเปรียบเทียบค่าประมาณระหว่างสินทรัพย์

สมการถดถอย HAR-RV รายวันแบบหนึ่งขั้นอย่างง่ายคือ

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

ด้านซ้ายคือความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงของช่วงซื้อขายถัดไปที่สิ้นสุดแล้ว ตัวแปรพยากรณ์ทุกตัวทราบค่าได้เมื่อสิ้นสุดช่วง \(t\) ค่าคงที่ \(\beta_0\) และสัมประสิทธิ์ \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\) ประมาณจากข้อมูลในอดีต ส่วน \(\varepsilon_{t+1}\) คือค่าคลาดเคลื่อนของสมการถดถอยที่เหลือหลังใช้ตัวแปรพยากรณ์

ในการประมาณด้วยกำลังสองน้อยที่สุดสามัญ จะเลือกสัมประสิทธิ์เพื่อลดผลรวมกำลังสองของข้อผิดพลาดการพยากรณ์ในตัวอย่างสำหรับเป้าหมายที่กำหนด วิธีนี้ให้แบบจำลองเชิงเส้นพื้นฐานที่กระชับ โดยไม่ต้องประมาณสัมประสิทธิ์แยกสำหรับทุกช่วงหน่วงรายวัน Corsi (2009) พัฒนาโครงสร้าง HAR-RV และรายงานผลการพยากรณ์สำหรับข้อมูลและข้อกำหนดในบทความ ผลดังกล่าวไม่ได้รับประกันว่าจะได้สัมประสิทธิ์หรือความแม่นยำแบบเดียวกันกับสินทรัพย์ ช่วงเวลา หรือค่าความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงแบบอื่น

สัญลักษณ์และรูปแบบสมการแตกต่างกันไปในแต่ละบทความ แบบจำลอง HAR บางแบบใช้ลอการิทึม ตัวประมาณความผันผวนอื่น ช่วงหน่วงเพิ่มเติม หรือหน้าต่างเวลาแบบอื่น ควรระบุเป้าหมายและการแปลงค่าที่เลือก แทนที่จะถือว่าแบบจำลองที่มีชื่อ “HAR” ทุกแบบใช้สมการเดียวกัน

หลังประมาณสัมประสิทธิ์แล้ว ให้นำค่ารายวัน รายสัปดาห์ และรายเดือนล่าสุดมาแทนเพื่อคำนวณผลพยากรณ์จุดสำหรับช่วงซื้อขายถัดไป โดยไม่ใส่ค่าคลาดเคลื่อนในอนาคต เพราะยังไม่ทราบค่า ณ เวลาที่พยากรณ์:

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

ตัวอย่างสมมติว่า ค่าคงที่ที่ประมาณได้เท่ากับ \(0.10\ \mathrm{bp}^2\) และสัมประสิทธิ์ที่ประมาณได้เท่ากับ \(0.50\), \(0.30\) และ \(0.15\) ตามลำดับ หากค่ารายวันล่าสุดคือ \(4\ \mathrm{bp}^2\) ค่าเฉลี่ยห้าวันคือ \(3\ \mathrm{bp}^2\) และค่าเฉลี่ย 22 วันคือ \(2\ \mathrm{bp}^2\) จะได้

\[ 0.10 + 0.50(4) + 0.30(3) + 0.15(2) = 3.30\ \mathrm{bp}^2 \]

นี่เป็นตัวอย่างการคำนวณที่สร้างขึ้น ไม่ใช่ข้อมูลตลาด ผลจากการประมาณ หรือคำกล่าวอ้างด้านประสิทธิภาพ เป็นผลพยากรณ์สำหรับช่วงซื้อขายถัดไปภายใต้เป้าหมายและหน่วยที่ระบุ การหารากที่สองจะได้ค่าความผันผวนในหน่วยจุดเบสิสสำหรับช่วงเดียวกัน ส่วนการแปลงเป็นรายปีต้องใช้อีกหลักเกณฑ์หนึ่งที่ระบุไว้อย่างชัดเจน

หากต้องการพยากรณ์ทั้งสัปดาห์หรือทั้งเดือน อย่าเพียงเปลี่ยนชื่อผลพยากรณ์ของวันถัดไป ทางเลือกหนึ่งคือประมาณแบบจำลองโดยตรงซึ่งกำหนดให้ด้านซ้ายเป็นความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงแบบสะสมหรือค่าเฉลี่ยตลอดช่วงอนาคตที่ต้องการ อีกทางหนึ่งคือทำผลพยากรณ์หนึ่งวันซ้ำต่อเนื่อง ซึ่งต้องกำหนดกฎให้ชัดเจนสำหรับปรับปรุงตัวแปรพยากรณ์รายวัน รายสัปดาห์ และรายเดือนในอนาคต ควรกำหนดช่วงพยากรณ์ก่อนประเมินผล <!-- learn:illustration -->

