การรวมพยากรณ์: น้ำหนักเท่ากันเทียบกับน้ำหนักที่ประมาณ

การรวมพยากรณ์นำค่าทำนายตั้งแต่สองค่าในปริมาณเดียวกันมาสร้างเป็นพยากรณ์หนึ่งค่า หากแบบจำลอง A, B และ C ต่างพยากรณ์ความแปรปรวนที่เกิดขึ้นจริงในวันพรุ่งนี้ เราอาจหาค่าเฉลี่ยหรือกำหนดน้ำหนักต่างกันได้ ค่าที่ได้คือพยากรณ์ใหม่ ไม่ใช่การลงคะแนนว่าแบบจำลองใดถูกต้อง

ค่าตั้งต้นต้องตรงกันทั้งเป้าหมาย เวลาออกพยากรณ์ ระยะพยากรณ์ หน่วย และขอบเขตข้อมูลที่ใช้ ไม่ควรนำพยากรณ์ความแปรปรวนหนึ่งวันมาเฉลี่ยกับพยากรณ์ความผันผวนหนึ่งเดือนเพียงเพราะทั้งคู่เรียกว่าความผันผวน ให้กำหนดปริมาณและช่วงเวลาร่วมกันก่อน แล้วจึงจัดแนวค่าพยากรณ์

การรวมมีประโยชน์เมื่อแบบจำลองที่สมเหตุสมผลหลายแบบสะท้อนลักษณะคนละด้านของอนุกรมเวลา หรือยังไม่ทราบว่าแบบใดจะทำผลงานได้ดีที่สุดต่อไป แบบจำลองไม่จำเป็นต้องใช้อัลกอริทึมที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง สิ่งสำคัญคือข้อผิดพลาดของพวกมันเคลื่อนไหวร่วมกันอย่างไร ไม่ใช่ชื่อแบบจำลองแตกต่างกันแค่ไหน

การศึกษาดั้งเดิมของ Bates และ Granger พบว่าพยากรณ์ผสมมีค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยต่ำกว่าพยากรณ์องค์ประกอบทั้งสองในตัวอย่างผู้โดยสารสายการบิน ผลนี้เป็นเหตุผลให้ทดลองประเมินการรวม แต่ไม่ได้รับประกันว่าจะดีขึ้นในตลาด เป้าหมาย ช่วงเวลา หรือฟังก์ชันการสูญเสียอื่น (Bates และ Granger, 1969)

สำหรับพยากรณ์ (K) ค่า การรวมแบบให้น้ำหนักเท่ากันเขียนได้ดังนี้

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,EW} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

องค์ประกอบแต่ละตัวมีส่วนเท่ากัน วิธีนี้ไม่ต้องใช้ชุดฝึกสำหรับประมาณน้ำหนักและทำซ้ำได้ง่าย จึงเป็นเกณฑ์เปรียบเทียบที่มีประโยชน์ แม้ว่าวิธีสุดท้ายจะประมาณหรือจำกัดน้ำหนักก็ตาม

น้ำหนักเท่ากันไม่ได้หมายความว่าพยากรณ์ทุกตัวแม่นยำ เป็นอิสระ หรือสำคัญต่อการตัดสินใจเท่ากัน แต่หมายถึงขั้นตอนการรวมไม่ได้ประมาณน้ำหนักแยกจากผลงานในอดีต หากค่าตั้งต้นทั้งหมดพลาดปัจจัยเดียวกัน พยากรณ์เฉลี่ยก็ยังมีอคติร่วมได้

จำนวนชื่อแบบจำลองไม่ได้บอกความหลากหลายของข้อมูล แบบจำลองความผันผวนสามแบบอาจใช้ชุดผลตอบแทน ขอบเขตช่วงซื้อขาย และช่วงการสุ่มตัวอย่างเดียวกัน จึงพลาดความเคลื่อนไหวข้ามคืนเหมือนกัน การเฉลี่ยไม่ได้แก้สิ่งที่ขาดหายไปโดยอัตโนมัติ ตรวจว่าข้อผิดพลาดนอกตัวอย่างที่เก็บไว้แตกต่างกันอย่างเป็นประโยชน์หรือไม่ อย่าถือว่าป้ายชื่อที่ต่างกันสร้างหลักฐานอิสระ

สมมติสามแบบจำลองพยากรณ์ความผันผวนของช่วงซื้อขายถัดไปเป็น 12, 15 และ 20 จุดฐาน ค่าเฉลี่ยเท่ากับ \((12+15+20)/3=15.67\) จุดฐาน ตัวอย่างนี้แสดงเพียงวิธีคำนวณ การออกพยากรณ์ครั้งเดียวบอกไม่ได้ว่ากฎนี้แม่นยำหรือทำกำไรหรือไม่

สำหรับความผันผวน ให้ตรวจว่าค่าตั้งต้นเป็นความแปรปรวนหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน การเฉลี่ยพยากรณ์ความแปรปรวนแล้วหารากที่สอง โดยทั่วไปไม่เท่ากับการเฉลี่ยพยากรณ์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ใช้นิยามเป้าหมายและหน่วยเดียวกับที่จะใช้ประเมินภายหลัง

การรวมเชิงเส้นที่ประมาณน้ำหนักเขียนได้เป็น

\[ \widehat{y}_{t+h\mid t}^{\,C} = \sum_{k=1}^{K} w_k \widehat{y}_{k,t+h\mid t} \]

ผลเชิงทฤษฎีแบบหนึ่งสมมติว่าค่าคลาดเคลื่อนของแต่ละพยากรณ์มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ เป้าหมายตรงกัน และน้ำหนักรวมเป็นหนึ่ง ให้ \(\Sigma_e\) เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาดองค์ประกอบ หากทราบเมทริกซ์นี้และกลับเมทริกซ์ได้ น้ำหนักความแปรปรวนต่ำสุดภายใต้เงื่อนไขดังกล่าวคือ

\[ w^{*} = \frac{\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}'\Sigma_e^{-1}\mathbf{1}} \]

สูตรนี้เป็นจุดอ้างอิง ไม่ใช่คำสั่งให้กลับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมตัวอย่างที่มีสัญญาณรบกวน ในทางปฏิบัติ \(\Sigma_e\) ต้องประมาณจากคลังข้อผิดพลาดที่มีจำนวนจำกัด ค่าตั้งต้นที่สัมพันธ์กันสูงอาจทำให้เมทริกซ์เกือบเอกฐาน การเปลี่ยนข้อมูลเพียงเล็กน้อยจึงอาจเปลี่ยนน้ำหนักมาก

สำหรับพยากรณ์สองค่าที่มีความแปรปรวนของข้อผิดพลาดเท่ากันเป็น \(\sigma^2\) ความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยน้ำหนักเท่ากันคือ \(\sigma^2(1+\rho)/2\) โดย \(\rho\) คือสหสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาด หากความแปรปรวนของข้อผิดพลาดแต่ละตัวเป็น 4 และสหสัมพันธ์เป็นศูนย์ ความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยเท่ากับ 2 หากสหสัมพันธ์เป็น 0.90 ความแปรปรวนเท่ากับ 3.8 ปริมาณความแปรปรวนที่การเฉลี่ยลดได้ขึ้นกับความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาด ไม่ใช่ชื่อแบบจำลอง การคำนวณนี้ว่าด้วยความแปรปรวนของข้อผิดพลาด หากพยากรณ์องค์ประกอบมีอคติ ค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยยังรวมกำลังสองของอคติด้วย

อีกวิธีคือถดถอยเป้าหมายที่สังเกตได้บนพยากรณ์องค์ประกอบในคลังข้อมูล ซึ่งมักมีค่าคงที่ Granger และ Ramanathan อธิบายการถดถอยเชิงเส้นที่ไม่บังคับให้น้ำหนักรวมเป็นหนึ่ง ค่าคงที่และน้ำหนักอิสระอาจปรับอคติเฉลี่ยในชุดฝึกได้ แต่ทำให้การตีความเปลี่ยนไป: สัมประสิทธิ์เป็นค่าปรับพยากรณ์ที่ฟิตจากข้อมูล ไม่จำเป็นต้องเป็นสัดส่วนแบบพอร์ตโฟลิโอ (Granger และ Ramanathan, 1984)

กำหนดข้อจำกัดก่อนประเมิน น้ำหนักไม่ติดลบและรวมเป็นหนึ่งทำให้ได้ค่าเฉลี่ยนูนที่อยู่ระหว่างพยากรณ์องค์ประกอบต่ำสุดกับสูงสุด การอนุญาตให้น้ำหนักติดลบหรือมีค่าคงที่อาจทำให้ผลอยู่นอกช่วงนั้น ซึ่งอาจเหมาะกับการปรับเทียบพยากรณ์ แต่ไม่เหมาะกับเป้าหมายที่ต้องไม่ติดลบ เช่น ความแปรปรวน