ความผันผวนมักแสดงความคงทนต่อเนื่องไปหลายช่วงหน่วง แบบจำลองอัตถดถอยที่มีช่วงหน่วงยาวสามารถแทนความสัมพันธ์นี้ได้แต่ต้องใช้พารามิเตอร์จำนวนมาก HAR-RV ย่อข้อมูลในอดีตเป็นค่าเฉลี่ยที่ซ้อนทับกันไม่กี่ค่า และใช้สัมประสิทธิ์เพียงไม่กี่ตัวเพื่อสร้างรูปแบบเชิงประจักษ์บางอย่างที่คล้ายความจำระยะยาว

คำว่า “การประมาณ” มีความสำคัญ บทความของ Corsi ระบุชัดว่าแบบจำลอง HAR-RV ไม่มีคุณสมบัติของความจำระยะยาวอย่างแท้จริง แต่การจำลองอาจสร้างลักษณะที่เกี่ยวข้องกับผลตอบแทนทางการเงินซึ่งมีความจำระยะยาวได้ ดังนั้น HAR-RV เป็นการประมาณรูปแบบบางอย่างที่ใช้งานได้ ไม่ใช่กระบวนการอินทิเกรตแบบเศษส่วนเพียงเพราะความสัมพันธ์ในข้อมูลลดลงอย่างช้า ๆ

องค์ประกอบรายวัน รายสัปดาห์ และรายเดือนก็ไม่ได้เป็นการนับผู้ลงทุนที่ซื้อขายในความถี่เหล่านั้นโดยตรง แนวคิดเรื่องกรอบเวลาที่หลากหลายเป็นแรงจูงใจของโครงสร้างแบบลำดับต่อเนื่อง แต่สมการถดถอยที่ประมาณได้ไม่ได้ระบุประเภทหรือเจตนาของผู้ลงทุน และไม่ได้ยืนยันกลไกเชิงสาเหตุ ควรจำกัดการตีความไว้ที่ข้อมูลนำเข้าและพฤติกรรมการพยากรณ์ที่สังเกตได้

การกระโดดของราคาครั้งใหญ่อาจมีข้อมูลเกี่ยวกับความผันผวนในอนาคตซึ่งค่าความแปรปรวนรวมค่าเดียวไม่แสดงให้เห็น Corsi, Pirino และ Reno (2010) แยกความแปรผันแบบต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องด้วยวิธี bipower แบบมีเกณฑ์ แล้วศึกษาว่าข้อมูลเรื่องการกระโดดมีผลต่อการพยากรณ์ความผันผวนอย่างไร การปรับปรุงผลพยากรณ์ที่รายงาน โดยเฉพาะหลังเกิดการกระโดด ใช้กับตัวประมาณ ข้อมูล และรูปแบบการศึกษาเชิงประจักษ์ของงานนั้น

HAR ที่คำนึงถึงการกระโดดอาจมีตัววัดแยกสำหรับองค์ประกอบต่อเนื่องและองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกับการกระโดด หรือใช้ค่ารวมที่หน่วงเวลาไว้ ซึ่งทำให้เกิดทางเลือกใหม่ เช่น จะตรวจจับการกระโดดอย่างไร จะประมาณองค์ประกอบต่อเนื่องอย่างไร และมีค่าตัววัดการกระโดดให้ใช้ ณ เวลาพยากรณ์หรือไม่ คำว่า “ต่อเนื่อง” และ “การกระโดด” หมายถึงองค์ประกอบของตัวประมาณภายใต้แบบจำลอง ไม่ได้หมายความว่าการแยกองค์ประกอบไม่มีข้อผิดพลาด

ตัวแปรเพิ่มเติมอาจช่วยให้พยากรณ์ดีขึ้นในชุดข้อมูลหนึ่ง แต่อาจเพิ่มสัญญาณรบกวนจากการประมาณในอีกชุดหนึ่ง ควรเปรียบเทียบส่วนขยายที่คำนึงถึงการกระโดดกับ HAR-RV พื้นฐานโดยใช้เวลาพยากรณ์ ช่วงเวลา เป้าหมาย และชุดข้อมูลเดียวกัน อย่าสรุปว่าการกระโดดทุกรูปแบบพยากรณ์ว่าความผันผวนจะสูงขึ้น หรือส่วนขยายจะดีกว่าในทุกตลาด