สมมติสามแบบจำลองพยากรณ์เป้าหมายช่วงซื้อขายถัดไปเดียวกันเป็น 12, 15 และ 20 จุดฐาน กฎที่ประมาณจากต้นทางพยากรณ์ก่อนหน้าเท่านั้นกำหนดน้ำหนักเป็น 0.50, 0.30 และ 0.20 ผลลัพธ์คือ

\[ 0.50(12) + 0.30(15) + 0.20(20) = 14.5\ \text{จุดฐาน} \]

น้ำหนักเป็นบวกและรวมเป็นหนึ่ง จึงเป็นการรวมแบบนูนและอยู่ระหว่างค่าตั้งต้น ความต่างจากค่าเฉลี่ยเท่ากัน 15.67 จุดฐานมาจากน้ำหนักที่เลือก ไม่ได้แสดงว่าพยากรณ์ถ่วงน้ำหนักดีกว่า

ณ เวลา \(t\) ต้องประมาณน้ำหนักจากข้อผิดพลาดที่ทราบผลแล้วเท่านั้น ในการทดสอบย้อนหลัง พยากรณ์ 14.5 จุดฐาน ณ ต้นทาง \(t\) ใช้ข้อมูลที่มีถึงเวลา \(t\) ได้ แต่ห้ามใช้เป้าหมายจริง ณ \(t+1\) หรือข้อมูลหลังจากนั้น

เมื่อสังเกตเป้าหมายได้แล้ว ให้บันทึกพยากรณ์องค์ประกอบ พยากรณ์รวม ค่าจริงหรือค่าตัวแทน และฟังก์ชันการสูญเสีย ทำซ้ำตามต้นทางพยากรณ์ถัดไปเพื่อเปรียบเทียบกฎบนวันเดียวกัน แต่ตัวอย่างคำนวณครั้งเดียวก็ยังไม่ใช่หลักฐานของข้อได้เปรียบที่คงอยู่

น้ำหนักที่ดีที่สุดเมื่อทราบความแปรปรวนร่วมของประชากรไม่เหมือนน้ำหนักที่ประมาณจากตัวอย่างสั้น การประมาณเพิ่มความไม่แน่นอนอีกชั้น เมื่อค่าพยากรณ์ใกล้กัน ข้อผิดพลาดอาจสัมพันธ์กันสูง การหาค่าเหมาะที่สุดอาจเกาะความแตกต่างเล็กน้อยในอดีตที่ไม่เกิดซ้ำ

การจำลองและตัวอย่างพยากรณ์เศรษฐกิจมหภาคของ Kang พบว่าน้ำหนักรวมอาจไม่นิ่ง และในกรณีที่ศึกษา ค่าเฉลี่ยธรรมดาอาจทำงานได้ดีกว่าในทางปฏิบัติ (Kang, 1986) บททบทวนของ Timmermann อธิบายผลของความคลาดเคลื่อนจากการประมาณ ความไม่เสถียรของแบบจำลอง และความสัมพันธ์ระหว่างข้อผิดพลาด (Timmermann, 200601004-9))

งานวิเคราะห์ปริศนาการรวมพยากรณ์ชี้ประเด็นตัวอย่างจำกัดแบบเดียวกัน: ผลที่ได้จากน้ำหนัก “เหมาะที่สุด” ซึ่งถือว่าคงที่ อาจไม่คงเดิมเมื่อน้ำหนักเหล่านั้นต้องประมาณจากข้อมูล (Claeskens และคณะ, 2016) ข้อค้นพบเหล่านี้ไม่ได้พิสูจน์ว่าน้ำหนักเท่ากันชนะเสมอ แต่แสดงว่ากฎที่ซับซ้อนกว่าต้องพิสูจน์ประโยชน์ในการเปรียบเทียบนอกตัวอย่าง

<!-- learn:illustration -->

แนวทางหนึ่งคือเริ่มจากน้ำหนักเท่ากัน จำกัดจำนวนค่าตั้งต้น ดึงน้ำหนักที่ประมาณให้เข้าใกล้ส่วนแบ่งเท่ากัน หรือใช้ข้อจำกัดง่าย ๆ ทุกทางเลือกระหว่างความยืดหยุ่นกับสัญญาณรบกวนจากการประมาณ เลือกโดยใช้ข้อมูลฝึกและระบุกฎไว้ก่อน อย่าเลือกแบบที่ดูดีที่สุดหลังเห็นช่วงทดสอบสุดท้าย

พยากรณ์ทุกค่าที่เก็บไว้ควรเป็นค่าที่สร้างได้จริง ณ ต้นทางที่ระบุ สร้างแต่ละแบบจำลองใหม่โดยใช้เฉพาะข้อมูลที่มี ณ เวลานั้น เก็บเวลาพยากรณ์ รุ่นแบบจำลอง และนิยามเป้าหมายไว้ ค่าฟิตภายในตัวอย่างใช้แทนพยากรณ์ย้อนหลังจริงไม่ได้ เพราะแบบจำลองอาจใช้ข้อมูลที่ในเวลานั้นยังไม่ทราบ