สัมประสิทธิ์ HAR-RV ขึ้นอยู่กับอนุกรมความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงซึ่งใช้ประมาณค่า ความถี่ในการสุ่มตัวอย่าง ขอบเขตของช่วงซื้อขาย การปรับคุณภาพราคา และข้อมูลที่ขาดหายไปอาจเปลี่ยนอนุกรมนั้นได้ ตัวแปรรายสัปดาห์และรายเดือนก็รับผลจากการเลือกเหล่านี้เพราะคำนวณจากค่าเฉลี่ยของค่ารายวันที่วัดได้

แยกเวลาที่พยากรณ์ออกจากช่วงเป้าหมาย หากประมาณแบบจำลองเมื่อปิดช่วงซื้อขาย เป้าหมายของช่วงถัดไปควรใช้สินทรัพย์ หลักเกณฑ์ผลตอบแทน ขอบเขตช่วงซื้อขาย และหน่วยเดียวกับเป้าหมายในอดีต หากตัววัดไม่รวมผลตอบแทนข้ามคืน ก็อย่าเรียกผลพยากรณ์ว่าเป็นความแปรปรวนตั้งแต่ราคาปิดถึงราคาปิดครบถ้วนโดยไม่มีการปรับ ช่วงตามปฏิทิน ช่วงพยากรณ์หลายวันที่ซ้อนทับกัน และกฎวันหยุดที่ต่างกันต้องกำหนดแยกกัน

ปัญหาเดียวกันเกิดเมื่อเปรียบเทียบ HAR-RV กับแบบจำลองอื่น ผลพยากรณ์ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขรายวันจาก GARCH และผลพยากรณ์ความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงจาก HAR-RV จะเปรียบเทียบกันได้หลังจัดช่วงเป้าหมายและหน่วยให้ตรงกันแล้ว การถดถอย MIDAS เป็นอีกวิธีหนึ่งในการเชื่อมข้อมูลต่างความถี่ แต่ก็ยังต้องระบุว่ามีข้อมูลใดพร้อมใช้ ณ เวลาพยากรณ์แต่ละครั้ง

ความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงไม่เป็นลบ แต่การถดถอยเชิงเส้นที่ไม่มีข้อจำกัดไม่ได้บังคับให้สัมประสิทธิ์หรือผลพยากรณ์ไม่เป็นลบ สำหรับข้อมูลบางชุด การประมาณด้วยกำลังสองน้อยที่สุดสามัญอาจให้ผลพยากรณ์นอกตัวอย่างเป็นลบ แบบจำลองลอการิทึมหรือการประมาณแบบมีข้อจำกัดจัดการเรื่องความเป็นบวกได้อีกวิธีหนึ่ง แต่ก็เปลี่ยนแบบจำลองและความหมายของสัมประสิทธิ์ การกำหนดค่าต่ำสุดของผลพยากรณ์ก็เป็นทางเลือกในการสร้างแบบจำลองเช่นกัน ควรกำหนดก่อนประเมิน ไม่ใช่หลังเห็นว่าแบบจำลองใดชนะ

ประเมินผลพยากรณ์นอกช่วงตัวอย่างที่ใช้ประมาณ และบันทึกค่าที่มีอยู่ ณ เวลาพยากรณ์แต่ละครั้ง ให้ตัวแทนวัด เป้าหมาย ช่วงพยากรณ์ ขอบเขตช่วงซื้อขาย หน่วย และวันที่ประเมินร่วมกันตรงกัน รายงานวิธีประมาณหรือปรับปรุงผลพยากรณ์แล้วเปรียบเทียบกับเกณฑ์พื้นฐานที่ระบุไว้ เมื่อใช้ค่าความผันผวนที่เกิดขึ้นจริงเป็นตัวแทนซึ่งไม่สมบูรณ์ การจัดอันดับที่คาดหวังขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ของตัวแทนกับเป้าหมายและฟังก์ชันความสูญเสีย Patton (2011) อธิบายว่าเหตุใดสัญญาณรบกวนของตัวแทนจึงไม่ได้ทำให้การเปรียบเทียบทุกแบบเชื่อถือได้โดยอัตโนมัติ คู่มือ QLIKE และความคลาดเคลื่อนกำลังสอง อธิบายสมมติฐานการประเมินเหล่านี้

ความสูญเสียจากผลพยากรณ์ที่ต่ำกว่าหมายถึงแบบจำลองได้คะแนนดีกว่าภายใต้เป้าหมาย ตัวแทนวัด ชุดข้อมูล และฟังก์ชันความสูญเสียที่เลือกไว้ ไม่ได้แสดงว่าแบบจำลองเป็นสาเหตุของความผันผวน ผลพยากรณ์รายวันเป็นสัญญาณซื้อขาย หรือกลยุทธ์จะทำกำไรหลังคิดต้นทุนการดำเนินการและข้อจำกัดความเสี่ยง