จัดคลังให้ตรงกันตามเป้าหมายและต้นทางพยากรณ์ ในแต่ละแถว พยากรณ์องค์ประกอบต้องมุ่งไปยังช่วงอนาคตเดียวกัน และข้อมูลฝึกต้องสิ้นสุด ณ เวลาตัดสินใจเดียวกัน กำหนดวิธีจัดการค่าที่ขาดก่อนประมาณน้ำหนัก การเปลี่ยนจำนวนค่าตั้งต้นโดยไม่ระบุจะทำให้ความหมายของน้ำหนักเปลี่ยนไปในแต่ละวัน

แยกการประมาณน้ำหนักจากการประเมินขั้นสุดท้าย ขั้นตอนต้นทางแบบเลื่อนไปข้างหน้าสามารถประมาณน้ำหนักจากพยากรณ์ที่รู้ผลก่อน \(t\) ออกพยากรณ์รวม ณ \(t\) แล้วประเมินเมื่อทราบเป้าหมาย หน้าต่างขยายใช้ต้นทางในอดีตที่เข้าเงื่อนไขทั้งหมด ส่วนหน้าต่างเลื่อนตัดข้อมูลเก่าตามความยาวที่กำหนดไว้ล่วงหน้า แต่ละวิธีตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงของผลการดำเนินงานต่างกัน

หากเลือกแบบจำลอง การแปลง ระยะพยากรณ์ ข้อจำกัดน้ำหนัก หรือฟังก์ชันการสูญเสียหลังตรวจดูช่วงกันไว้ ช่วงนั้นก็กลายเป็นส่วนหนึ่งของการพัฒนาแล้ว ให้กันช่วงทดสอบใหม่หรือใช้การประเมินแบบซ้อนซึ่งเก็บทุกขั้นตอนการเลือกไว้ภายในชุดฝึก

เปรียบเทียบกฎน้ำหนักเท่ากัน กฎประมาณหรือย่อขนาดน้ำหนัก และพยากรณ์เดี่ยวบนต้นทางเดียวกันและเป้าหมายจริงเดียวกัน รายงานฟังก์ชันการสูญเสียและชุดวันที่ร่วมกัน มิฉะนั้นวิธีหนึ่งอาจดูดีกว่าเพียงเพราะประเมินในวันที่ง่ายกว่าหรือใช้เป้าหมายคนละนิยาม

ฟังก์ชันการสูญเสียต้องตรงกับเป้าหมายและคำถาม ความคลาดเคลื่อนกำลังสองลงโทษความผิดพลาดขนาดใหญ่ด้วยกำลังสอง ส่วนความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ให้น้ำหนักต่างกัน เมื่อประเมินพยากรณ์ความผันผวนกับค่าความผันผวนจริงที่มีสัญญาณรบกวน เงื่อนไขของค่าตัวแทนและฟังก์ชันสูญเสียมีความสำคัญ คู่มือ QLIKE และความคลาดเคลื่อนกำลังสอง อธิบายความแตกต่าง อย่าเลือกฟังก์ชันหลังเห็นว่าวิธีใดได้เปรียบ

การทดสอบเปรียบเทียบพยากรณ์ช่วยประเมินว่าความต่างของการสูญเสียสอดคล้องกับความผันผวนจากการสุ่มตัวอย่างหรือไม่ คู่มือ Diebold–Mariano กล่าวถึงการเปรียบเทียบการสูญเสียแบบจับคู่และสมมติฐานเมื่อข้อผิดพลาดซ้อนทับหรือยังพึ่งพากัน ผลทดสอบแก้การใช้ข้อมูลอนาคตหรือพิสูจน์คุณค่าทางเศรษฐกิจไม่ได้

หากลองชุดแบบจำลอง ข้อจำกัดน้ำหนัก หรือกฎการสูญเสียหลายแบบ แล้วเลือกแบบที่ดูดีที่สุดในช่วงประเมินเดียวกัน ผลที่รายงานย่อมสะท้อนการค้นหานั้นด้วย คู่มือ White Reality Check และ ความน่าจะเป็นของการฟิตเกินในแบ็กเทสต์ อธิบายการคัดเลือกจากกฎซื้อขายจำนวนมาก ทั้งสองอย่างใช้แทนคลังพยากรณ์ที่สะอาดหรือการประเมินที่กำหนดไว้ก่อนไม่ได้

การออกแบบตรวจสอบต้องสอดคล้องกับช่วงเวลาที่นำไปใช้ หากต้นทางพยากรณ์รายวันทำนายเป้าหมายหลายวันที่ซ้อนทับกัน ค่าความสูญเสียต่อเนื่องอาจพึ่งพากัน ให้คำนึงถึงการพึ่งพานี้เมื่อคำนวณความไม่แน่นอน และอย่านับแถวที่ซ้อนทับกันจำนวนมากเป็นการทดลองอิสระจำนวนเท่ากัน

ก่อนรวม ให้ตรวจว่าแต่ละแบบจำลองพยากรณ์อะไร ค่าเฉลี่ยมีเงื่อนไข ความแปรปรวน ควอนไทล์ และการแจกแจงความน่าจะเป็นเต็มรูปแบบเป็นวัตถุพยากรณ์คนละชนิด การเฉลี่ยพยากรณ์จุดเชิงเส้นไม่ได้สร้างการแจกแจงที่ปรับเทียบแล้วหรือค่าประมาณความเสี่ยงหางที่เชื่อถือได้โดยอัตโนมัติ

สำหรับปริมาณที่ต้องไม่ติดลบ เช่น ความแปรปรวน ให้ตรวจค่ารวมก่อนใช้ ค่าเฉลี่ยนูนของพยากรณ์ที่ไม่ติดลบยังไม่ติดลบ แต่การถดถอยที่ฟิตด้วยน้ำหนักติดลบหรือค่าคงที่อาจให้ค่าติดลบ การตัดค่าติดลบเป็นศูนย์เปลี่ยนกฎพยากรณ์ จึงควรกำหนดก่อนประเมิน

จำนวนพยากรณ์ก็สำคัญ การเพิ่มค่าตั้งต้นที่อ่อนหรือแทบซ้ำกันอาจเพิ่มจำนวนค่าน้ำหนักที่ต้องฟิตโดยไม่ได้เพิ่มข้อมูลใหม่มากนัก หากคลังย้อนหลังสั้นเมื่อเทียบกับ \(K\) ให้เลือกกฎมิติต่ำที่โปร่งใส และตรวจว่าข้อสรุปไม่ได้ขึ้นกับองค์ประกอบเดียว

การรวมพยากรณ์แบบจำลองต่างจากการรวมสถานะการซื้อขาย การสูญเสียทางสถิติต่ำลงไม่ได้แสดงว่ากลยุทธ์ที่ใช้พยากรณ์จะทำกำไรหลังค่าธรรมเนียม ส่วนต่างราคา ความคลาดเคลื่อนในการส่งคำสั่ง ผลกระทบต่อตลาด และข้อจำกัดความเสี่ยง การสร้างพยากรณ์และกฎซื้อขายที่นำไปใช้ต้องมีหลักฐานนอกตัวอย่างแยกกัน

รายงานที่ทำซ้ำได้ควรระบุเป้าหมาย ระยะพยากรณ์ หน่วย แบบจำลององค์ประกอบ เวลาต้นทาง ช่วงคลัง และกฎจัดการข้อมูลขาด ระบุว่าน้ำหนักเท่ากัน ประมาณ มีข้อจำกัด ถูกย่อเข้าหากัน หรือเปลี่ยนตามเวลา พร้อมวิธีเลือกการปรับแต่งทุกข้อ

แสดงผลเกณฑ์น้ำหนักเท่ากัน วิธีรวมที่เลือก และพยากรณ์เดี่ยวที่ดีที่สุดบนวันที่ประเมินเดียวกัน ระบุฟังก์ชันการสูญเสีย วิธีประมาณความไม่แน่นอน และการจัดการเป้าหมายที่ซ้อนทับกัน หากน้ำหนักเปลี่ยนมากระหว่างหน้าต่าง ให้แสดงความไม่นิ่งนั้น ไม่ใช่รายงานเฉพาะค่าท้ายสุด

แยกข้อสรุปเชิงประจักษ์ออกจากข้อสรุปเรื่องการตัดสินใจ ประโยคว่า “การรวมนี้มีการสูญเสียเฉลี่ยต่ำกว่าในตัวอย่างนี้ภายใต้ฟังก์ชันนี้” แคบกว่าและทำซ้ำได้มากกว่าคำกล่าวว่า “การรวมพยากรณ์ช่วยให้ซื้อขายดีขึ้น” ข้อแรกตรวจจากคลังพยากรณ์ได้ ส่วนข้อหลังต้องมีกลยุทธ์ สมมติฐานการส่งคำสั่ง และการประเมินแยกต่างหาก